Die ebenen kristallographischen Gruppen, auch Tapetenmustergruppe, Wandmustergruppen oder Ornamentgruppen genannt, sind die Symmetriegruppen von periodischen Mustern oder Parkettierungen der euklidischen Ebene. Es gibt, bis auf affine Äquivalenz, genau 17 solche Gruppen. Ihnen entsprechen im dreidimensionalen Raum die 230 kristallographischen Raumgruppen.

Im Sinne der Gruppentheorie bestehen die Gruppen aus der Menge aller Kongruenzabbildungen, die das Muster auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Komposition von Abbildungen als Gruppenoperation.

Symmetrieelemente Ein periodisches Muster kann Kombinationen der folgenden elementaren Symmetrieelemente aufweisen: Translation (Verschiebung) Achsenspiegelung Gleitspiegelung, also eine Kombination aus Translation und Achsenspiegelung Rotation 2-zählig, also eine Drehung um 180° bzw. eine Punktspiegelung 3-zählig, also eine Drehung um 120° 4-zählig, also eine Drehung um 90° 6-zählig, also eine Drehung um 60°

Andere Drehungen als die aufgezählten sind unmöglich. Das liegt daran, dass (abgesehen von der zweizähligen Drehung) zu jeder Symmetriegruppe eine periodische Parkettierung der Ebene mit regelmäßigen Vielecken entsprechender Zähligkeiten gehört. Und eine Parkettierung mit beispielsweise Fünfecken ist unmöglich, weil sich aufgrund der Innenwinkelsumme ein Innenwinkel von 108° ergibt, sodass eine derartige Parkettierung an den Ecken nicht aufgehen würde (108 ist kein Teiler von 360). In nichteuklidischen Geometrien hingegen sind auch Symmetriegruppen mit anderen Zähligkeiten möglich.

Eine 4-zählige Rotationssymmetrie impliziert natürlich eine 2-zählige, genauso wie eine 6-zählige sowohl eine 3-zählige als auch eine 2-zählige impliziert. Es wird normalerweise für jedes Rotationszentrum jeweils nur der höchste Wert angegeben.

Jedes periodische Muster kann erzeugt werden, indem diese Operationen auf eine beschränkte Elementarzelle immer wieder angewandt werden, bis die gesamte Ebene parkettiert ist. Per Definition enthält die Symmetriegruppe eines periodischen Musters immer zwei linear unabhängige Translationen. Dadurch ist es auch möglich, allein durch wiederholte Verschiebung einer translativen Zelle das gesamte Muster zu erzeugen. Die translative Zelle enthält dabei eine oder mehrere Kopien der elementaren Zelle.

Notation

Orbifold-Notation Die Eigenschaften einer Symmetriegruppe können auch durch die sogenannte Orbifold-Notation beschrieben werden. Ziffern n (2, 3, 4, 6) bezeichnen ein n-zähliges Rotationszentrum. Ein ∗ steht für eine Spiegelachse. Ziffern, die vor einem ∗ stehen, liegen abseits der Spiegelachsen Ziffern, die nach einem ∗ stehen, liegen auf den Spiegelachsen Ein × steht für eine Gleitspiegelung. Ein ∘ steht für keine Symmetrien, abgesehen von den Translationen. Die in jeder Gruppe vorkommenden Translationen werden nicht explizit notiert.

Kurzübersicht

Gruppe Orbifold-Notation Translationszelle (z. B.) Elementarzellen in minimaler Translationszelle p1 ∘1 Parallelogramm 1 p2 2222 Parallelogramm 2 pm ** Rechteck 2 pg ×× Rechteck 2 cm ∗× Raute 2 pmm ∗2222 Rechteck 4 Rechtecke pmg 22∗ Rechteck 4 pgg 22× Rechteck 4 cmm 2∗22 Raute 4 p4 442 Quadrat 4 p4m ∗442 Quadrat 8 rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke p4g 4∗2 Quadrat 8 p3 333 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 3 p3m1 ∗333 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 6 gleichseitige Dreiecke p31m 3∗3 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 6 p6 632 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 6 p6m ∗632 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 12 rechtwinklige Dreiecke mit einem Kathetenverhältnis von 2:1

Liste Die in den Strukturdiagrammen angegebenen Elemente sind wie folgt gekennzeichnet: rechts|20px Zentrum einer zweizähligen Rotation (180°). rechts|20px Zentrum einer dreizähligen Rotation (120°). rechts|20px Zentrum einer vierzähligen Rotation (90°). rechts|20px Zentrum einer sechszähligen Rotation (60°). rechts|120px Spiegelachse. rechts|120px Gleitspiegelachse. Dabei sind unterschiedliche Äquivalenzklassen der Elemente durch unterschiedliche Farben und Drehungen gekennzeichnet.

Die gelb markierten Fläche kennzeichnet eine Elementarzelle, der gesamte abgebildete Bereich eine translative Zelle.

Gruppe p1

Gruppe p2

Gruppe pm

Gruppe pg

Gruppe cm

Gruppe pmm

Gruppe pmg

Gruppe pgg

Gruppe cmm

Gruppe p4

Gruppe p4m

Gruppe p4g

Gruppe p3

Gruppe p3m1

Gruppe p31m

Gruppe p6

Gruppe p6m

Ornamentgruppen in der Kunst Bei zweifach periodischen Mustern aus dem Alten Ägypten wurden 12 der 17 Ornamentgruppen nachgewiesen; es fehlen die 5 Gruppen mit 3- bzw. 6-facher Rotationssymmetrie.Branko Grünbaum: The Emperor's New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing? In: The Mathematical Intelligencer. Band 6, Nr. 4, 1984, S. 47–53, doi:10.1007/BF03026738. Die Arabesken in der Alhambra gelten als hervorragendes Beispiel der Verwendung von zweifach periodischen Mustern in der islamischen Kunst. Ob alle 17 Ornamentgruppen in der Alhambra vorkommen oder nicht, ist umstritten: Edith MüllerEdith Müller: Gruppentheoretische und strukturanalytische Untersuchungen der maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada. Baublatt, Rüschlikon 1944 (Zugleich: Zürich, Universität, Dissertation, 1944). und Branko GrünbaumBranko Grünbaum: What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? In: Notices of the American Mathematical Society. Band 53, Nr. 6, 2006, , S. 670–673, (ams.org PDF; 1,97 MB). sagen nein, José María MontesinosJosé M. Montesinos: Classical Tesselations and Three-Manifolds. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-15291-1. und Marcus du SautoyMarcus du Sautoy: Finding Moonshine. A Mathematician's Journey through Symmetry. Fourth Estate, London 2008, ISBN 978-0-00-721461-7, Kapitel 3. sagen ja. Bis auf möglicherweise pm, p3 und pg wurden alle Ornamentgruppen in China verwendet.Doris Schattschneider: The Plane Symmetry Groups: Their Recognition and Notation. In: The American Mathematical Monthly. Band 85, Nr. 6, 1978, S. 439–450, doi:10.2307/2320063.

Siehe auch Symmetrie (Geometrie) Punktgruppe

Literatur Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard: Tilings and Patterns. Freeman, New York NY 1987, ISBN 0-7167-1193-1. Michael Klemm: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen. Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-11644-3.

Einzelnachweise

Weblinks

morenaments euc, Java Applet und Application. Behält gezeichnete Linienzüge beim Wechsel der Gruppe bei. Escher Web Sketch, Java Applet. Erlaubt neben dem Freihandzeichnen auch die Benutzung einzelner anderer Objekte.

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