Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

und einen festen Punkt gibt, sodass für alle und für alle gilt.Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.

Beispiel Der euklidische Raum ist zusammenziehbar: Setze für und . Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung

ist für stets der gesamte Raum, erst für ist das Bild nur noch der Ursprung. Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare Räume Ein topologischer Raum heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle die Homotopiegruppen trivial sind, d. h. für alle .

Das ist genau dann der Fall wenn schwach homotopieäquivalent zu einem Punkt ist. Nach dem Satz von Whitehead ist schwache Zusammenziehbarkeit daher für CW-Komplexe zu normaler Zusammenziehbarkeit äquivalent. Für allgemeine topologische Räume gilt zwar ebenfalls, dass jeder zusammenziehbare Raum schwach zusammenziehbar ist, aber nicht die Umkehrung.

Weitere Resultate Es liegen die folgenden Resultate vor: Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224 Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226 Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar. Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar.Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162 (Vererbungssatz)

Gegenbeispiele Die Einheitssphäre (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend ist. Der Raum, den man als Vereinigung von

mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind. Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Weblinks

contractible space auf nLab (englisch)

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Topologischer Raum Kategorie:Algebraische Topologie