mini|Visualisierung des Gradientenabstiegsverfahrens mit einer Flusslinie Der Seiberg-Witten-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Seiberg-Witten-Gleichungen beschriebener Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Seiberg-Witten-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Seiberg-Witten-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als (Seiberg-Witten)-Monopole, welche genau die Seiberg-Witten-Gleichungen lösen, untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.
Benannt ist der Seiberg-Witten-Fluss nach Nathan Seiberg und Edward Witten, welche die zugrundeliegende Seiberg-Witten-Theorie im Jahr 1994 formuliert haben.
Definition Sei eine kompakte, orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit. Jede solche Mannigfaltigkeit hat eine Spinc-Struktur,Nicolaescu, Example 1.3.16 also eine Hebung der klassifizierenden Abbildung ihres Tangentialbündels zu einer stetigen Abbildung . Alle möglichen Spinc-Strukturen entsprechen eindeutig der zweiten singulären Kohomologie . Wegen der zentralen Identität:
klassifiziert diese Spinc-Struktur zwei komplexe Ebenenbündel mit gleichem Determinantenbündel , welches über das Rahmenbündel einem U(1)-Hauptfaserbündel entspricht. Dabei ist mit dem balancierten Produkt. U(1)-Hauptfaserbündel werden ebenfalls durch die zweite singuläre Kohomologie klassifiziert, wobei die Kohomologieklasse genau die gleiche wie für die Spinc-Struktur ist.
Die Seiberg-Witten-Wirkung ist gegeben durch:Hong & Schabrun 2009, Gl. (4)Schabrun 2010, Gl. (2) & (4)
wobei die Skalarkrümmung notiert. Mit der folgenden Relation aus der Chern-Weil-Theorie:
kann diese auch umgeschrieben werden zu:
wobei jedoch der letzte Term als Konstante weggelassen werden kann. Ihre ersten beiden Terme werden auch Yang-Mills-Higgs-Wirkung und ihr erster Term wird auch Yang-Mills-Wirkung genannt.
und sind Vektorräume mit von induzierten Skalarprodukten. Dadurch lässt sich der Gradient definieren durch:
Genau dieser Ausdruck liegt den Ableitungen der Seiberg-Witten-Gleichungen zugrunde, nämlich genau den kritischen Punkten der Seiberg-Witten-Wirkung ohne einen Gradient:
Für ein offenes Intervall sind zwei -Abbildungen und (also stetig differenzierbar) mit:
ein Seiberg-Witten-Fluss.Hong & Schabrun 2009, Gl. (9) & (10)Schabrun 2010, Gl. (7) & (8)
Literatur
Siehe auch Yang-Mills-Fluss Yang-Mills-Higgs-Fluss
Weblinks Seiberg-Witten flow auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Feldtheorie