Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum , der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L2-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.
Isonormaler Gauß-Prozess
Sei ein separabler Hilbertraum über . Ein isonormaler Gauß-Prozess auf ist ein stochastischer Prozess
definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum , so dass eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und
für alle gilt.
Erläuterungen Aus der Definition folgt, dass die Abbildung eine lineare Isometrie
in einen Unterraum von ist, denn für und gilt
Somit -fast sicher . Aus der Linearität folgt auch sofort, dass wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein. Existenz Fixiere eine Orthonormalbasis und betrachte iid und .
Für ein beliebiges definiere , wobei die Reihe fast sicher und in konvergiert, da Sei nun , dann gilt .
Beispiel Weißes Rauschen Sei , wobei ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß . Dann definieren wir den Prozess
durch
Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß , so dass
falls . nennt man Weißes Rauschen basierend auf und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.
Ist und das Lebesgue-Maß, dann ist das -parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.
Analog für mit und Lebesgue-Maß definiert
das -Brownsche Blatt mit Kovarianz
für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden. Sei nun , dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich
und somit ein isonormaler Gauß-Prozess .
Einzelnachweise
Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber Kategorie:Stochastischer Prozess