mini|300px|Die geometrische Reihe für , oder konvergiert. Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge , sodass also zwei aufeinanderfolgende Reihenglieder stets dasselbe Verhältnis haben. Die Bezeichnung weist darauf hin, dass jeder Summand das geometrische Mittel aus Vorgänger und Nachfolger ist. Ein Beispiel einer geometrischen Reihe ist mit Reihenwert . Ganz allgemein besitzt sie die Gestalt mit einem Vorfaktor und dem gemeinsamen Verhältnis . In der Literatur wird jedoch häufig schlicht gesetzt.
Bei geometrischen Reihen handelt es sich um Reihen „besonders einfacher Bauart“. In der Mathematik, besonders der Analysis, hat dies große Vorteile. Soll etwa eine bestimmte unendliche Reihe analysiert werden, die komplizierte Eigenschaften hat, so kann sie manchmal durch eine geometrische Reihe „imitiert“ werden, und diese Vereinfachung ermöglicht es schließlich doch, Aussagen zu treffen. Diese „Imitation“ ist zum Beispiel bezüglich allgemeiner Potenzreihen hinsichtlich Fragen der Konvergenz „fast perfekt“, was schließlich zum Begriff des Konvergenzradius führt, einer sehr aussagekräftigen Kenngröße dieser Reihen und damit der Funktionentheorie im Allgemeinen.
Allgemeine unendliche Reihen haben in verschiedensten Disziplinen Anwendungen, etwa in den Ingenieurswissenschaften oder der analytischen Zahlentheorie. Historisch entstanden ist die geometrische Reihe jedoch aus dem Bestreben heraus, die Flächen oder Volumina von Figuren (wie einer Parabel oder einem Tetraeder) durch „Ausschöpfen“ zu ermitteln. Die Idee hierbei ist, die Figur in sehr viele kleine Teile zu zerlegen, deren Flächeninhalte oder Volumina aber einfach ermittelt werden können, wie dies etwa bei Rechtecken oder Quadern der Fall ist. Das Volumen der komplizierten Figur ist dann im Grenzwert die gegebenenfalls unendliche Summe der immer kleiner werdenden, aber einfachen Volumina der Teilfiguren. In dieser Hinsicht kann die geometrische Reihe auch als Urahn der modernen Integralrechnung gesehen werden: Schon Pierre de Fermat konnte mit ihr erfolgreich die Kurve der Potenzfunktion für Hochzahlen integrieren.
Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich, die Partialsummen der zugehörigen geometrischen Reihe in geschlossener Form zu berechnen. Eine wichtige Tatsache ist ferner, dass die geometrische Reihe genau dann konvergiert, falls gilt. Ihr Grenzwert ist in diesem Falle . Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.
Die geometrische Reihe zählt zu den wichtigsten Reihen überhaupt. Anwendungen hat sie als Majorante (etwa beim Beweis von Konvergenzkriterien wie dem Quotientenkriterium) und im Bereich der Potenzreihenentwicklungen rationaler Funktionen. Weitere Anwendungsbereiche sind die Rentenrechnung, Geometrie, Fourier-Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie (etwa hinsichtlich der geometrischen Verteilung) und Zahlentheorie. So spielt sie etwa bei der Herleitung des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion eine zentrale Rolle, woraus in letzter Konsequenz schließlich die Formulierung der Riemannschen Vermutung hervorgeht, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik.
Einführung
Unter einer Reihe versteht man anschaulich eine niemals endende Summe von Zahlen. Zum Beispiel kann die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl als Reihe aufgefasst werden, etwa
oder auch die Kreiszahl : . Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, denen kein Wert zugeordnet werden kann, etwa Grandis Reihe
aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die obigen Beispiele mit Grenzwerten bzw. ).
Während die Dezimalentwicklung von sehr irregulär ist, ist zum Beispiel im Fall ein sehr reguläres Muster zu erkennen. Es handelt sich hier um ein erstes Beispiel einer geometrischen Reihe. Entscheidend ist, dass im Wesentlichen nur aufsteigende Potenzen derselben Basiszahl summiert werden. Die Basis ist in diesem Beispiel :
Auch das oben schon genannte Beispiel ist in diesem Sinne eine divergente geometrische Reihe, ebenso wie die divergente Reihe
der sich stets verdoppelnden Zahlen. Was die geometrische Reihe für die Mathematik so wichtig macht, ist die Einfachheit ihrer Bauart. Damit ist zum Beispiel die Tatsache verbunden, dass es sehr leicht zu entscheiden ist, ob eine vorgelegte geometrische Reihe konvergiert oder divergiert und wie gegebenenfalls ihr Grenzwert aussieht. Gleichzeitig kommt sie mit diesen Eigenschaften bei der Untersuchung weit komplizierterer und allgemeinerer unendlicher Reihen zum Einsatz, bei denen diese Fragen zunächst schwer zu beantworten sind.
Definition
Für reelle (oder komplexe) Zahlen definiert man die geometrische Reihe alsHerbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. 3. Auflage. Basel/Boston/Berlin 2006, S. 196.
Ihre Partialsummen sind also gegeben durch , und die ersten Glieder sind
In allgemeinerer Form wird für reelle (oder komplexe) Zahlen die ReiheRon Larson, Bruce Edwards: Calculus. With CalcChat and CalcView. 12e. Twelfth Edition, Australia u. a. 2023, S. 601.
auch als geometrische Reihe bezeichnet. Diese ist jedoch bis auf einen skalaren Faktor gleich der geometrischen Reihe . Aus rein analytischer Sicht reicht es also aus, die Reihe zu studieren, obwohl der Vorfaktor in einigen geometrischen Anwendungen (hinsichtlich Skalierung) eine unentbehrliche Rolle spielt. Zu beachten ist zudem, dass die allgemeinere Form auch andere untere Summenindizes als mit einschließt, wobei die dafür genutzte Skalierung jedoch von abhängt. Mit der Wahl erhält man:
Eine charakteristische Eigenschaft geometrischer Reihen mit ausschließlich positiven Größen, aus der sich auch die Benennung geometrisch ableitet,Geometric progression, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, abgerufen am 29. August 2024. ist, dass jedes Reihenglied geometrisches Mittel von Vorgänger und Nachfolger ist. In der Tat hat man für und
Konvergenzkriterium mini|300px|Schematische Darstellung der Herleitung zur Formel der Partialsummen der geometrischen Reihe Für konvergiert die geometrische Reihe. Es gilt in diesem Fall .
Bewiesen werden kann dies über Betrachtung der Partialsummen:
, und die letzte Gleichheit folgt aus
Es ist für eine Nullfolge, also gilt .
Es ist also hinreichend für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Zugleich ist dies jedoch auch notwendig: Für folgt die Divergenz der Reihe aus dem Nullfolgenkriterium, da in diesem Fall für nicht gegen 0 strebt.Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. 3. Auflage. Basel/Boston/Berlin 2006, S. 196–197.
Ein Quotient mit ergibt eine divergente geometrische Reihe, z. B. für und Startwert zusammengefasst also .
Im Falle der hier abgebildeten Zweierpotenzen erscheinen stets die Mersenneschen Zahlen als Werte der Summe.
Geschichte
Bei Zenon von Elea (490 v. Chr. bis 430 v. Chr.)
Im antiken Griechenland beschäftigte sich Zenon von Elea (ca. 490 v. Chr. bis 430 v. Chr.)Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik. 2. Auflage, Berlin 2020, S. 118. bereits mit Paradoxien und Trugschlüssen, die beim Umgang mit dem Unendlichen entstehen können. Oft handelte es sich dabei um Gedankenexperimente im Umfeld von Raum, Zeit und Bewegung.
