Die Bayes’sche Optimierung (BO, engl. Bayesian Optimization) ist eine sequenzielle Optimierungsmethode für die Optimierung von Black-Box-Funktionen, deren Auswertung teuer ist, d. h. in der Regel Minuten oder Stunden dauert. Dies tritt beispielsweise auf, wenn die zu optimierende Funktion nicht geschlossen darstellbar ist, sondern etwa das Ergebnis einer Simulation ausgibt, die Ergebnisse des Trainings eines Machine-Learning-Modells darstellt (s. Hyperparameteroptimierung) oder das Ergebnis eines experimentellen Versuchs zurückgibt (s. Design of Experiment).
Die Grundidee der Bayes’schen Optimierung besteht aus dem Prinzip Exploitation and Exploration. Dies bedeutet, dass beim Vorschlagen neuer Punkte ein Trade-off zwischen bereits bekannten guten Punkten (exploitation) und neuen hoffentlich noch besseren Punkten (exploration) gefunden wird, welcher durch die gewählte Akquisitionsfunktion (acquisition function) beeinflusst wird. Sucht man in der Bayes’schen Optimierung einen Trade-off für die Maximierung eines Erwartungswertes und die Minimierung der Streuung, kann dies als Mehrzieloptimierung betrachtet werden.
Geschichte Der Begriff wird im Allgemeinen Harold J. Kushner und Jonas Mockus zugeschrieben, welche in den 1960er und 1970er Jahren begannen, dazu zu publizieren.Jonas Mockus: On Bayesian Methods for Seeking the Extremum. Optimization Techniques 1974: 400-404, doi:10.1007/3-540-07165-2_55
Ausgangslage Die Bayes’sche Optimierung wird typischerweise bei Optimierungsproblemen der Form eingesetzt, wobei die Menge aller zulässigen Punkte ist, welche auch zulässige Menge genannt wird. Die Bayes’sche Optimierung ist besonders vorteilhaft für Probleme, bei denen die Berechnung eines Funktionswerts der Zielfunktion mit großem Aufwand verbunden ist. Die Zielfunktion ist in der Regel stetig und ist ansonsten von unbekannter Struktur, die als „Black Box“ bezeichnet wird. Bei ihrer Auswertung wird nur der Funktionswert beobachtet; die Ableitungen werden nicht berechnet.
Strategie mini|Bayes’sche Optimierung einer Funktion (schwarz) mit Gaußschen Prozessen (lila). Unten sind drei Akquisitionsfunktionen (blau) dargestellt. Da die Zielfunktion unbekannt ist, besteht die Bayes’sche Strategie darin, sie als Zufallsfunktion zu behandeln und ihr einen Prior zuzuweisen. Der Prior gibt die Annahmen über das Verhalten der Funktion wieder. Nach dem Sammeln einer Stichprobe bestehend aus Punkten und zugehörigen „wahren“ Funktionswerten wird der Prior aktualisiert, um die Posterior-Verteilung über die Zielfunktion zu bilden. Die Posterior-Verteilung wird wiederum verwendet, um eine Akquisitionsfunktion (oft auch als Infill-Sampling-Kriterium bezeichnet) zu konstruieren, die optimiert wird, um den nächsten Abfragepunkt zu bestimmen.
In der Optimierung sollen neue Punkte vorgeschlagen werden, die maximieren/minimieren.
Surrogatmodell Die Bayes’sche Optimierung beruht darauf, dass ein Surrogatmodell an der Stelle leichter auszuwerten ist als die echte Black-Box-Funktion . Typischerweise werden als Surrogatmodelle Gauß-Prozesse, Parzen-Tree Estimator, Random Forests oder andere bootstrap aggregated models verwendet. Gemein ist diesen Schätzmodellen, dass sie eine Varianzschätzung (und damit eine Schätzung der Verteilung) erlauben. Diese Varianzschätzung wird anschließend in der Akquisitionsfunktion verwendet, um nicht nur das (mittlere, erwartete) Optimum zu finden, sondern zusätzlich einen Erwartungswert-Varianz-Trade-off einzugehen: Punkte mit hoher Varianz in der Vorhersage des Surrogatmodells könnten beispielsweise einen deutlich höheren echten Wert aufweisen als das Modell bisher modelliert hat. Punkte mit hoher Chance auf eine mögliche Verbesserung (gemessen durch die Akquisitionsfunktion) werden als neue Punkte zur Auswertung von vorgeschlagen.
