Die Lorentz-Transformationen, nach Hendrik Antoon Lorentz, sind spezielle Koordinatentransformationen. Sie gehören zusammen mit ihrer Herleitung zu den Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie. Sie werden in der Physik dazu verwendet, um die Beschreibung eines Vorganges von einem Bezugssystem in ein anderes Bezugssystem zu überführen. Sie verbinden also die Zeit- und Ortskoordinaten verschiedener Bezugssysteme. Mit Hilfe dieser Zeit- und Ortskoordinaten kann ein Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse in seinem Bezugssystem stattfinden.
Das Äquivalent zu den Lorentz-Transformationen sind im dreidimensionalen euklidischen Raum die Galilei-Transformationen. So wie diese Abstände und Winkel unverändert lassen, erhalten die Lorentz-Transformationen die Abstände in einer speziellen nichteuklidischen Raumzeit, dem Minkowskiraum. Winkel werden im Minkowskiraum nicht erhalten, da der Minkowskiraum kein normierter Raum ist.
Die Lorentz-Transformationen bilden im mathematischen Sinn eine Gruppe, die Lorentz-Gruppe:
Die Hintereinanderausführung von Lorentz-Transformationen kann als eine einzige Lorentz-Transformation beschrieben werden. Die triviale Transformation von einem Bezugssystem in dasselbe ist ebenfalls eine Lorentz-Transformation. Zu jeder Lorentz-Transformation existiert eine inverse Transformation, die wieder in das ursprüngliche Bezugssystem zurück transformiert.
Unterklassen der Lorentz-Transformationen sind die diskreten Transformationen der Raumspiegelung, also der Inversion aller räumlichen Koordinaten, sowie der Zeitumkehr, also die Umkehr des Zeitpfeils, und die kontinuierlichen Transformationen der endlichen Drehung sowie der speziellen Lorentz-Transformationen oder Lorentz-Boosts. Kontinuierliche Drehbewegungen der Koordinatensysteme gehören nicht zu den Lorentz-Transformationen. Teilweise werden auch nur die speziellen Lorentz-Transformationen verkürzend als Lorentz-Transformationen betitelt.
Definition Bestandteile der Lorentz-Transformation Die Lorentz-Transformation umfasst alle linearen Transformationen der Koordinaten zwischen zwei Beobachtern. Sie sind daher Transformationen zwischen zwei Inertialsystemen, deren Koordinatenursprung, der Bezugspunkt des Koordinatensystems zum Zeitpunkt , übereinstimmt. Eine allgemeine Lorentz-Transformation umfasst daher Transformationen zwischen zwei Beobachtern, die eine unterschiedliche, konstante Geschwindigkeit besitzen, genannt Lorentz-Boost oder spezielle Lorentz-Transformation. Sie entsprechen einer Drehung im Raum-Zeit-Sektor des nichteuklidischen Minkowskiraums. Drehungen der räumlichen Koordinaten Zeit- und Raumspiegelungen Jede allgemeine Lorentz-Transformation lässt sich als Hintereinanderausführung dieser Transformationen schreiben. Eine Lorentz-Transformation, bei der Spiegelungen ausgeschlossen sind und die Orientierung der Zeit erhalten ist, wird als eigentliche, orthochrone Lorentz-Transformation bezeichnet.
Spezielle Lorentz-Transformation für Orte und Zeiten Ist der Beobachter A mit konstanter Geschwindigkeit in -Richtung gegenüber einem anderen Beobachter B bewegt, so hängen die Koordinaten , die Beobachter A einem Ereignis zuschreibt, durch die spezielle Lorentz-Transformation
mit den Koordinaten des Beobachters B für dasselbe Ereignis zusammen, falls die beiden Bezugssysteme denselben Ursprung haben, also zum Zeitpunkt miteinander übereinstimmen. Darin ist der Lorentzfaktor.
Inverse der Speziellen Lorentz-Transformation Da B sich relativ zu A mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, wenn A dies relativ zu B mit Geschwindigkeit tut, kann man gemäß dem Relativitätsprinzip ihre Rollen vertauschen. In den Transformationsformeln ändert sich dabei nur das Vorzeichen der Geschwindigkeit. Insbesondere gilt auch
Während für A die Zeit (Uhr) in B (mit ) anscheinend langsamer läuft als die in A, gilt dies auch andersherum, d. h., für B läuft die Uhr von A (mit ) langsamer.
Geschichtliche Entwicklung
Die Arbeiten von Woldemar Voigt (1887), Hendrik Antoon Lorentz (1895, 1899, 1904), Joseph Larmor (1897, 1900) und Henri Poincaré (1905), zeigten, dass die Lösungen der Gleichungen der Elektrodynamik durch Lorentz-Transformationen aufeinander abgebildet werden, oder mit anderen Worten, dass die Lorentz-Transformationen Symmetrien der Maxwell-Gleichungen sind.
