Die getwistete Diagonale einer simplizialen Menge (für ∞-Kategorien auch getwistete ∞-Pfeilkategorie genannt) ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine Konstruktion, welche die getwistete Diagonale einer Kategorie verallgemeinert in dem Sinne, dass beide Konstruktionen einander unter dem Nerv entsprechen. Da die getwistete Diagonale einer Kategorie insbesondere die Kategorie der Elemente des Hom-Funktors ist, kann die getwistete Diagonale einer ∞-Kategorie benutzt werden, um den Hom-Funktor einer ∞-Kategorie zu definieren.
Getwistete Diagonale mit dem Verbund Für eine simpliziale Menge lassen sich mit der dualen simplizialen Menge und dem Verbund simplizialer Mengen folgende bisimpliziale und simpliziale Menge definieren:Cisinski 2019, 5.6.1.
( ist der durch Präkomposition mit der Diagonale induzierte Funktor, also mit .) Die kanonischen Morphismen induzieren kanonische Morphismen and .
Getwistete Diagonale mit der Diamantoperation Für eine simpliziale Menge lassen sich mit der dualen simplizialen Menge und dem Diamantoperation folgende bisimpliziale und simpliziale Menge definieren:Cisinski 2019, 5.6.10.
Die kanonischen Morphismen induzieren kanonische Morphismen und . Die schwache kategorielle Äquivalenz induziert kanonische Morphismen und .
Eigenschaften
Unter dem Nerv wird die getwistete Diagonale einer Kategorie zur getwisteten Diagonale einer simplizialen Menge. Für eine Kategorie gilt:Kerodon, Proposition 8.1.1.10.
Für eine ∞-Kategorie ist der kanonische Morphismus eine Linksfaserung. Daher ist ebenfalls eine ∞-Kategorie.Cisinski 2019, Proposition 5.6.2.Kerodon, Proposition 8.1.1.11.Kerodon, Corollary 8.1.1.12. Für einen Kan-Komplex ist der kanonische Morphismus eine Kan-Faserung. Daher ist ebenfalls ein Kan-Komplex.Kerodon, Corollary 8.1.1.13. Für eine ∞-Kategorie ist der kanonische Morphismus eine Linksbifaserung und damit der kanonische Morphismus eine Linksfaserung. Daher ist ebenfalls eine ∞-Kategorie.Cisinski 2019, Proposition 5.6.12. Für eine ∞-Kategorie ist der kanonische Morphismus eine faserweise Äquivalenz zwischen Linksfaserungen über .Cisinski 2019, Corollary 5.6.14.
Ein Funktor zwischen ∞-Kategorien und ist volltreu genau dann wenn:
eine faserweise Äquivalenz über ist.Cisinski 2019, Corollary 5.6.6. Für einen Funktor zwischen ∞-Kategorien und sind die induziertem Morphismen:
kofinal.Cisinski 2019, Proposition 5.6.9.
Weblinks
The Twisted Arrow Construction on Kerodon (englisch) twisted arrow (∞,1)-category auf nLab (englisch)
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie