Der Verbund simplizialer Mengen ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorietheorie eine Operation, welche die Kategorie der simplizialen Mengen zu einer monoidalen Kategorie macht. Insbesondere macht der Verbund aus zwei simplizialen Mengen eine weitere simplizialen Menge. Darüber ist der Verbund simplizialer Mengen verwandt mit der Diamantoperation und wird bei der Konstruktion der getwisteten Diagonale verwendet. Unter dem Nerv korrespondiert der Verbund simplizialer Mengen mit dem Verbund kleiner Kategorien und unter der geometrischen Realisierung zum Verbund topologischer Räume.
Definition mini|Visualisierung des Verbundes mit dem blauen Teil für und dem grünen Teil für . Für natürliche Zahlen gilt die Identität:Cisinski 2019, 3.4.12.
welcher durch Kolimiten zu einem Funktor erweitert werden kann, welcher zusammen mit der leeren simplizialen Menge die Kategorie der simplizialen Mengen zu einer monoidalen Kategorie macht. Für simpliziale Mengen und ist ihr Verbund die simpliziale Menge:Joyal 2008, Proposition 3.1.Lurie 2009, Definition 1.2.8.1.
Ein -Simplex faktorisiert daher entweder über oder oder teilt sich auf in einem -Simplex und einen -Simplex mit und .Kerodon, Remark 4.3.3.17.
Es gibt kanonische Morphismen , welche sich durch die universelle Eigenschaft des Koproduktes zu einem kanonischen Morphismus kombinieren. Es gibt ebenfalls einen kanonischen Morphismus von terminalen Abbildungen, dessen Faser von genau und dessen Faser von genau ist.
Für eine simpliziale Menge seien desser linker und rechter Kegel definiert als:
Rechtsadjungierte Sei eine simpliziale Mengen. Der Funktor hat einen Rechtsadjungierten (alternativ notiert als ) und der Funktor hat ebenfalls einen Rechtsadjungierten (alternativ notiert als ).Joyal 2008, Proposition 3.12.Lurie 2009, Proposition 1.2.9.2Cisinski 2019, 3.4.14. Ein spezieller Fall ist die terminale simpliziale Menge , da die Kategorie der punktierten simplizialen Mengen ist.
Sei eine Kategorie und ein Objekt. Sei die terminale Kategorie (wobei die Notation vom terminalen Objekt der Simplexkategorie stammt), dann gibt es einen assoziierten Funktor , dessen Nerv ein Morphismus ist. Für jede simpliziale Menge , gilt dabei unter zusätzlicher Verwendung der Adjunktion zwischen dem Verbund von Kategorien und Scheibenkategorien:Lurie 2009, 1.2.9 Overcategories and Undercategories
Nach dem Lemma von Yoneda gilt daher (mit der alternativen Notation zur Betonung des Resultates):Joyal 2008, Proposition 3.13.
Beispiele Es gilt:Cisinski 2019, Proposition 3.4.17.
Eigenschaften
Für simpliziale Mengen und gibt es einen eindeutigen Morphismus aus der Diamantoperation, welcher mit den kanonischen Morphismen und kompatibel ist.Cisinski 2019, Proposition 4.2.2. Dieser ist eine schwache kategorielle Äquivalenz, also eine schwache Äquivalenz der Joyal-Modellstruktur.Lurie 2009, Proposition 4.2.1.2.Cisinksi 2019, Proposition 4.2.3. Für eine simpliziale Menge erhalten die Funktoren schwache kategorielle Äquivalenzen.Cisinski 2019, Corollary 4.2.5. Für ∞-Kategorien und ist die simpliziale Menge ebenfalls eine ∞-Kategorie.Joyal 2008, Corollary 3.23.Lurie 2009, Proposition 1.2.8.3 Der Verbund ist assoziativ. Für simpliziale Mengen , und gilt:
Der Verbund kehrt sich unter der dualen simplizialen Menge um. Für simpliziale Mengen und gilt:Joyal 2008, p. 244Cisinski 2019, Remark 3.4.15.
Für einen Morphismus gilt (adjungiert zum vorherigen Resultat):
Für einen Morphismus , dessen Vorkomposition mit der kanonischen Inklusion und korrespondierend zu unter der Adjunktion , gilt oder in alternativer Notation:
Beweis: Für jede simpliziale Menge gilt:
womit die Behauptung aus dem Lemma von Yoneda folgt.
Unter dem Nerv wird der Verbund kleiner Kategorien zum Verbund simplizialer Mengen. Für kleine Kategorien und gilt:Joyal 2008, Corollary 3.3.Kerodon, Example 4.3.3.14.
Weblinks
join of simplicial sets und join of quasi-categories auf nLab (englisch) Joins of Simplicial Sets auf Kerodon
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie