mini|Visualisierung des Gradientenabstiegsverfahrens mit einer Flusslinie Der Yang-Mills-Higgs-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen beschriebener Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Yang-Mills-Higgs-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Yang-Mills-Higgs-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als Yang-Mills-Higgs-Paare, welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen lösen, sowie deren Stabilität untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.
Benannt ist der Yang-Mills-Fluss nach Chen Ning Yang, Robert Mills und Peter Higgs, von denen die vorderen beiden die zugrundeliegende Yang-Mills-Theorie im Jahr 1954 formuliert haben und letzterer die Kopplung an das Higgs-Feld im Jahr 1964 vorgeschlagen hat.
Definition Sei eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel, wobei eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik und Volumenform ist. Sei das adjungierte Vektorbündel. , ein affiner Vektorraum über und daher nicht kanonisch isomorph, ist der Raum der Zusammenhänge. ist der Raum der glatten Schnitte, welche Higgs-Felder beschreiben.
Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:Zhang 2020, Gl. (1.1)Changpeng, Zhenghan & Zhang 2023, Gl. (1.2)
Ihr erster Term wird auch Yang-Mills-Wirkung genannt.
und sind Vektorräume mit von induzierten Skalarprodukten. Dadurch lässt sich der Gradient definieren durch:
Genau dieser Ausdruck liegt den Ableitungen der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen zugrunde, nämlich genau den kritischen Punkten der Yang-Mills-Higgs-Wirkung ohne einen Gradient:
Für ein offenes Intervall sind zwei -Abbildungen und (also stetig differenzierbar) mit:Zhang 2020, Gl. (1.3)Changpeng, Zhenghan & Zhang 2023, Gl. (1.4)
ein Yang-Mills-Higgs-Fluss.
Eigenschaften Für ein Yang-Mills-Higgs-Paar ist der konstante Weg auf diesem ein Yang-Mills-Higgs-Fluss. Für einen Yang-Mills-Higgs-Fluss gilt:
ist also eine monoton sinkende Funktion. Da die Yang-Mills-Higgs-Wirkung immer positiv ist, wird ein in die Unendlichkeit fortgesetzter Yang-Mills-Higgs-Fluss zwangsläufig gegen verschwindende Ableitung und daher nach obiger Gleichung ei Yang-Mills-Higgs-Paar konvergieren. Für ein Paar gibt es einen eindeutigen Yang-Mills-Fluss mit . Dabei ist ein Yang-Mills-Higgs-Paar. Für ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar gibt es eine Umgebung, sodass für jeden eindeutigen Yang-Mills-Fluss mit Anfangsbedingung darin gilt:
Ginsburg-Landau-Fluss Eine Verallgemeinerung des Yang-Mills-Higgs-Flusses ist der Ginsburg-Landau-Fluss, benannt nach Witali Ginsburg und Lew Landau, mit einem zusätzlichen Potentialterm für das Higgs-Feld
Literatur
Siehe auch Yang-Mills-Fluss Seiberg-Witten-Fluss
Weblinks Yang-Mills-Higgs flow auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Feldtheorie