Vorschlagen neuer Punkte Jedes Mal, wenn eine Auswertung erfolgt, wird das neue Wertepaar in das Trainingsset des Surrogatmodells aufgenommen. Es ergeben sich dann neue Punkte mit hoher Chance auf eine mögliche Verbesserung, und der Vorgang wird bis zur Konvergenz wiederholt, wobei keine Konvergenz im mathematischen Sinne erwartet wird, sondern die Methode beispielsweise nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen aus Budget-Gründen endet, oder ein vorzeitiger Abbruch vorgenommen wird, falls sich in den letzten Iterationen keine Verbesserung mehr feststellen ließ.
Mit Kenntnis der durch das Surrogatmodell geschätzten bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte kann die Akquisitionsfunktion iterativ optimiert werden. Der nächste zu überprüfenden Punkt ist (wenn die Akquisitionsfunktion maximiert werden soll). Die argmax-Funktion kann näherungsweise für eine endliche Menge an zufälligen Punkten ausgewertet werden. Die Näherung an argmax ist dann der x-Wert, welcher den größten Wert der Akquisitionsfunktion hat.
Pseudocode Die folgende algorithmische Grundidee der Bayes’schen Optimierung wird wie folgt in Anlehnung an die Literatur dargestellt. FOR DO Wähle einen neuen Punkt durch Optimierung der Akquisitionsfunktion : Evaluiere den Zielfunktionswert: Erweitere den Datensatz um den neuen Punkt: Aktualisiere das zugrundeliegende statistische Modell END FOR
Exotische Bayes’sche Optimierung Probleme, die von der oben gemachten Annahme der leichten Auswertung abweichen, werden als exotische Bayes’sche Optimierungsprobleme bezeichnet. Optimierungsprobleme können exotisch werden, wenn bekannt ist, dass es Rauschen gibt, die Auswertungen parallel durchgeführt werden, die Qualität der Auswertungen von einem Kompromiss zwischen Schwierigkeit und Genauigkeit abhängt, zufällige Umgebungsbedingungen vorhanden sind oder die Auswertung Ableitungen beinhaltet.
Beispiele für Akquisitionsfunktionen Akquisitionsfunktionen stellen einen Kompromiss (Trade-off) zwischen Erkundung und Ausnutzung dar, um die Anzahl der Funktionsabfragen zu minimieren. Die Bayes’sche Optimierung eignet sich daher gut für Funktionen, deren Auswertung teuer ist.
Beispiele für Akquisitionsfunktionen sind: obere (), bzw. untere () Konfidenzgrenzen , die Verbesserungswahrscheinlichkeit , die erwartete Verbesserung, die erwarteten Verluste nach Bayes, Thompson-Sampling und Mischformen davon.Matthew W. Hoffman, Eric Brochu, Nando de Freitas: Portfolio Allocation for Bayesian Optimization. Uncertainty in Artificial Intelligence: 327–336 (2011)
Erwartete Verbesserung Die erwartete Verbesserung (expected improvement) ist skopt. Hierbei ist der bisher tatsächlich beobachtete Maximalwert der Blackbox-Funktion . Der bedingte Erwartungswert berechnet sich durch .
In der Literatur gibt es auch andere nicht äquivalente Definitionen der erwarteten Verbesserung: Acquisition functions in Bayesian Optimization.
Für einen Gauss-Prozess folgt aus der Definitionhttps://predictivesciencelab.github.io/data-analytics-se/lecture23/hands-on-23.4.html:
wobei die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung ist. Die erwartete Verbesserung ermöglicht somit den Vorschlag von Punkten für die , bei denen aber groß ist. Somit ermöglicht diese Akquisitionsfunktion die Exploration.
