Der Traum der Sophomores bezeichnet zwei eng zusammenhängende mathematische Identitäten aus der Analysis, die bestimmte Integrale mit Reihen in Beziehung setzen. Dabei wird eine Funktion betrachtet, bei der Basis und Exponent übereinstimmen, sowie deren Kehrwert. Die Gleichungen wurden 1697 von Johann I Bernoulli entdeckt.
Aussage mini|Rot: Tetrationsfunktion zweiter Ordnung, Blau: Kehrwert der Tetrationsfunktion zweiter Ordnung
Die zwei Identitäten des Traums der Sophomores lauten:
und .
Im Integral steht die Tetrationfunktion zweiter Ordnung , das heißt die Potenz mit gleicher Zahl in Basis und Exponent (der ersten Stufe iterierter Potenzierung bzw. des Potenzturms).
Bezeichnung Die Bezeichnung Sophomore steht für Studenten im zweiten Studienjahr. Die Identitäten wurden von Johann I Bernoulli im Jahre 1697 entdeckt und die Bezeichnung Traum der Sophomores (englisch: Sophomore's Dream) stammt aus einem Buch von Jonathan Borwein, David H. Bailey und Roland Girgensohn. Sie spielt auf die im Allgemeinen inkorrekte Freshman-Gleichung an (Freshman ist ein Student im ersten Semester) .
Beweis Das Integral vom Kehrwert der Tetrationsfunktion zweiter Ordnung kann mit der Taylorreihe der Exponentialfunktion dargestellt werden:
Analog erfolgt der Beweis für die zweite von den zwei Formeln, welche den Traum der Sophomores bilden.
Literatur Johann Bernoulli: Opera Omnia, Band 3, S. 376–381.
Weblinks Einträge in OEIS: A083648 und A073009 Eric Weisstein, Sophomore's Dream, Mathworld
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis