In der Mathematik ist die topologische Komplexität (TC für eng. topological complexity) eines topologischen Raumes eine topologische Invariante, die von Michael Farber im Jahr 2003 eingeführt wurde.
Definition Sei ein topologischer Raum und der Wegraum von , also der Raum aller stetigen Wege in . Es gibt eine stetige Projektion durch . Die topologische Komplexität ist die kleinste Zahl , sodass:
eine offene Überdeckung von existiert, für jedes ein lokaler Schnitt existiert, also eine stetige Abbildung mit .
Lemmata
Ein topologischer Raum ist genau dann zusammenziehbar, wenn . Die topologische Komplexität hängt mit der Lusternik–Schnirelmann-Kategorie zusammen über:
Für wegzusammenhängende metrische Räume gilt:
Beispiele
Für die topologische Komplexität der Sphäre gilt:
Für die topologische Komplexität des -fachen Produktes von -Sphären gilt:
Insbesondere folgt mit der Spezialfall für die topologische Komplexität der Tori. Für die topologische Komplexität der Σ-Flächen gilt:
Es gilt , und .Alexander Dranishnikov, Rustam Sadykov (2017). On LS-category and topological complexity of connected sum. arxiv:1707.07088 Ist der Konfigurationsraum von getrennten Punkten im -dimensionalen euklidischen Raum, dann istArmindo Costa: Topological Complexity of Configuration Spaces, Ph.D. Thesis, Durham University (2010), online:
Die topologische Komplexität der Kleinschen Flasche ist 5.Cohen, Daniel C.; Vandembroucq, Lucile (2016). Topological Complexity of the Klein bottle. arXiv:1612.03133
Weblinks
Topologische Komplexität auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematik Kategorie:Topologie Kategorie:Algebraische Topologie