In der Mathematik ist eine stetige Abbildung oder stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich ziehen. Formalisieren kann man diese Eigenschaft mit der Vertauschbarkeit der Funktion mit Grenzwerten oder mit dem --Kriterium.
Viele in der Praxis der reellen Analysis verwendete Funktionen sind stetig, insbesondere ist das für alle differenzierbaren Funktionen der Fall. Allgemeiner ist das Konzept der Stetigkeit von Abbildungen in der Mathematik vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung. Es ist möglich, Stetigkeit durch eine Bedingung zu charakterisieren, die nur Begriffe der Topologie benutzt. Somit kann der Begriff der Stetigkeit auch auf Funktionen zwischen topologischen Räumen ausgedehnt werden. Diese allgemeine Sichtweise erweist sich aus mathematischer Sicht als der „natürlichste“ Zugang zum Stetigkeitsbegriff: Stetige Funktionen sind diejenigen Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit deren Strukturen „verträglich“ sind. Stetige Funktionen spielen also in Topologie und Analysis eine ähnliche Rolle wie Homomorphismen in der Algebra.
Für stetige Funktionen können eine Reihe nützlicher Eigenschaften bewiesen werden. Exemplarisch seien der Zwischenwertsatz, der Satz vom Minimum und Maximum und der Fundamentalsatz der Analysis genannt.
Motivation mini|hochkant|klasse=skin-invert-image|Graphische Veranschaulichung der Funktion mit einer Sprungstelle in .
Die Funktion
„springt“ an der Stelle vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Stellt die Funktion einen Zusammenhang aus der Natur oder der Technik dar, so erscheint ein solches Verhalten als unerwartet (natura non facit saltus). Beschreibt die Funktion zum Beispiel den Zusammenhang zwischen der beim Radfahren aufgebrachten Energie und der erreichten Geschwindigkeit, so wäre es überraschend, wenn eine minimale Steigerung der aufgewandten Energie an einer Stelle sprunghaft zur Verdoppelung der Geschwindigkeit führte.
mini|klasse=skin-invert-image|Sinus und Kosinus sind stetige Funktionen; ihre Funktionsgraphen können in einem Zug ohne Absetzen gezeichnet werden, was aber für viele stetige Funktionen (z. B. die Tangensfunktion) nicht gilt.
Der mathematische Begriff der Stetigkeit versucht die Funktionen exakt zu beschreiben, die ein solches „willkürliches“ Verhalten nicht haben. Die angegebene Funktion ist also nicht stetig, wobei sich die Unstetigkeit auf den Punkt einschränken lässt. In allen anderen Punkten ist die Funktion stetig.
Anschaulich wird Stetigkeit oft damit assoziiert, den Graphen einer Funktion in einem Zug ohne Absetzen zeichnen zu können. Diese Anschauung stößt an gewisse Grenzen, besonders wenn man Funktionen mit anderen Definitionsbereichen als der gesamten reellen Zahlengerade betrachtet. Deshalb werden mathematisch exakte Definitionen benötigt.
mini|klasse=skin-invert-image|Der Graph der stetigen Funktion in zwei unterschiedlichen Maßstäben.
Beispielsweise ist die durch
gegebene Funktion anschaulich stetig, denn außer bei ist ihr Graph eine durchgehende Linie, und bei hat er keinen Platz, „Sprünge“ zu machen. Ob er sich aber bis zum Nullpunkt „ohne Absetzen zeichnen lässt“, kann man nicht ohne eine genauere Definition dessen entscheiden, was eine erlaubte Zeichnung sein soll. Da ist es einfacher, eine Definition von „stetig“ ohne den Begriff „zeichnen“ zu entwickeln, nach der diese Funktion als stetig nachgewiesen werden kann. Dann können durchaus die eben genannten Gründe zum Beweis beitragen.
Stetigkeit reeller Funktionen Definition Sei eine reelle Funktion, also eine Funktion , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich ebenfalls aus reellen Zahlen besteht. In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von in einem zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.
Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium
mini|klasse=skin-invert-image|Veranschaulichung der --Definition: für erfüllt die Stetigkeitsbedingung.
heißt stetig in , wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit
gilt: .
Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.
Definition mittels Grenzwerten Bei dieser Definition fordert man die Vertauschbarkeit von Funktionsausführung und Grenzwertbildung. Hierbei kann man sich wahlweise auf den Grenzwertbegriff für Funktionen oder für Folgen stützen. Im ersten Fall formuliert man: heißt stetig in , wenn der Grenzwert existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt, wenn also gilt: . Im zweiten Fall formuliert man: heißt stetig in , wenn für jede gegen konvergente Folge mit Elementen , die Folge gegen konvergiert. Die zweite Bedingung wird auch als Folgenkriterium bezeichnet.
Statt von Stetigkeit in spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt oder Stetigkeit an der Stelle . Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man unstetig in (im Punkt/an der Stelle) , bzw. bezeichnet als Unstetigkeitsstelle von .
Man spricht von einer stetigen oder überall stetigen Funktion, wenn diese Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.
mini|klasse=skin-invert-image|Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)
Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Damit folgt insbesondere die Stetigkeit
aller Polynomfunktionen (wie etwa ) aller gebrochen-rationalen Funktionen (wie ) der Exponentialfunktionen , für festes der trigonometrischen Funktionen (also Sinus, Kosinus, Tangens,…) der Logarithmusfunktionen
Die Stetigkeit der genannten Funktionen lässt sich aber auch direkt – etwa mittels Epsilontik – und ohne Einbeziehung ihrer Differenzierbarkeit beweisen. In diesem Zusammenhang ist nicht zuletzt die reelle Betragsfunktion erwähnenswert, welche zwar überall stetig, jedoch im Ursprung nicht differenzierbar ist.
Ebenfalls stetig sind alle Potenzfunktionen (etwa ), obwohl sie für einen Exponenten kleiner 1 im Punkt 0 ebenfalls nicht differenzierbar sind. Tatsächlich sind alle elementaren Funktionen stetig (zum Beispiel ). mini|klasse=skin-invert-image|Der Graph einer stetigen rationalen Funktion. Die Funktion ist nicht definiert für . Bei der Betrachtung der elementaren Funktionen ist allerdings zu beachten, dass einige elementare Funktionen als Definitionsbereich nur eine echte Teilmenge der reellen Zahlen haben. Bei der Quadratwurzelfunktion werden z. B. alle negativen Zahlen ausgelassen, bei der Tangensfunktion alle Nullstellen des Kosinus.Wenn manchmal gesagt wird, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig, so ist dies allerdings unpräzise formuliert, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt.
Hier ist die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke zu stellen. Beispielsweise ist die Funktion
definiert für alle reellen Zahlen und sie ist in jedem Punkt des Definitionsbereiches stetig und damit eine stetige Funktion. Die Frage der Stetigkeit im Punkt stellt sich nicht, weil dieser Punkt nicht zum Definitionsbereich gehört. Eine stetige Fortsetzung der Funktion an dieser Definitionslücke ist hier wegen nicht möglich.
Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest „an den meisten“ Stellen differenzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden.Dies zeigt, dass die intuitive „Erklärung“, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lasse, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen. Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne „häufig“ unter den stetigen Funktionen sind.
mini|klasse=skin-invert-image|Die Vorzeichenfunktion ist nicht stetig an der Stelle 0. Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind: die Vorzeichenfunktion (unstetig nur in 0) die Dirichlet-Funktion (in jedem Punkt unstetig) die thomaesche Funktion (unstetig genau in allen rationalen Zahlen).
Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen Ähnlich wie die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit eine Eigenschaft, die sich bei vielen Operationen von den Bestandteilen auf die daraus zusammengesetzten Funktionen überträgt. Bei den folgenden Punkten sei die Stetigkeit von in bereits gegeben. Hintereinanderausführung Ist eine weitere reelle Funktion, deren Definitionsbereich den Wertebereich von umfasst und die in stetig ist, dann ist die Komposition stetig in . Algebraische Operationen Ist eine weitere reelle Funktion mit demselben Definitionsbereich wie , die ebenfalls in stetig ist, dann sind die punktweise definierten Funktionen , und ebenfalls stetig. Falls gilt, ist auch die Quotientenfunktion stetig in . Maximum/Minimum Unter den gleichen Voraussetzungen wie im vorherigen Punkt sind die punktweise definierten Funktionen und stetig in .
Unter bestimmten Voraussetzungen überträgt sich Stetigkeit auch auf die Umkehrfunktion: Ist der Definitionsbereich der injektiven, stetigen reellen Funktion ein Intervall, so ist die Funktion streng monoton (steigend oder fallend). Die auf dem Wertebereich von definierte Umkehrfunktion ist ebenfalls stetig.
Mit Hilfe dieser Eigenschaften der Stetigkeit reeller Funktionen kann man zum Beispiel die Stetigkeit der oben angegebenen elementaren Funktion aus der Stetigkeit der identischen Funktion, der Cosinusfunktion, der quadratischen Funktion, der konstanten Funktion und der Quadratwurzelfunktion herleiten.
Hauptsätze über stetige reelle Funktionen Es gibt eine Reihe wichtiger Sätze, die für stetige reelle Funktionen gelten. Diese lassen sich am einfachsten formulieren, wenn man annimmt, dass mit ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist:
Zwischenwertsatz Die Funktion nimmt jeden Wert zwischen und an.
Satz vom Minimum und Maximum ist beschränkt, und Infimum und Supremum seiner Funktionswerte werden auch als Funktionswert angenommen. Es handelt sich also tatsächlich um Minimum und Maximum. Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für ihr praktisches Auffinden sind häufig Aussagen aus der Differentialrechnung nötig.
Fundamentalsatz der Analysis ist Riemann-integrierbar und die Integralfunktion
ist eine Stammfunktion von .
Satz von Heine erfüllt eine strengere Version des Epsilon-Delta-Kriteriums. Die entsprechende Eigenschaft wird gleichmäßige Stetigkeit genannt.
Aus Zwischenwertsatz und Satz vom Minimum und Maximum zusammen folgt, dass das Bild von ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall (bzw. im Fall einer konstanten Funktion eine einpunktigen Menge) ist.
Andere Stetigkeitsbegriffe