In der Unterhaltungsmathematik ist eine einzigartige Primzahl oder einzigartige periodische Primzahl (vom englischen unique prime oder unique period prime) eine Primzahl , für welche gilt: Die Dezimalbruchentwicklung von (also des Kehrwertes von ) hat eine einzigartige Periodenlänge , das heißt, es gibt keine andere Primzahl , für die die gleiche Periodenlänge hat. Man sagt „die Primzahl hat eine Periode der Länge “.
Einzigartige Primzahlen wurden erstmals im Jahr 1980 von Samuel Yates untersucht.
Beispiele Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Natürlich gibt es auch andere periodische Dezimalbruchentwicklungen mit einer Periodenlänge , zum Beispiel , aber für ist keine Primzahl. Auch hat die Periodenlänge , aber dieser Bruch hat nicht die Form , sondern . Es gibt keine andere Bruchzahl der Form , welche die Periodenlänge hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl. Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Alle anderen Bruchzahlen mit einer Periodenlänge haben die Form , aber diesen Bruch kann man bestenfalls durch , durch , durch , durch oder durch kürzen und erhält die Nenner oder . Der einzige prime Nenner ist somit (denn der Bruch mit hat die Periodenlänge ). Es gibt also keine andere Bruchzahl der Form , welche die Periodenlänge hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl. Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Allerdings hat auch die Primzahl als Kehrwert den Bruch mit einer Periodenlänge . Somit ist weder die Primzahl noch die Primzahl eine einzigartige Primzahl. Die kleinsten einzigartigen Primzahlen sind die folgenden: 3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991, 909090909090909090909090909091, … () Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden: 1, 2, 3, 4, 10, 12, 9, 14, 24, 36, 48, 38, 19, 23, 39, 62, … () Beispiel: Obigen beiden Listen kann man an der 10. Stelle die beiden Zahlen und entnehmen. Somit hat der Bruch die Periodenlänge und es gibt keinen anderen Bruch der Form mit , der die Periodenlänge hat. Die 24. einzigartige Primzahl hat 128 Stellen und der dazugehörige Bruch eine Periodenlänge von 320. Die Primzahl lautet:
Diese Zahl beginnt mit 32 Neunen, gefolgt von 32 Nullen, danach kommen 32 Neunen und 32 Nullen und sie endet mit einer . Man schreibt auch kurz . Zurzeit sind mehr als 50 einzigartige Primzahlen (oder einzigartige PRP-Zahlen, also Zahlen, die sehr wahrscheinlich Primzahlen sind, die aber momentan noch zu groß sind, um sich absolut sicher zu sein) bekannt. Es gibt aber nur 18 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als sind und 23 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als sind. Die momentan größte wahrscheinliche einzigartige Primzahl (Stand: 23. September 2022) ist die folgende:
Sie hat Stellen, ist eine Repunit und wurde im Mai 2021 von Serge Batalov und Ryan Propper entdeckt. Allerdings ist diese Zahl eine PRP-Zahl, das heißt, es noch nicht gesichert, ob sie wirklich prim ist oder nicht, weil sie so groß ist. Sie erfüllt aber viele Voraussetzungen für eine Primzahl. Die momentan größte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 23. September 2022) ist die folgende:
Sie ist eine Repunit, besteht aus Einsen, wurde schon im September 1999 von Harvey Dubner als PRP-Zahl erkannt, aber erst 21 Jahre später am 21. März 2022 von Paul Underwood als tatsächliche Primzahl identifiziert.R(49081) auf den PrimePages. Die zweitgrößte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 24. Februar 2023) ist die folgende:
Sie hat Stellen und wurde am 15. Oktober 2022 von Serge Batalov entdeckt.Phi(11589, - 10000) auf den PrimePages. Man kann sie auch als darstellen. Dabei ist das n-te Kreisteilungspolynom. Es folgt eine Tabelle, der man entnehmen kann, welche Periodenlängen zu welchen Bruchzahlen mit gehören. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:
Perioden-länge Primzahl Perioden-länge Primzahl Perioden-länge Primzahl Perioden-länge Primzahl Perioden-länge Primzahl 132143, 1933, 108386894183, 1231, 538987, 20176370990032280374865794236161733, 4637, 329401, 974293, 1360682471, 106007173861643, 706170999015615947981163, 9397, 2462401, 676421558270641, 1306548978080077784250461172112223, 4093, 877942127, 2689, 45969162909090909090909090909090909091822670502781396266997, 3404193829806058997303337231111111111111111111111143173, 1527791, 1963506722254397, 21409920153955266416310837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048294281833367147378267, 9512538508624154373682136329, 346895716385857804544741137394505425384477410124999900014489, 1052788969, 10566892616419841, 976193, 6187457, 83442740657856184226549, 4458192223320340849541, 2712521401, 25601, 18252121300145238681, 418550283013311072165162503518711, 553839699736402405628651064078060048185262533041, 8119594779271, 422210011940553017017933119029148878967808167, 1326859, 10583130494647, 139, 2531, 54979718449191766599144041, 1834118381718657009401, 2182600451, 73061165565718177487552417239, 464927757, 4403346547776314735121409, 31636290876345852500140615403872638227967493121, 79863595778924342083, 28213380943176667001263153660999177245677874003, 72559, 310170251658029759045157793237339498342763245483873, 1372829, 281, 1214994494899999999000000016828559389, 1491383821, 232455746567182988617, 162058348460129675849270826564021069539333667293191, 16763, 43037, 62003, 7784383939749505885997, 197673014459819096356802301467933369277, 203864078068831, 159535208632922464434897889389497867, 103733951, 104984505733, 5078554966026315671444089, 40351331022280905328493281847587895315910909130211, 