Im Prinzip lassen sich beliebig viele ungelöste mathematische Probleme beschreiben, denn das Themengebiet der Mathematik ist unbegrenzt. Dennoch haben sich in der Geschichte der Mathematik mehrfach wichtige ungelöste Probleme herauskristallisiert, die innerhalb der Wissenschaft als bedeutend anerkannt wurden und an deren Lösung daher mit besonderem Eifer gearbeitet wurde und wird. Dabei kann auch der Fall eintreten, dass das Problem innerhalb des vorausgesetzten formalen Systems prinzipiell unlösbar (nicht entscheidbar) ist.
Häufig wird auch nach möglichst effizienten Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme gesucht (wie die Frage der Bestimmung des diskreten Logarithmus bei großen Zahlen oder das Travelling Salesman Problem), wofür es in der Informatik eine Einteilung nach Schwierigkeitsklassen gibt (Komplexitätstheorie). Siehe dazu die Liste ungelöster Probleme der Informatik.
Millennium-Probleme
Zuletzt stellte im Jahr 2000 das Clay Institute in Cambridge, Massachusetts, die sieben (aus seiner Sicht) wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik vor und lobte für eine veröffentlichte Lösung ein Preisgeld von jeweils einer Million US-Dollar aus. Bisher wurden zwei der sogenannten Millennium-Probleme gelöst, als Grigori Perelman durch seinen Beweis der allgemeineren Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten im Oktober 2002 die Poincaré-Vermutung verifizieren konnte.
Hilbertsche Probleme
Als Vorbild für das Clay Institute diente offensichtlich David Hilbert, der am 8. August 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 bis dahin ungelöste Probleme der Mathematik formulierte. 13 dieser Probleme sind bisher umfassend „gelöst“ worden, wobei die Lösung in einigen Fällen in dem Beweis besteht, dass eine Lösung unmöglich oder die zu Grunde liegende Fragestellung nicht entscheidbar ist (siehe z. B. Hilberts erstes Problem). Zu dreien von ihnen sind noch keine befriedigenden Resultate vorhanden. Bei einigen Problemen erwies sich im Lauf der weiteren Entwicklung der Mathematik, dass die Fragestellung zu eng gefasst war und neu interpretiert werden musste, andere waren von Hilbert bewusst sehr vage formuliert (wie das der Axiomatisierung der Physik), so dass sie eher Hinweise auf von Hilbert damals als wichtig angesehene Forschungsfelder sind. Als prominentestes ungelöstes Problem gilt weiterhin die Riemannsche Vermutung, die ebenfalls in der Clay-Liste enthalten ist. Ein weiteres bekanntes Problem der Liste ist die Goldbachsche Vermutung.
Smale-Probleme
1998 stellte Stephen Smale eine Liste von 18 mathematischen Problemen auf, angeregt durch eine Aufforderung von Wladimir Arnold, einen Ersatz für die Hilbert-Liste für das neue Jahrhundert zu finden. Wladimir Arnold ist selbst für seine mathematischen Probleme bekannt, die auch in einem Buch veröffentlicht wurden.Wladimir Arnold: Arnolds problems, 2. Aufl., Springer 2004
Weitere bekannte ungelöste Probleme und Fragen Algebra im Umkreis des Burnside-Problems (nach William Burnside) gibt es nach wie vor ungelöste Vermutungen, zum Beispiel: für welche natürlichen Zahlen m, n ist die freie Burnside-Gruppe endlich? Dabei ist m der Rang (Anzahl Generatoren) und n der Exponent (es gibt ein kleinstes so dass für alle Gruppenelemente) Hadamard-Vermutung über die Existenz von Hadamard-Matrizen. Umkehrproblem der Galoistheorie Analysis, Dynamische Systeme Vermutung von Mark J. Ablowitz, A. Ramani, Harvey Segur über die Anwendbarkeit der Inversen Streutransformation bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen vom Evolutionstyp, nämlich dass diese Reduktionen auf gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichungen mit Painlevé-Eigenschaft besitzen. Ist die Mandelbrotmenge überall lokal zusammenhängend? Das Problem ist eines der Hauptprobleme der komplexen Dynamik (MLC-Vermutung). Aus einer positiven Antwort würde folgen, dass die Mandelbrotmenge hyperbolisch ist. Vermutung von Alexandre Eremenko: Sei eine ganze transzendente komplexe Funktion, dann ist jede zusammenhängende Komponente der Entkommensmenge E (Escaping Set, das heißt die für die bei Iteration ) unbeschränkt. In einer verschärften Version wird vermutet, dass es einen Bogen in E gibt, der mit verbindet. Vermutung von Berry und Tabor (Michael Berry, Michael Tabor 1977): Im generischen Fall des Quantenchaos, Quantendynamik des geodätischen Flusses auf kompakten Riemannschen Flächen, verhalten sich der Vermutung nach die Energie-Eigenwerte der zugehörigen Hamiltonfunktion wie unabhängige Zufallsvariable, falls das zugrundeliegende klassische System exakt integrabel ist. Lehmer-Problem oder Mahler-Maß-Problem von Lehmer (nach Derrick Henry Lehmer) in der Analysis. Pompeiu-Problem der Analysis, nach Dimitrie Pompeiu (siehe dort). Ein von Ian StewartIan Stewart, Die letzten Rätsel der Mathematik, rororo 2015, Kapitel 17 unter seine Liste von ungelösten Problemen aufgenommenes Problem ist die Frage, ob die „Autobahn“ ein Attraktor bei einem zellulären Automaten namens Langton’s Ameise ist (bei beliebigen Anfangsbedingungen). Problem invarianter Unterräume (Invariant Subspace Problem). Es handelt sich um einen ganzen Fragenkomplex, von dem je nach Wahl des zugrundeliegenden Raumes oder Operatortyps eine Reihe von Teilresultaten und offenen Fragen bekannt sind. Gefragt wird danach, ob ein Operator T in einem unendlich dimensionalen Raum H (häufig Hilbert- oder Banachräume) einen nichttrivialen invarianten Unterraum W besitzt (). Für Banachräume fand Per Enflo ein Gegenbeispiel. Für endlich dimensionale Vektorräume ist die Existenz invarianter Unterräume linearer Operatoren (Matrizen) dagegen die Regel (siehe Untervektorraum). Die HRT-Vermutung (nach Christopher Heil, Jay Ramanathan, Pankaj Topiwala 1996Heil, Ramanathan, Topiwala, Linear independence of time-frequency translates, Proc. Am. Math. Soc., Band 124, 1996, S. 2787, pdf). Gegeben seien und eine quadratintegrable komplexwertige Funktion , die nicht identisch verschwindet (also nicht für alle ). Dann behauptet die Vermutung, dass die linear unabhängig sind. Sie ist nur für spezielle Konfigurationen bewiesen. Die Vermutung gilt, falls die kollinear sind, falls sie auf einem Gitter liegen (und damit für bis zu drei beliebige Punkte in der Ebene). Schon für den Fall von vier Punkten in beliebiger Lage in der Ebene ist sie offen. Sie wurde aber für spezielle Konfigurationen von vier Punkten (sog. (2,2) Konfigurationen, je zwei der Punkte liegen auf zwei verschiedenen Geraden) von Ciprian Demeter und Alexandru Zaharescu bewiesen.Demeter, Zaharescu, Proof of the HRT conjecture for (2,2) configurations, Arxiv 2010 Es gibt auch Varianten, die spezielle Funktionenklassen betrachten. Naimark-Problem: Ist eine C*-Algebra, deren irreduzible Darstellungen alle untereinander unitär äquivalent sind, isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren auf einem Hilbertraum? Sendowsche Vermutung (auch Ilief-Vermutung) aus der Funktionentheorie (nach dem bulgarischen Mathematiker Blagowest Sendow, 1958). Seien die Wurzeln eines Polynoms n-ten Grades () in der komplexen Einheitsscheibe, dann hat jede Wurzel maximal den Abstand 1 von einem kritischen Punkt des Polynoms. Bewiesen für . Bochner-Riesz-Vermutung in der harmonischen Analysis.
