mini|Visualisierung des Gradientenabstiegsverfahrens mit einer Flusslinie Der Yang-Mills-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Yang-Mills-Gleichungen beschriebener Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Yang-Mills-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Yang-Mills-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als Yang-Mills-Zusammenhänge oder Instantonen, welche die Yang-Mills-Gleichungen lösen, sowie deren Stabilität untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.
Benannt ist der Yang-Mills-Fluss nach Chen Ning Yang und Robert Mills, welche die zugrundeliegende Yang-Mills-Theorie im Jahr 1954 formuliert haben. Erstmals untersucht wurde der Yang-Mills-Fluss jedoch im Jahr 1982 von Michael Atiyah und Raoul Bott. Ebenfalls untersucht wurde dieser von Simon Donaldson im Rahmen der Kobayashi-Hitchin-Korrespondenz (oder Donaldson-Uhlenbeck-Yau-Theorem).
Definition Sei eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel, wobei eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik und Volumenform ist. Sei das adjungierte Vektorbündel. , ein affiner Vektorraum über und daher nicht kanonisch isomorph, ist der Raum der Zusammenhänge. Diese sind also unter der adjungierten Darstellung invariante -wertige (Lie-Algebra-wertige) Differentialformen auf und unterscheiden sich beim Rückzug entlang glatter Schnitte um -wertige (vektorbündelwertige) Differentialformen auf .
Die Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:Kelleher & Streets 2016, S. 3Waldron 2016, S. 1Zhang 2020, S. 1
ist ein Vektorraum mit einem von induziertem Skalarprodukt. Dadurch lässt sich der Gradient definieren durch:
Genau dieser Ausdruck liegt den Ableitungen der Yang-Mills-Gleichungen zugrunde, nämlich genau den kritischen Punkten der Yang-Mills-Wirkung ohne einen Gradient:
Für ein offenes Intervall ist eine -Abbildung (also stetig differenzierbar) mit:Donaldson & Kronheimer 90, Gleichungen (6.2.3) und (6.3.1)Kelleher & Streets 2016, S. 1 & 3
ein Yang-Mills-Fluss.
Eigenschaften Für einen Yang-Mills-Zusammenhang ist der konstante Weg auf diesem ein Yang-Mills-Fluss. Für einen Yang-Mills-Fluss gilt:
ist also eine monoton sinkende Funktion. Alternativ kann die Ableitung mit der obigen Gleichung mit der Bi-Yang-Mills-Wirkung verbunden werden:Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (6.2.9)
Da die Yang-Mills-Wirkung immer positiv ist, wird ein in die Unendlichkeit fortgesetzter Yang-Mills-Fluss zwangsläufig gegen eine verschwindende Ableitung und daher nach obiger Gleichung einen Yang-Mills-Zusammenhang konvergieren. Für einen Zusammenhang gibt es einen eindeutigen Yang-Mills-Fluss mit . Dabei ist ein Yang-Mills-Zusammenhang. Für einen stabilen Yang-Mills-Zusammenhang gibt es eine Umgebung, sodass für jeden eindeutigen Yang-Mills-Fluss mit Anfangsbedingung darin gilt:
Literatur
Siehe auch Yang-Mills-Higgs-Fluss Seiberg-Witten-Fluss
Weblinks Yang-Mills flow auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Feldtheorie