Die erwartete Verbesserung wählt im Vergleich zur Akquisionsfunktion mit Konfidenzgrenzen einen gewissen Explorations-Exploitation-Trade-off ohne weiteren expliziten Hyperparameter (welcher bei LCB or UCB als Akquisitionsfunktion vorliegt).
Lösungsmethoden Die Maximierung der Akquisitionsfunktion erfolgt durch Verfahren der mathematischen Optimierung (Newtonverfahren, Quasi-Newton-Methoden wie dem Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno-Algorithmus …) oder durch Random Sampling, das heißt das Auswerten der Akquisitionsfunktion an zufällig gezogenen Punkten der zulässigen Menge .
Anwendungsgebiete Der Ansatz wurde zur Lösung einer Vielzahl von Problemen angewandt,Eric Brochu, Vlad M. Cora, Nando de Freitas: A Tutorial on Bayesian Optimization of Expensive Cost Functions, with Application to Active User Modeling and Hierarchical Reinforcement Learning. CoRR abs/1012.2599 (2010) darunter Hyperparameteroptimierung, Rangordnungslernen,Eric Brochu, Nando de Freitas, Abhijeet Ghosh: Active Preference Learning with Discrete Choice Data. Advances in Neural Information Processing Systems: 409-416 (2007) Computergrafik und visuelles Design,Eric Brochu, Tyson Brochu, Nando de Freitas: A Bayesian Interactive Optimization Approach to Procedural Animation Design. Symposium on Computer Animation 2010: 103–112Yuki Koyama, Issei Sato, Daisuke Sakamoto, Takeo Igarashi: Sequential Line Search for Efficient Visual Design Optimization by Crowds. ACM Transactions on Graphics, Band 36, Nummer 4, S. 48:1–48:11 (2017). doi:10.1145/3072959.3073598Yuki Koyama, Issei Sato, Masataka Goto: Sequential Gallery for Interactive Visual Design Optimization. ACM Transactions on Graphics, Band 39, Nummer 4, S. 88:1–88:12 (2020). doi:10.1145/3386569.3392444, arXiv:2005.04107. Robotik,Daniel J. Lizotte, Tao Wang, Michael H. Bowling, Dale Schuurmans: . International Joint Conference on Artificial Intelligence: 944–949 (2007)Ruben Martinez-Cantin, Nando de Freitas, Eric Brochu, Jose Castellanos and Arnaud Doucet. A Bayesian exploration-exploitation approach for optimal online sensing and planning with a visually guided mobile robot. Autonomous Robots. Band 27, Nummer 2, S. 93–103 (2009) doi:10.1007/s10514-009-9130-2. Scott Kuindersma, Roderic Grupen, and Andrew Barto. Variable Risk Control via Stochastic Optimization. International Journal of Robotics Research, volume 32, number 7, S. 806–825 (2013)Roberto Calandra, André Seyfarth, Jan Peters, and Marc P. Deisenroth: Bayesian optimization for learning gaits under uncertainty. Ann. Math. Artif. Intell. Band 76, Nummer 1, S. 5–23 (2016) DOI:10.1007/s10472-015-9463-9 Sensornetzwerke,Niranjan Srinivas, Andreas Krause, Sham M. Kakade, Matthias W. Seeger: Information-Theoretic Regret Bounds for Gaussian Process Optimization in the Bandit Setting. IEEE Transactions on Information Theory 58(5):3250–3265 (2012)Roman Garnett, Michael A. Osborne, Stephen J. Roberts: . ACM/IEEE International Conference on Information Processing in Sensor Networks: 209–219 (2010) automatische Algorithmenkonfiguration,Frank Hutter, Holger Hoos, and Kevin Leyton-Brown (2011). Sequential model-based optimization for general algorithm configuration, Learning and Intelligent OptimizationJ. Snoek, H. Larochelle, R. P. Adams Practical Bayesian Optimization of Machine Learning Algorithms. Advances in Neural Information Processing Systems: 2951-2959 (2012) automatische Toolboxen für maschinelles Lernen,J. Bergstra, D. Yamins, D. D. Cox (2013). Hyperopt: A Python Library for Optimizing the Hyperparameters of Machine Learning Algorithms.