Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), “The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x).” The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009). Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen und ( „Boden“) für die Gaußklammer sowie und (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms Ceiling Function and Floor Function appear in Kenneth E. Iverson’s A Programming Language (1962, p. 12): “Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by and defined as the smallest integer not exceeded by x.” This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009). Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1, S. 115.Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3, S. 28. Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7, S. 33–34.
Zeichensatz
Die Zeichen für die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und können in den verschiedenen Umgebungen folgendermaßen kodiert werden: ⌊ U+230A (HTML ⌊ ⌊) ⌋ U+230B (HTML ⌋ ⌋) ⌈ U+2308 (HTML ⌈ ⌈) ⌉ U+2309 (HTML ⌉ ⌉)
Im Textsatzsystem LaTeX können diese Zeichen im math-Modus als \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil oder seit 2018 auch direkt als Unicode-Zeichen angegeben werden.
Abrundungsfunktion oder Gaußklammer
mini|Graph der Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion
Definition
Für eine reelle Zahl ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist:
Beispiele
Man beachte, dass nicht etwa gleich ist. Die Definition verlangt ja , und es ist .
Eigenschaften
Für alle gilt . Es gilt immer . Dabei ist genau dann, wenn eine ganze Zahl ist. Für jede ganze Zahl und jede reelle Zahl gilt . Für alle reellen Zahlen gilt . Für jede ganze Zahl und jede natürliche Zahl gilt . Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt . Sind und teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt . Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig. Für nichtganze reelle konvergiert die Fourierreihe der -periodischen Funktion , und es gilt . Sind und , so gilt.Daraus folgt für direkt. Für reelle Zahlen gilt außerdem.
Programmierung
Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie int, floor oder entier um.
Aufrundungsfunktion mini|Graph der Aufrundungsfunktion
Definition
Für eine reelle Zahl ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ist.
Beispiele
Eigenschaften
Es gilt . Sind und , so gilt . Daraus folgt für direkt .
Programmierung
Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil oder ceiling um.
Allgemeine Eigenschaften Gaußklammer und Dezimalstellen
Für positive Zahlen gilt . Die Funktion liefert dabei den Nachkommaanteil mit .
Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion
Es ist stets.Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per. Es ist stets,. Für ganze Zahlen gilt. Für reelle Zahlen mit gilt.
Kaufmännische Rundung
Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:
für , für .
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Rundung Kategorie:Mathematische Funktion Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Carl Friedrich Gauß