In der Kategorientheorie ist ein Gruppoid eine kleine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist. Ein Gruppoid kann als Verallgemeinerung einer Gruppe aufgefasst werden. Während eine Gruppe als Kategorie mit genau einem Objekt betrachtet werden kann, deren Morphismen als Symmetrien dieses Objekts interpretiert werden können, besitzt ein Gruppoid im Allgemeinen mehrere Objekte, zwischen denen Morphismen auftreten können. Jeder Morphismus besitzt einen inversen Morphismus, sodass alle Pfeile im Gruppoid umkehrbar sind.

Von der Gruppe zum Gruppoid Eine Gruppe kann als eine Kategorie mit genau einem Objekt aufgefasst werden: , das heißt die Menge der Morphismen ist gerade . Die Gruppenelemente werden als Morphismen , , aufgefasst. Die Gruppenverknüpfung entspricht der Komposition von Morphismen . Das neutrale Element entspricht dem Identitätsmorphismus . Das inverse Element entspricht dem inversen Morphismus von .

Ein Gruppoid ist eine Kategorie mit mehreren Objekten in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, das heißt zu jedem Morphismus existiert ein inverser Morphismus mit

Definition Ausführlich formuliert besteht ein Gruppoid also aus: Einer Menge aus Objekten; Für jedes Paar von Objekten aus einer Menge aus Morphismen (oder Pfeilen) von nach . Anstatt schreibt man auch (angelehnt an die übliche Notation für Funktionen) Für jedes Objekt ist ein ausgezeichnetes Element gegeben; Für je drei Objekte ist eine Abbildung gegeben, genannt Verkettung; Für je zwei Objekte ist eine Funktion gegeben, genannt Inversion. Diese Strukturen müssen miteinander in folgender Weise verträglich sein: Für alle gilt (Assoziativität); Für alle gilt: and (Neutralelemente); Für alle gilt: sowie (Inverse).

Die drei Verträglichkeitsbedingungen gleichen den Gruppenaxiomen. Das ist kein Zufall. Ein Gruppoid mit genau einem Objekt ist nichts anderes als eine Gruppe. In diesem Sinn stellt der Begriff Gruppoid also eine Verallgemeinerung des Begriffes Gruppe dar.

Man bezeichnet als Menge der Morphismen und die durch für gegebenen Abbildungen als Quell- und Zielabbildungen.

Gruppoid über einem Schema Gruppoide über einem Schema bilden die Grundlage für die Definition von Stacks über Schemata.

Sei ein Schema, und sei die Kategorie der Schemata über .

Ein Gruppoid über ist eine Kategorie zusammen mit einem Funktor , für den folgende Bedingungen gelten: Ist ein Morphismus in und ist ein Objekt von mit , so gibt es einen Morphismus in mit .

Sind und Morphismen in und ist ein Morphismus in mit , so gibt es genau einen Morphismus in mit und .

Stack als Gruppoid über einem Schema Ein Gruppoid über einem Schema wird zu einem Stack in Gruppoiden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Für jedes und je zwei Objekte ist die Prägarbe

die einem Morphismus die Menge der Isomorphismen zwischen und in zuordnet, eine Garbe bezüglich der étalen Topologie.

Sei eine Überdeckung von bezüglich der étalen Topologie. Für Objekte seien Isomorphismen

in gegeben, die auf den dreifachen Fasern die Kokzykelbedingung erfüllen. Dann gibt es ein Objekt und Isomorphismen die mit den verträglich sind.

Ist durch einen mengenwertigen Funktor gegeben, so ist genau dann ein Stack, wenn dieser Funktor eine Garbe ist.

Anwendung und Beispiele In der algebraischen Topologie wird das Fundamentalgruppoid zu einem topologischen Raum assoziiert. Die Objekte des Gruppoids sind die Punkte von . Die Pfeile sind die Homotopie­klassen (relativ Anfangs- und Endpunkt) von stetigen Abbildung , wobei der Anfangspunkt die Quelle ist und der Endpunkt das Ziel. Oft tragen Gruppoide zusätzliche Strukturen wie eine Topologie auf der Menge der Objekte und Pfeile.

In der Loopquantengravitation finden Gruppoide bei der Beschreibung der Spin-Netzwerke Anwendung.

In der Kristallographie werden Gruppoide zur Beschreibung der Symmetrie von polytypen Strukturen verwendet.

Jede Gruppe ist ein Gruppoid mit einem Objekt und den Gruppenelementen als Pfeilen.

Aus einer beliebigen kleinen Kategorie entsteht ein Gruppoid, wenn nur die Pfeile betrachtet werden, die Isomorphismen sind.

Jede Äquivalenzrelation ist ein Gruppoid mit den Elementen der Trägermenge als Objekten, sodass zwischen zwei Objekten genau dann ein Morphismus existiert, falls sie äquivalent sind.

In der algebraischen Geometrie werden häufig für eine algebraische Gruppe Gruppoide von -Prinzipalbündeln betrachtet. Diese tauchen in der Definition des klassifizierenden Stacks einer algebraischen Gruppe auf.

Eigenschaften Die Kategorie aller Gruppoide mit Funktoren als Morphismen ist eine Subkategorie von Cat, der Kategorie aller kleinen Kategorien.

Einzelnachweise

Kategorie:Kategorientheorie