Teilungsparadoxon
mini|300px|Animation des Teilungsparadoxons über die Konvergenz der Reihe gegen 1. Mit jedem neuen Summanden wird der „Abstand“ zum Grenzwert halbiert. Bereits vor ca. 2500 Jahren standen griechische Mathematiker vor einem Paradoxon, da sie glaubten, dass eine unendlich lange Liste von Zahlen, die alle größer als null sind, stets zu unendlich summiert wird. Deshalb erschien es paradox, als Zenon von Elea im Rahmen seines Teilungsparadoxons darauf hinwies, dass man, um von einem Ort zum anderen zu gelangen, zuerst die Hälfte der Strecke gehen muss, dann die Hälfte der verbleibenden Strecke und danach wieder die Hälfte der dann noch verbleibenden Strecke. Dieser Vorgang setzt sich unendlich oft fort, da man, egal wie klein die verbleibende Strecke ist, immer die erste Hälfte davon zurücklegen muss. Dadurch verwandelte Zenon von Elea eine kurze Strecke in eine unendlich lange Liste von halbierten Reststrecken, die allesamt größer als null sind. Das Problem bestand nun darin: Wie kann eine Strecke beschränkt (der Zielort ist offenbar endlich weit entfernt!) und gleichzeitig unendlich lang sein, da man eine unendlich lange Liste positiver Strecken summiert? Zenon selbst argumentierte, dass seine Überlegungen zeigten, dass eine Bewegung „unmöglich“ sei. Das Paradoxon zeigt hingegen, dass die Annahme, eine unendlich lange Liste von Zahlen größer als null summiere sich stets zu unendlich, falsch ist. In der Tat ist es unmittelbar mit der Zerlegung der 1 in die folgende unendliche, geometrische Reihe verknüpft:John Stillwell: Mathematics and Its History. Third Edition, New York/Dordrecht/Heidelberg/London 2010, S. 182.
Achilles und die Schildkröte
mini|300px|Grafische Veranschaulichung des Paradoxons von Achilles und der Schildkröte Ein sehr anschauliches Beispiel für die Anwendung (und sogar Herleitung des Grenzwerts) der geometrischen Reihe ist die Geschichte von Achilles und der Schildkröte.Tilo Arens, Frank Hettich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelhorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage, Berlin/Heidelberg 2022, S. 180–181. Bekannt ist es als einer von mehreren bekannten Trugschlüssen, die Zenon von Elea zugeschrieben werden, und eines von vier Paradoxa, die Aristoteles in seiner Abhandlung Physik beschreibt.
Der für seine Schnelligkeit bekannte Athlet Achilles tritt in einem Wettlauf gegen eine langsame Schildkröte an. Beide starten zum selben Zeitpunkt, aber die Schildkröte erhält anfangs einen Vorsprung von zum Beispiel . Obwohl Achilles mit einer um den Faktor , mit , höheren Geschwindigkeit als die der Schildkröte läuft, kann er sie scheinbar niemals einholen. Denn: Sobald Achilles weit gelaufen ist, also den Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte gestartet ist, ist eine gewisse Zeit verstrichen. In dieser Zeit hat die Schildkröte die Strecke zurückgelegt. Achilles muss also die entsprechende Strecke weiterlaufen, um die Schildkröte einzuholen. Derweil hat die Schildkröte jedoch weitere zurückgelegt. Achilles hat die Schildkröte immer noch nicht eingeholt. Er läuft entsprechend weiter, muss nun allerdings feststellen, dass die Schildkröte in der Zwischenzeit abermals eine gewisse Strecke zusätzlich zurückgelegt hat; dieses Mal sind es . Dieses Spiel setzt sich unendlich oft fort.
Der Punkt , an welchem Achilles die Schildkröte endlich einholen wird, ist gegeben durch die unendliche Summe (Einheit stets in Metern)
Alternativ kann durch das Aufstellen zweier linearer Gleichungen bestimmt werden. Es sind
die Bewegungsgleichungen der Schildkröte bzw. von Achilles, wobei die Geschwindigkeit der Schildkröte und die verstrichene Zeit ist. Es wird die -Koordinate des Schnittpunkts von und gesucht. Durch Gleichsetzen erhält man für die Strecke
Der Wert ist endlich; Achilles wird die Schildkröte also doch einholen (womit sich das scheinbare Paradoxon auflöst). Wird diese Lösung mit derjenigen von oben verglichen, so findet man oder äquivalent wobei im letzten Schritt auf beiden Seiten durch geteilt und die Variable , mit , eingeführt wurde.
Euklid (ca. 300 v. Chr.)