Man versuchte damals, die elektromagnetischen Phänomene durch einen hypothetischen Äther, ein Übertragungsmedium für elektromagnetische Wellen, zu erklären. Es stellte sich allerdings heraus, dass sich von ihm keine Spur nachweisen ließ. Voigt stellte 1887 Transformationsformeln vor, welche die Wellengleichung invariant lassen. Die Voigt-Transformation ist jedoch nicht reziprok, bildet also keine Gruppe. Voigt nahm an, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen im Ruhesystem des Äthers und in einem Bezugssystem, das sich relativ zu diesem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gleich ist, ohne dafür eine Erklärung anzugeben. In seiner Äthertheorie konnte Lorentz dies dadurch erklären, dass die Längenmaßstäbe sich bei Bewegung in Bewegungsrichtung verkürzen und dass bewegte Uhren eine langsamer verlaufende Zeit anzeigen, die er Ortszeit nannte. Die von Lorentz angegebenen Transformationen der Längen und Zeiten bildeten eine Gruppe und waren damit mathematisch stimmig. Auch wenn in Lorentz’ Äthertheorie eine gleichförmige Bewegung gegenüber dem Äther nicht nachweisbar war, hielt Lorentz an der Vorstellung eines Äthers fest.
Einsteins spezielle Relativitätstheorie löste Newtons Mechanik und die Ätherhypothese ab. Er leitete seine Theorie aus dem Relativitätsprinzip ab, dass sich im Vakuum unter Vernachlässigung von gravitativen Effekten Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden lässt. Insbesondere hat Licht im Vakuum für jeden Beobachter dieselbe Geschwindigkeit . Die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen zwei gleichförmig bewegte Beobachter Ereignisse bezeichnen, hängen dann durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen anstatt wie in Newtons Mechanik durch eine Galilei-Transformation.
Eigenschaften Geschwindigkeitsaddition
Zwei hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in dieselbe Richtung mit Geschwindigkeit und ergeben wieder einen Lorentz-Boost mit der Gesamtgeschwindigkeit
Die Gleichung zeigt, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentz-Transformationen nicht ändert. Ist etwa die Lichtgeschwindigkeit, das heißt , so ist ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit.
Hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in verschiedene Richtungen ergeben im Allgemeinen keine Lorentz-Boosts, sondern eine allgemeine Lorentz-Transformation: Die Menge der Lorentz-Boosts ist keine Untergruppe der Lorentz-Transformationen.
Lorentz-Invariante Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit , die Masse , die Teilchenzahl, die elektrische Ladung etc.
Bei einem Lorentz-Boost in Richtung lässt sich zeigen, dass
gelten muss. Der Ausdruck ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant.
In drei Raumdimensionen ist die Norm die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit multiplizierte Masse , und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Vierervektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur etc.
Lorentz-Kontraktion und Invarianz der transversalen Koordinaten
Für einen Lorentz-Boost mit beliebig gerichteter Geschwindigkeit lässt sich der Koordinatenvektor des Ereignisses in zwei KomponentenKlaus W. Kark: Antennen und Strahlungsfelder. Elektromagnetische Wellen auf Leitungen, im Freiraum und ihre Abstrahlung. 3., erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0553-9, Kap. 3.7.1, S. 46 zerlegen. Die Indizes und bezeichnen dabei die parallele bzw. eine rechtwinklige Richtung zur Geschwindigkeit . Die transformierten Koordinaten sind dann durch
gegeben. Ein von den Beobachtern im gestrichenen System gemessener Abstand ist nur in Bewegungsrichtung verkürzt. Dieser Effekt wird Lorentz-Kontraktion genannt. Bei Maßstäben senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit nicht aus. Zusammengefasst lauten diese Gleichungen in der Matrixschreibweise mit Vierervektoren (und der Einheitsmatrix ):
.
Auf gleiche Weise lassen sich elektromagnetische Felder gemäß und in Komponenten zerlegen. R. P. Feynman: Lectures On Physics, Vol. II, 26-3, Relativistic transformation of the fields Man erhält die (skalaren) Feldkoordinaten
In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten , gilt . In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen unterschieden zu werden und für die Feldgrößen gilt:
Herleitung Um die Formeln einfach zu halten, wird als Längeneinheit die Strecke gewählt, die Licht in einer Sekunde zurücklegt. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt . Die Geschwindigkeit wird also in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gemessen.
Die erste Herleitung beruhte auf der Invarianz der Wellengleichung im Rahmen der elastischen Lichttheorie. Später wurde gezeigt, dass die Lorentz-Transformationsformeln, die den Ausdruck und somit die Form von Lichtkugelwellen invariant lassen, sich rigoros aus der elektromagnetischen Wellengleichung (und somit aus den Maxwell-Gleichungen) herleiten lassen, sofern die Forderung nach Linearität und Reziprozität berücksichtigt wird. Im Rahmen der Elektrodynamik kann die Herleitung der Lorentz-Transformation auch unter Berücksichtigung des Potentials einer bewegten Ladung (Liénard-Wiechert-Potential) erfolgen. Darüber hinaus gibt es eine größere Gruppe von Kugelwellentransformationen, welche den Ausdruck invariant lassen. Jedoch nur die Lorentz-Transformationen mit bilden alle Naturgesetze einschließlich der Mechanik symmetrisch ab und gehen für in die Galilei-Transformation über.
Herleitungen in modernen Lehrbüchern beruhen überwiegend auf der Interpretation der Transformationen im Sinne der Speziellen Relativitätstheorie, wonach diese Raum und Zeit selbst betreffen, und sind unabhängig von Annahmen zur Elektrodynamik. Einstein (1905) benutzte dabei zwei Postulate: das Relativitätsprinzip und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Allgemeinere Herleitungen, welche auf Wladimir Ignatowski (1910) zurückgehen, beruhen auf gruppentheoretischen Erwägungen.; Siehe Referenzen 5 bis 25.
Herleitung aus den einsteinschen Postulaten