mini|alt=Die Quadratwurzel von 2 ist eine algebraische Zahl, und zwar die Länge der Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1. |Die Quadratwurzel aus 2 ist eine algebraische Zahl, denn sie ist Lösung der Gleichung . Zudem ist sie auch ganzalgebraisch. In der Mathematik ist eine algebraische Zahl eine reelle oder komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als NullEs liegt demnach eine nichtkonstante Polynomfunktion vor.

mit rationalen Koeffizienten für und ist, für die also die Gleichung erfüllt ist.

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge der komplexen Zahlen . Offenbar ist jede rationale Zahl algebraisch, da sie die Gleichung löst. Es gilt also .

Eine nicht algebraische komplexe Zahl wird als transzendente Zahl bezeichnet.

Ebenfalls gebräuchlich (und gleichwertig) ist die Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie ist äquivalent zur oben angegebenen. Das bedeutet: Für das genannte nichtkonstante Polynom

können Koeffizienten für und zu Grunde gelegt werden.Denn jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das so gegebene neue Polynom hat dieselben Nullstellen wie das ursprüngliche.

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen oder auch ganze algebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen, der aber nicht faktoriell ist. Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe Ganzheit (kommutative Algebra).

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus aus einem beliebigen Körper entnimmt.

Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl Für viele Untersuchungen algebraischer Zahlen sind der im Folgenden definierte Grad und das Minimalpolynom einer algebraischen Zahl wichtig.

Ist eine algebraische Zahl, die eine algebraische Gleichung

mit , erfüllt, aber im Fall keine derartige Gleichung geringeren Grades, dann nennt man den Grad von . Damit sind alle rationalen Zahlen vom Grad 1. Alle irrationalen Quadratwurzeln rationaler Zahlen sind vom Grad 2.

Die Zahl ist gleichzeitig der Grad des Polynoms , des sogenannten Minimalpolynoms von .

Beispiele , die Quadratwurzel aus 2, ist eine ganzalgebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung . Die imaginäre Einheit als Lösung von ebenfalls ganzalgebraisch. ist eine ganzalgebraische Zahl vom Grad 4. (Siehe dazu Beispiel für algebraisches Element!) und sind Beispiele für algebraische Zahlen 1. bzw. 2. Grades, die nicht ganzalgebraisch sind. Die Kreiszahl und die eulersche Zahl sind transzendente Zahlen und damit nicht algebraisch. Von mehreren Zahlen weiß man nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind. Dazu zählen nicht zuletzt die Zahl und genauso die Euler-Mascheroni-Konstante . Zur Zahl gibt es viele offene Fragen. So weiß man nicht einmal, ob sie eine rationale oder eine irrationale Zahl ist. Vgl. Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2019, S. 327 !

Eigenschaften Nach dem Cantorschen Isomorphiesatz sind die algebraischen Zahlen ordnungsisomorph zu den rationalen Zahlen.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar und bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d. h., jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von und ist damit dessen algebraischer Abschluss. Man schreibt ihn oft als (für „algebraischer Abschluss von “; verwechselbar mit anderen Abschlussbegriffen) oder als (für „Algebraische Zahlen“).

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper, etwa die Menge aller Zahlen der Form , wobei und rationale Zahlen sind sowie irrational und Quadratwurzel einer rationalen Zahl ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.Siehe dazu auch: Euklidischer Körper.

Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nichtlösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen „durch Radikale darstellbar“), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mindestens 5. Grades.

Literatur

Weblinks Barry Mazur: Algebraic Numbers. (PDF; 272 kB).

Einzelnachweise

Anmerkungen

Kategorie:Zahl Kategorie:Algebraische Zahlentheorie Kategorie:Körpertheorie