Mit Primorial (von englisch primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial, seinerseits ein Portemanteau aus prime und factorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

Definition Für eine natürliche Zahl ist die Primfakultät definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich :

bzw. als .

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings sind beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

, .

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime undefiniert bleibt.

Im Fall liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel Um den Wert des Primorials zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt .

Eigenschaften mini|rechts|325px|Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)

Es seien und zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl mit :

Für das Primorial kennt man folgende AbschätzungG. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.Theorem 415, S. 341 . Ferner gilt:

Für sind die Werte kleiner als ,L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371 aber mit größeren überschreiten die Werte der Funktion die Schranke und oszillieren später unendlich oft um .

Ist die -te Primzahl, dann hat genau Teiler. Zum Beispiel hat die Zahl zwei Teiler, hat vier Teiler, hat acht Teiler und hat bereits Teiler, denn 97 ist die 25. Primzahl.

Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen eine Konstante

Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe )

Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Funktionswerte bis 100

n n# 2 2 3…4 6 5…6 30 7…10 210 11…12 2.310 13…16 30.030 17…18 510.510 19…22 9.699.690 23…28 223.092.870 29…30 6.469.693.230 31…36 200.560.490.130 37…40 7.420.738.134.810 41…42 304.250.263.527.210 43…46 13.082.761.331.670.030 47…52 614.889.782.588.491.410 53…58 32.589.158.477.190.044.730 59…60 1.922.760.350.154.212.639.070 61…66 117.288.381.359.406.970.983.270 67…70 7.858.321.551.080.267.055.879.090 71…72 557.940.830.126.698.960.967.415.390 73…78 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470 79…82 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130 83…88 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790 89…96 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310 97…100 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070 k pk pk# 1 2 2 2 3 6 3 5 30 4 7 210 5 11 2.310 6 13 30.030 7 17 510.510 8 19 9.699.690 9 23 223.092.870 10 29 6.469.693.230 11 31 200.560.490.130 12 37 7.420.738.134.810 13 41 304.250.263.527.210 14 43 13.082.761.331.670.030 15 47 614.889.782.588.491.410 16 53 32.589.158.477.190.044.730 17 59 1.922.760.350.154.212.639.070 18 61 117.288.381.359.406.970.983.270 19 67 7.858.321.551.080.267.055.879.090 20 71 557.940.830.126.698.960.967.415.390 21 73 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470 22 79 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130 23 83 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790 24 89 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310 25 97 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

(Siehe )

Quellen

Weblinks Primfakultät und Primorial

Kategorie:Zahlentheorie

ru:Факториал#Праймориал или примориал