241, 216150251, 5051, 78875943472201704147571, 2652127932496176419029611, 3762091, 89856956844011121649, 513239312791, 6943319, 5733641506379060435951613, 210631, 52986961, 1316816456142987771241573142393627673576957439049, 4599481134788684631022172889522303430183991547, 14197, 17837, 4262077, 43442141653, 316877365766624209, 11074218647053005429131801312990132353, 449, 641, 1409, 6985752521, 1900381976777332243781723169, 98641, 3199044596370769921289, 18371524594609, 41810033000716698679326589011353, 79, 2653716533367, 134462821031329837353107, 1659431, 1325815267337711173, 471988587994914256602000717312171337159, 1855193842151350117, 49207341634646326934001739482502131487446637939009009009009009009009009009009909909909909909909909909909911490909134103, 4013, 219938333695470541929, 14175966169747253, 422650073734453, 296557347313446299946299, 4855067598095567, 2972627050091390067716119271531, 29061613571, 123551, 102598800232111471551321, 62921, 83251631, 130063569267805835883012175151, 4201, 1576398555373919170916417094006315195191, 59281, 63841, 1289981231950849543985493631, 9651946171216407914560703479517511617, 588235336999999000001567841, 12752200102015050376176722817036322379041, 13697781874905924619697, 206209, 66554101249, 75118313082913172071723, 5363222357372028119, 247629013, 22123942967702033680135721319, 10749631, 3931123022305129377976519775237, 42043, 29920507, 1366146685760023293714964475559157409101810439712004721, 846035731396919233767211537899097169, 1093998468553705375403392668420701191076622965803480391819, 52579389090909090909090915859, 15408320493066255778120184978157, 6397, 216451, 38884780849398197, 507614162436553299491878172639593903553319111111111111111111139900900900900990990990991592559647034361, 434087628565746021214453428992855982675574675179317, 6163, 10271, 307627, 49172195536083790769, 366057476272552146152714056487508046107991799199, 397, 34849, 362853724342990469324766235474268869786311886053883203541, 27961401676321, 59648480816061, 4188901, 39526741805070721, 1972106116664671749835968110060101, 7019801, 14103673319201, 1680588011350901
Eigenschaften Jede prime Repunit (also Primzahlen der Form mit Einsern) ist eine einzigartige Primzahl. Beispiel: Die folgende Liste gibt die der momentan bekannten primen Repunits an: 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207 () Dabei sind die letzten fünf Repunits und PRP-Zahlen, es ist also noch nicht gesichert, ob sie wirklich Primzahlen sind. Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig: Die Primzahl ist eine einzigartige Primzahl mit Periode . ist eine Potenz von , wobei das n-te Kreisteilungspolynom ist. Spezialfall: Ist eine Primzahl, so gilt für das Kreisteilungspolynom : und somit ist Somit gilt für oberen Satz: , wobei die -te Repunit ist Beispiel: Sei die Periodenlänge . Dann ist . Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist. Normalfall: Ist keine Primzahl, so gilt für das Kreisteilungspolynom :
Beispiel 1: Sei die Periodenlänge . Dann ist und es gilt: . Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist. Beispiel 2: Sei die Periodenlänge . Dann ist und es gilt: . Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist. Beispiel 3: Sei die Periodenlänge . Dann ist und es gilt: . Es ist aber keine Primzahl, somit gibt es auch keine einzigartige Primzahl mit Periodenlänge . Stattdessen haben die Dezimalbruchentwicklungen von und die Periodenlänge .
Ungelöste Probleme Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele prime Repunits gibt).
Einzigartige Primzahlen im Dualsystem Einzigartige Primzahlen sind von der Basis abhängig, mit der gezählt wird. In den oberen Abschnitten wurden einzigartige Primzahlen zur Basis , also im Dezimalsystem betrachtet. In diesem Abschnitt werden einzigartige Primzahlen im Dualsystem, also mit Basis , behandelt.
Eine Primzahl ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b=2, genau dann, wenn gilt: Der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge . Es existiert keine weitere Primzahl , für die der Bruch zur Basis ebenfalls die Periodenlänge hat.
Beispiele Eine einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die Zahl : Es ist
eine im Dualsystem periodische Zahl mit Periodenlänge . Es gibt keine weitere Primzahl , deren Bruch im Dualsystem eine Periodenlänge von hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Für die Zahl ist eine im Dualsystem nicht periodische Zahl (also mit Periodenlänge ). Es gibt zwar keine weitere Primzahl , deren Bruch im Dualsystem eine Periodenlänge von hat, trotzdem ist keine einzigartige Primzahl im Dualsystem, weil sein muss. Die kleinsten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem sind die folgenden, jeweils im Dezimalsystem geschrieben: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, 2731, 5419, 8191, 43691, 61681, 65537, 87211, 131071, 174763, 262657, 524287, 599479, 2796203, 15790321, 18837001, 22366891, 715827883, 2147483647, 4278255361, … () Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden: 2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, 26, 42, 13, 34, 40, 32, 54, 17, 38, 27, 19, 33, 46, 56, 90, 78, 62, 31, 80, 120, 126, 150, 86, 98, 49, 69, 65, 174, 77, 93, 122, 61, 85, 192, 170, 234, 158, 165, 147, 129, 184, 89, 208, 312, … () Wenn man die einzigartigen Primzahlen im Dualsystem nach ihrer Periodenlänge geordnet haben will, so erhält man die . Die sortierte Liste der dazugehörigen Periodenlängen ist dann die . Die momentan (Stand: 26. Oktober 2024) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die folgende:2136279841-1 auf Prime Pages