Die Kan-Quillen-Modellstruktur ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine spezielle Modellstruktur auf der Kategorie der simplizialen Mengen. Diese besteht aus einer Auswahl von drei Klassen an Morphismen zwischen simplizialen Mengen, genannt Faserungen, Kofaserungen und schwachen Äquivalenzen, sodass die Eigenschaften einer Modellstruktur erfüllt sind. Ihre fasernden Objekte sind Kan-Komplexe und sie modelliert darüber hinaus die Homotopietheorie von CW-Komplexen bis auf schwache Homotopieäquivalenz, wobei die Korrespondenz zwischen simplizialen Mengen, Kan-Komplexen und CW-Komplexen durch die geometrische Realisierung und den singulären Funktor gegeben ist. Benannt ist die Kan-Quillen-Modellstruktur nach Daniel Kan und Daniel Quillen.
Definition Die Kan-Quillen-Modellstruktur ist gegeben durch:
Faserungen sind Kan-Faserungen.Joyal 2008, Theorem 6.1. auf S. 293 Kofaserungen sind Monomorphismen.Cisinski 2019, Theorem 3.1.8. Schwache Äquivalenzen sind schwache Homotopieäquivalenzen, also die Morphismen simplizialer Mengen, deren geometrische Realisierung eine schwache Homotopieäquivalenz zwischen CW-Komplexen ist. Triviale Kofaserungen sind die anodynen Erweiterungen.Cisinski 2019, Theorem 3.1.29.
Die Kategorie der simplizialen Mengen mit der Kan-Quillen-Modellstruktur wird als bezeichnet.
Eigenschaften
Fasernde Objekte der Kan-Quillen-Modellstruktur, also simpliziale Mengen , für welche der terminale Morphismus eine Faserung ist, sind genau die Kan-Komplexe. Kofasernde Objekte der Kan-Quillen-Modellstruktur, also simpliziale Mengen , für welche der initiale Morphismus eine Kofaserung ist, sind alle simplizialen Mengen. (Dadurch vereinfacht sich insbesondere stark das Brownsche Lemma auf der Kan-Quillen-Modellstruktur.) Die Kan-Quillen-Modellstruktur ist eigentlich.Cisinki 2019, Corollary 3.1.28. Das bedeutet, dass schwache Homotopieäquivalenzen bei Faserprodukten entlang ihrer Faserungen (also Kan-Faserungen) als auch bei Kofaserprodukten entlang ihrer Kofaserungen (also Monomorphismen) erhalten bleiben. Linkseigentlichkeit folgt direkt daraus, dass jedes Objekt kofasernd ist.Lurie 2009, Higher Topos Theory, Proposition A.2.3.2. Die Kan-Quillen-Modellstruktur ist eine Cisinski-Modellstruktur und insbesondere kofasernd erzeugt. Kofaserungen (also Monomorphismen) werden erzeugt von Randinklusionen und triviale Kofaserungen (also anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von Horninklusionen (mit und ). Schwache Homotopieäquivalenzen sind abgeschlossen unter endlichen Produkten.Joyal 2008, Proposition 2.28. on p. 239Cisinski 2019, Corollary 3.1.10. Da die Joyal-Modellstruktur ebenfalls Monomorphismen als Kofaserungen hatCisinski 2019, Theorem 3.1.8. und jede schwache kategorielle Äquivalenz eine schwache Homotopieäquivalenz ist, erhält die Identität sowohl Kofaserungen als auch triviale Kofaserungen, sodass diese als linksadjungierter Funktor mit der Identität als rechtsadjungiertem Funktor eine Quillen-Adjunktion bildet.
Lokale schwache Homotopieäquivalenz Für eine simpliziale Menge und einen Morphismus von simplizialen Mengen über (sodass Morphismen und mit existieren), sind die folgenden Bedingungen äquivalent:Cisinski 2019, Lemma 5.3.9.
Für jeden -Simplex ist der induzierte Morphismus eine schwache Homotopieäquivalenz. Für jeden Morphismus ist der induzierte Morphismus eine schwache Homotopieäquivalenz.
Ein solcher Morphismus wird lokale schwache Homotopieäquivalenz genannt.
Jede lokale schwache Homotopieäquivalenz ist eine schwache Homotopieäquivalenz. Wenn beide Morphismen und jeweils Kan-Faserungen sind und eine schwache Homotopieäquivalenz, dann ist es auch eine lokale schwache Homotopieäquivalenz.
Siehe auch
Ex∞-Funktor, welcher alle drei Klassen der Kan-Quillen-Modellstruktur erhält Ko- und kontravariante Modellstruktur, welcher von der Kan-Quillen-Modellstruktur induziert werden können
Weblinks
model structure on simplicial sets auf nLab (englisch) The Homotopy Theory of Kan Complexes auf Kerodon (englisch)
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie Kategorie:Homotopietheorie