Die Lorentz-Kontraktion oder relativistische Längenkontraktion ist ein Phänomen der speziellen Relativitätstheorie. Der gemessene Abstand zwischen zwei Punkten im Raum ist abhängig von der relativen Bewegung von messendem und gemessenem System. Wenn die Punkte, deren Abstand gemessen werden soll, im messenden System ruhen, ergibt die Messung den maximalen Wert – die sogenannte Ruhelänge. Je schneller sich messendes und gemessenes System relativ zueinander bewegen, umso kleiner wird der gemessene Abstand. Da die Länge eines Objekts der Abstand zwischen seinen Endpunkten ist, ergibt die Längenmessung eines bewegten Objekts eine geringere Länge als dieselbe Messung am ruhenden Objekt.

Der Effekt tritt nur in Richtung der relativen Bewegung auf und nimmt mit zunehmender relativer Geschwindigkeit zu. Die Lorentz-Kontraktion ist ebenso wie die Zeitdilatation und die Relativität der Gleichzeitigkeit eines der grundlegenden Phänomene der speziellen Relativitätstheorie und spielt eine wichtige Rolle bei der Auswertung von Experimenten in Teilchenbeschleunigern.

Die Längenkontraktion wurde ursprünglich 1892 von Hendrik Antoon Lorentz eingeführt, um das Michelson-Morley-Experiment mit der Geschwindigkeit relativ zum hypothetischen Äther zu erklären. Sie erhielt 1905 von Albert Einstein ihre moderne, relativistische Interpretation, bei der die Geschwindigkeit zwischen Beobachter und beobachtetem Objekt ist.

Die Formel in allgemeiner Form mini|Das Verhältnis ist gleich dem inversen Lorentz-Faktor und nähert sich null, wenn sich die Geschwindig­keit der Licht­geschwin­dig­keit nähert

Die Größe des Effekts entlang der Bewegungsrichtung eines Objekts errechnet sich mit der Kontraktionsformel:

.

Dabei ist:

die kontrahierte Länge, also die in einem Inertialsystem gemessene Länge eines relativ zu diesem Inertialsystem bewegten Objekts,

die Ruhelänge, also die Länge desselben Objekts gemessen in dem Inertialsystem, in dem das Objekt ruht, und

der Lorentz-Faktor mit der Lichtgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit des zu messenden Objekts.

Geschichte

Die Längenkontraktion wurde ursprünglich in qualitativer Form von George Francis FitzGerald (1889) und in quantitativer Form von Hendrik Antoon Lorentz (1892) formuliert, um den negativen Ausgang des Michelson-Morley-Experiments zu erklären und dabei die Idee eines ruhenden Äthers zu retten (Fitzgerald-Lorentzsche Kontraktionshypothese).

Als Analogie diente die bereits 1888 durch Oliver Heaviside festgestellte Tatsache, dass bewegte elektrostatische Felder deformiert werden (Heaviside-Ellipsoid). Da zum damaligen Zeitpunkt jedoch kein Grund vorhanden war anzunehmen, dass sich die intermolekularen Kräfte genauso verhalten wie elektromagnetische Kräfte (oder elektromagnetischer Natur seien), wurde die Lorentz-Kontraktion als Ad-hoc-Hypothese eingestuft, welche ausschließlich dazu diente, die Entdeckung mit der Hypothese des Äthers in Einklang zu bringen. Im Folgenden entwickelte Joseph Larmor 1897 eine Theorie, in der die Materie selbst elektromagnetischen Ursprungs ist. Die Kontraktionshypothese ist dann nicht mehr als reine Ad-hoc-Hypothese anzusehen, sondern wäre eine Folge der elektromagnetischen Konstitution der Materie. Eine rein elektromagnetische Erklärung der Materie stellte sich bald als undurchführbar heraus: Henri Poincaré zeigte 1905, dass mit nicht-elektrischen Kräften eine weitere Ad-hoc-Hypothese eingeführt werden musste, um die Stabilität der Elektronen zu gewährleisten und die Kontraktion dynamisch zu erklären.

Diese Problematik wurde gelöst, als Albert Einstein 1905 durch Reformulierung der Begriffe von Raum und Zeit, und ohne irgendwelche dynamische Äthereffekte annehmen zu müssen, im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie eine einfache kinematische Herleitung gelang. Diese Erklärung, die auf dem Relativitätsprinzip und dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit beruhte, nahm dem Effekt endgültig seinen Ad-hoc-Charakter und bildet die Grundlage der modernen Auffassung der Lorentz-Kontraktion. Dies wurde unter anderem von Hermann Minkowski weitergeführt, der eine anschauliche geometrische Darstellung der relativistischen Effekte in der Raumzeit entwickelte.