Algebraische Geometrie Nagata-Problem über den Grad einer ebenen algebraischen Kurve mit vorgegebenen Punkten und Multiplizitäten (siehe Masayoshi Nagata) Jacobi-Vermutung von Ott-Heinrich Keller (siehe dort). Sei eine polynomiale Abbildung, deren Jacobideterminante nirgends verschwindet. Ist die Abbildung dann bijektiv? Sie ist eines der Probleme auf der Liste von Stephen Smale. Im Juli 2026 wurde sie für den Fall n≥3 widerlegt. Standardvermutungen für algebraische Zyklen von Alexander Grothendieck über den Zusammenhang algebraischer Zyklen und Weil-Kohomologietheorien in der algebraischen Geometrie, mit denen Grothendieck ursprünglich in den 1960er Jahren hoffte, die Weil-Vermutungen vollständig (einschließlich der Riemannvermutung) zu beweisen und eine Theorie reiner Motive zu konstruieren, was sich aber bis heute als zu schwierig erwies. Viele der Standardvermutungen würden sich aus der Vermutung von Hodge (eines der Millennium-Probleme) und deren arithmetisches Analogon, der Tate-Vermutung (von John T. Tate) ergeben. André-Oort-Vermutung über Shimura-Varietäten in der arithmetischen Geometrie (nach Yves André, Frans Oort). In Spezialfällen bewiesen (unter anderem Emmanuel Ullmo, Andrei Yafaev, Bas Edixhoven, Jonathan Pila, Jacob Tsimerman). Von Tsimerman, Pila nach einem Preprint und anderen 2021 gelöst. Auflösung von Singularitäten in der algebraischen Geometrie. Der Fall der Charakteristik 0 der zugrundeliegenden Körper wurde von Heisuke Hironaka gelöst, der Fall der endlichen Charakteristik ist in den meisten Fällen (vier und mehr Dimensionen) offen (für Dimension zwei und drei Shreeram Abhyankar). Vermutung von Parschin (bzw. Vermutung von Parschin und Beilinson zusätzlich nach Alexander Beilinson) in der K-Theorie: Verschwinden der höheren rationalen K-Gruppen für glatte projektive Varietäten X über endlichen Körpern. Für dim X =0,1 bewiesen.
Geometrie, Topologie Novikov-Vermutung von S. P. Nowikow in der Topologie. Die Vermutung besagt, dass die höheren Signaturen (Verallgemeinerungen der Signatur) einer Mannigfaltigkeit Homotopie-Invarianten sind. Baum-Connes-Vermutung von Paul Frank Baum und Alain Connes über die topologische Charakterisierung des Raums irreduzibler unitärer Darstellungen einer Gruppe (verbunden mit der K-Theorie von Operatoralgebren in der nichtkommutativen Geometrie). Aus ihr folgt die Novikov-Vermutung. Carathéodory-Vermutung (nach Constantin Carathéodory) in der Differentialgeometrie: jede konvexe, geschlossene, genügend glatte Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum hat mindestens zwei Nabelpunkte. Beispiele sind die Sphäre, in der alle Punkte Nabelpunkte sind und das verlängerte Rotationsellipsoid mit genau zwei Nabelpunkten. 1940 gab Hans Ludwig Hamburger einen Beweis für analytische Flächen. Weinstein-Vermutung (von Alan Weinstein): jedes Reeb-Vektorfeld in Kontaktmannigfaltigkeiten hat geschlossene Orbite (siehe Kontaktgeometrie). Toeplitz-Vermutung (Otto Toeplitz 1911): gibt es für jede geschlossene Jordan-Kurve ein eingeschriebenes Quadrat (das heißt alle Ecken liegen auf der Kurve)? Für Spezialfälle wie stückweise analytische Kurven (wie Polygone, Arnold Emch 1916) oder konvexe Kurven ist bekannt, dass dies zutrifft. Der allgemeine Fall ist offen. Dichteste Kugelpackungen in höheren Dimensionen sind meist unbekannt (der dreidimensionale Fall ist die Kepler-Vermutung). In den wichtigen Fällen der Dimension 8 und 24 wurden die schon länger vermuteten dichtesten Kugelpackungen von Maryna Viazovska als optimal bewiesen. Kusszahlen in verschiedenen Dimensionen. Die Wurstvermutung, siehe Theorie der endlichen Kugelpackungen. Ist der Unknoten der einzige Knoten, dessen Jones-Polynom gleich ist? Es wird im Allgemeinen vermutet, dass dem so ist (Knot Detection Conjecture), für Verschlingungen trifft dies allerdings nicht zu. In der Knotentheorie gibt es noch viele weitere einfach zu stellende aber ungelöste Probleme.Lackenby, Elementary Knot Theory, 2016, Arxiv Es gibt verschiedene Algorithmen festzustellen, ob ein Knoten trivial ist (entknotbar) oder nicht, gibt es auch einen Polynom-Zeit Algorithmus ? Kakeya-Vermutung: hat eine Besikowitsch-Menge (sie enthält eine Einheitsstrecke in jeder Orientierung) im die Hausdorff-Dimension ? (siehe Sōichi Kakeya, offen für )