Die Joyal-Modellstruktur ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine spezielle Modellstruktur auf der Kategorie der simplizialen Mengen. Diese besteht aus einer Auswahl von drei Klassen an Morphismen zwischen simplizialen Mengen, genannt Faserungen, Kofaserungen und schwachen Äquivalenzen, sodass die Eigenschaften einer Modellstruktur erfüllt sind. Ihre fasernden Objekte sind ∞-Kategorien und sie modelliert darüber hinaus die Homotopietheorie von CW-Komplexen bis auf Homotopieäquivalenz, wobei die Korrespondenz zwischen simplizialen Mengen und CW-Komplexen durch die geometrische Realisierung und den singulären Funktor gegeben ist. Benannt ist die Joyal-Modellstruktur nach André Joyal.
Definition Die Joyal-Modellstruktur ist gegeben durch:
Faserungen sind Isofaserungen.Cisinski 2019, Theorem 3.6.1. Kofaserungen sind Monomorphismen. Schwache Äquivalenzen sind schwache kategoriellen Äquivalenzen,Joyal 2008, Theorem 6.12. also die Morphismen simplizialer Mengen, deren geometrische Realisierung eine Homotopieäquivalenz zwischen CW-Komplexen ist. Triviale Kofaserungen sind die inneren anodynen Erweiterungen.
Die Kategorie der simplizialen Mengen mit der Joyal-Modellstruktur wird als bezeichnet.
Eigenschaften
Fasernde Objekte der Joyal-Modellstruktur, also simpliziale Mengen , für welche der terminale Morphismus eine Faserung ist, sind genau die ∞-Kategorien.Lurie 2009, Higher Topos Theory, S. 58 & Theorem 2.3.6.4. Kofasernde Objekte der Joyal-Modellstruktur, also simpliziale Mengen , für welche der initiale Morphismus eine Kofaserung ist, sind alle simplizialen Mengen. (Dadurch vereinfacht sich insbesondere stark das Brownsche Lemma auf der Joyal-Modellstruktur.) Die Joyal-Modellstruktur ist linkseigentlich, was direkt daraus folgt, dass jedes Objekt kofasernd ist.Lurie 2009, Higher Topos Theory, Proposition A.2.3.2. Das bedeutet, dass schwache kategorielle Äquivalenzen bei Kofaserprodukten entlang ihrer Kofaserungen (also Monomorphismen) erhalten bleiben. Die Joyal-Modellstruktur ist nicht rechtseigentlich. Beispielsweise ist die Inklusion eine schwache kategorielle Äquivalenz, jedoch der Rückzug entlang der Isofaserung , nämlich die Inklusion , ist es etwa aufgrund der verschiedenen Anzahl an Zusammenhangskomponenten nicht.Lurie 2009, Higher Topos Theory, Remark 1.3.4.3. Dieses Gegenbeispiel funktioniert nicht auch für die Kan-Quillen-Modellstruktur, da keine Kan-Faserung ist. Jedoch ist der Rückzug von schwachen kategoriellen Äquivalenzen entlang von linken oder rechten Kan-Faserungen wieder eine schwache kategorielle Äquivalenz.Joyal 2008, Remark 6.13. Die Joyal-Modellstruktur ist eine Cisinski-Modellstruktur und insbesondere kofasernd erzeugt. Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen und triviale Kofaserungen (also innere anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von inneren Horninklusionen (mit und ).
Schwache kategorielle Äquivalenzen sind final.Cisinski 2019, Proposition 5.3.1. Innere anodyne Erweiterungen sind schwache kategorielle Äquivalenzen.Joyal 2008, Corollary 2.29. auf S. 239Lurie 2009, Higher Topos Theory, Lemma 1.3.4.2. Schwache kategorielle Äquivalenzen sind abgeschlossen unter endlichen ProduktenJoyal 2008, Proposition 2.28. auf S. 239Lurie 2009, Higher Topos Theory, Corollary 1.3.4.4.Cisinski 2019, Corollary 3.6.3. und kleinen filtrierten Kolimiten.Joyal 2008, Corollary 6.10. auf S. 299Cisinski 2019, Corollary 3.9.8. Da die Kan-Quillen-Modellstruktur ebenfalls Monomorphismen als Kofaserungen hatCisinski 2019, Theorem 3.1.8. und jede schwache kategorielle Äquivalenz eine schwache Homotopieäquivalenz ist,Joyal 2008, Corollary 6.16. auf S. 301 erhält die Identität sowohl Kofaserungen als auch triviale Kofaserungen, sodass diese als linksadjungierter Funktor mit der Identität als rechtsadjungiertem Funktor eine Quillen-Adjunktion bildet.
Lokale schwache kategorielle Äquivalenz Für eine simpliziale Menge und einen Morphismus von simplizialen Mengen über (sodass Morphismen und mit existieren), sind die folgenden Bedingungen äquivalent:Cisinski 2019, Lemma 5.3.9.
Für jeden -Simplex ist der induzierte Morphismus eine schwache kategorielle Äquivalenz. Für jeden Morphismus ist der induzierte Morphismus eine schwache kategorielle Äquivalenz.
Ein solcher Morphismus wird lokale schwache kategorielle Äquivalenz genannt.
Jede lokale schwache kategorielle Äquivalenz ist eine schwache kategorielle Äquivalenz.
Weblinks
model structure on simplicial sets auf nLab (englisch) The Homotopy Theory of ∞-Categories auf Kerodon (englisch)
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie Kategorie:Homotopietheorie