Erläuterung Für das Verständnis der Lorentz-Kontraktion ist die sorgfältige Berücksichtigung der Methoden zur Längenmessung von ruhenden und bewegten Objekten von grundlegender Bedeutung. Mit „Objekt“ ist einfach eine Strecke gemeint, deren Endpunkte immer zueinander ruhen bzw. sich immer mit derselben Geschwindigkeit bewegen. Wenn der Beobachter sich nicht relativ zum beobachteten Objekt bewegt, sie also im selben Inertialsystem ruhen, dann kann die „Ruhe- bzw. Eigenlänge“ des Objekts einfach durch direktes Anlegen eines Maßstabs ermittelt werden.

Liegt jedoch eine Relativgeschwindigkeit > 0 vor, kann folgendermaßen vorgegangen werden: Der Beobachter stellt eine Reihe von Uhren auf, welche alle synchronisiert werden, entweder durch den Austausch von Lichtsignalen gemäß der Poincaré-Einstein-Synchronisation oder durch „langsamen Uhrentransport“. Bei dieser Methode wird eine Uhr ausreichend langsam (um den Einfluss der Zeitdilatation vernachlässigen zu können) zu jeder einzelnen Uhr der Reihe transportiert und überträgt auf diese ihre Zeitanzeige.

Nach erfolgter Synchronisation bewegt sich das zu vermessende Objekt an dieser Uhrenreihe entlang. Jede Uhr verzeichnet den Zeitpunkt, zu dem das rechte und das linke Ende des Objekts die jeweilige Uhr passiert. Man notiert sich anhand der in den Uhren gespeicherten Werte den Zeitpunkt und den Ort einer Uhr A, an dem sich das linke Ende befunden hat, und den Ort einer Uhr B, an dem sich gleichzeitig das rechte Ende befunden hat. Es ist klar, dass der Uhrenabstand A–B identisch ist mit der Länge des bewegten Objekts.

mini|400px|Symmetrie der Lorentz-Kontraktion: Es seien jeweils drei baugleiche blaue und rote Stäbe gegeben, welche sich aneinander vorbeibewegen. Wenn die linken Enden von A und D dieselbe Position auf der x-Achse einnehmen, ergibt sich nun in S, dass die gleichzeitige Position des linken Endes von A und des rechten Endes von C deutlich weiter auseinander liegt, als die gleichzeitige Position des linken Endes von D und des rechten Endes von F. Hingegen ist in S’ die gleichzeitige Position des linken Endes von D und des rechten Endes von F deutlich weiter auseinander, als die gleichzeitige Position des linken Endes von A und des rechten Endes von C. Die Definition der Gleichzeitigkeit von Ereignissen ist also von entscheidender Bedeutung für die Längenmessung bewegter Objekte. In der klassischen Physik ist die Gleichzeitigkeit absolut, und folglich werden und immer übereinstimmen. Jedoch macht in der Relativitätstheorie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen und die damit zusammenhängende Relativität der Gleichzeitigkeit diese Übereinstimmung zunichte. Wenn also Beobachter in einem Inertialsystem behaupten, die beiden Endpunkte des Objekts gleichzeitig gemessen zu haben, werden Beobachter in allen anderen Inertialsystemen behaupten, dass diese Messungen nicht gleichzeitig erfolgten, und zwar um einen aus der Lorentz-Transformation zu berechnenden Wert – siehe dazu den Abschnitt Herleitung. Als Folge davon ergibt sich: Während die Ruhelänge unverändert bleibt und immer die größte gemessene Länge des Körpers ist, wird bei einer relativen Bewegung zwischen Objekt und Messinstrument eine – bezüglich der Ruhelänge – kontrahierte Länge gemessen. Diese nur in Bewegungsrichtung auftretende Kontraktion wird durch folgende Beziehung dargestellt (wobei der Lorentzfaktor ist):

Man betrachte zum Beispiel einen Zug und einen Bahnhof, die sich relativ zueinander mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen. Der Bahnhof ruht im Inertialsystem S, der Zug ruht in S′. Im Zugsystem S′ soll sich nun ein Stab befinden, der dort eine Ruhelänge von hat. Aus Sicht des Bahnhofsystems S hingegen ist der Stab bewegt, und es wird gemäß folgender Formel die kontrahierte Länge gemessen:

Der Stab wird nun aus dem Zug geworfen und kommt auf dem Bahnhof zum Stillstand, sodass die Beobachter unter Berücksichtigung obiger Messvorschriften von neuem die Länge des Stabes bestimmen müssen. Jetzt ist es das Bahnhofsystem S, in dem die Ruhelänge des Stabes von gemessen wird (der Stab ist in S größer geworden), wohingegen der Stab aus Sicht des Zugsystems S′ bewegt ist und gemäß folgender Formel kontrahiert gemessen wird:

Wie vom Relativitätsprinzip gefordert, müssen in allen Inertialsystemen dieselben Naturgesetze gelten. Die Längenkontraktion fällt also symmetrisch aus: Ruht der Stab im Zug, hat er im Zugsystem S′ seine Ruhelänge und wird im Bahnhofsystem S kontrahiert gemessen. Wird er hingegen auf den Bahnhof transportiert, dann wird im Bahnhofsystem S seine Ruhelänge und im Zugsystem S′ seine kontrahierte Länge gemessen.

Herleitung Lorentz-Transformation Der Zusammenhang zwischen Ruhelänge und bewegter Länge lässt sich, abhängig von der jeweiligen Messsituation, mittels der Lorentz-Transformation ableiten.

Bewegte Länge wurde gemessen Im Inertialsystem S bezeichnen und die gemessenen Endpunkte für ein dort bewegtes Objekt der Länge . Da das Objekt hier bewegt ist, wurde gemäß obiger Messvorschrift dessen Länge bereits durch gleichzeitige Bestimmung der Endpunkte gemessen, also . Es sollen nun die Endpunkte in S′, wo das Objekt ruht, durch die Lorentz-Transformation ermittelt werden. Eine Transformation der Zeitkoordinaten würde eine Differenz ergeben, die jedoch irrelevant ist, da das Objekt im Zielsystem S′ immer am selben Ort ruht und der Zeitpunkt der Messungen dort keine Rolle spielt. Folglich ist bei dieser Messsituation die Transformation der Raumkoordinaten ausreichend:

Da und ist, ergibt sich:

(1)

Die Ruhelänge in S′ ist also größer als die bewegte Länge in S, letztere ist also kontrahiert bezüglich der Ruhelänge um:

(2)

Gemäß Relativitätsprinzip müssen umgekehrt auch in S ruhende Objekte aus Sicht von S′ einer Kontraktion unterworfen sein. Werden in obigen Formeln die Vorzeichen und Striche symmetrisch ersetzt, ergibt sich tatsächlich:

(3)

also

(4)

Ruhelänge wurde gemessen Ist jedoch ein Objekt gegeben, das in S ruht, dann wird dort seine Ruhelänge gemessen. Wird daraus die bewegte Länge in S′ berechnet, ist auf Gleichzeitigkeit der Messung der Endpunkte im Zielsystem zu achten, da sich dort aufgrund der Bewegung die Position der Endpunkte ständig ändert. Die Lorentz-Transformation ist also:

Mit und ergeben sich folgende nicht-gleichzeitige Differenzen:

Um die gleichzeitigen Positionen der beiden Endpunkte zu ermitteln, muss die Distanz, die vom zweiten Endpunkt mit in der Zeit zurückgelegt worden ist, von der nicht-gleichzeitigen Entfernung abgezogen werden. Es ergibt sich

Umgekehrt ergibt obiger Rechenweg für ein in S′ ruhendes Objekt das symmetrische Resultat:

.

Zeitdilatation Die Längenkontraktion kann auch mittels der Zeitdilatation hergeleitet werden. Gemäß diesem Effekt ist die Gangrate einer einzelnen „bewegten“ Uhr, welche ihre invariante Eigenzeit anzeigt, geringer als die von zwei synchronisierten „ruhenden“ Uhren, welche die Zeit anzeigen. Die Zeitdilatation wurde experimentell vielfach bestätigt und wird dargestellt durch die Beziehung:

.

Ein Stab mit der Ruhelänge in und eine Uhr ruhend in bewegen sich entlang einander. Die jeweiligen Reisezeiten der Uhr von einem Stabende zum anderen sind gegeben mit in S und in , also die zurückgelegten Längen sind und . Durch Einfügen der Zeitdilatationsformel ergibt sich das Verhältnis der Längen mit:

Folglich ergibt sich die gemessene Länge in mit

.

Also der Effekt, dass in die bewegte Uhr eine geringere Reisezeit aufgrund der Zeitdilatation anzeigt, wird in interpretiert als verursacht durch die Kontraktion des bewegten Stabes. Wenn nun bei weiterhin gegenseitiger Bewegung die Uhr in , hingegen der Stab in ’ ruhte, ergäbe obige Vorgehensweise das symmetrische Ergebnis: , wobei und .