Reihe (Mathematik)

mini|hochkant=1.2|Animation der Konvergenz der Reihe gegen 1. Mit jedem neuen Summanden wird der „Abstand“ zum Grenzwert halbiert.

Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa

Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, ob also die Summe endlich vieler Summanden durch Hinzunahme hinreichend vieler weiterer Summanden einem festen Wert beliebig nahe kommt. So konvergiert etwa die obige Beispielreihe gegen den Wert (siehe Bild), allerdings existieren auch divergente (also nicht konvergente) Reihen, wie zum Beispiel

Allgemein wird eine Reihe mit bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.

Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur Indexmenge zählt, ist die -te Partialsumme die Summe der ersten (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt.

Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton vorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der Integration von Kurven. Als formale Objekte wurden Reihen im 18. Jahrhundert von Mathematikern wie Leonhard Euler studiert, der ihnen drei Bände seines Gesamtwerkes, der Opera Omnia, widmete. Erst im 19. Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz beiseite ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 schuf Augustin-Louis Cauchy die Grundlagen der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der mathematisch strengen Aufarbeitung der Analysis, etwa durch Karl Weierstraß, den Weg. Von zentraler Bedeutung in diesem Zusammenhang war das Cauchy-Kriterium für die Charakterisierung des Konvergenzbegriffs. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der Zahlentheorie, ein Objekt intensiver mathematischer Forschung.

Für die Untersuchung einer Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach ihrer Konvergenz und, wenn diese gegeben ist, nach dem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren allgemeinen Methoden. Allerdings sind Kriterien entwickelt worden, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern.

Besonders bedeutende Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über Taylorreihen zu analytischen Funktionen), den Ingenieurwissenschaften (etwa in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung über Fourierreihen), aber auch in der Wirtschaftswissenschaft und Finanzmathematik. Einige bedeutende mathematische Konstanten, etwa die Kreiszahl oder die Eulersche Zahl , konnten mit Hilfe von Algorithmen, die auf unendlichen Reihen fußen, auf viele Billionen Nachkommastellen angenähert werden.

Einführung Unendliche Summierbarkeit und erste Beispiele 400x400px|mini|Die Kreiszahl ist irrational und hat damit unendlich viele Nachkommastellen ungleich . Durch Addition der Werte und mit der -ten Nachkommastelle lässt sie sich als Reihe darstellen.

Unter einer Reihe versteht man, anschaulich gesprochen, eine niemals endende Summe von Zahlen. Die Dezimalschreibweise einer reellen Zahl kann zum Beispiel als Reihe aufgefasst werden, etwa

oder auch mit der Kreiszahl : . Die durch die Punkte angedeuteten Summen enden niemals, da die Dezimalentwicklung von periodisch und die Kreiszahl irrational ist. Es gibt Reihen, denen kein Wert zugeordnet werden kann, etwa

aber auch solche, die gegen einen Grenzwert konvergieren (wie die obigen Beispiele mit Grenzwerten bzw. ).

Darüber hinaus treten Reihen in vielen Bereichen der Mathematik auf und besitzen zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Klassischerweise treten sie dann in Erscheinung, wenn mathematische Terme beliebig gut angenähert werden sollen oder die Entwicklung (theoretisch) nicht endender Prozesse analysiert wird. Auch in der Physik spielen Reihen eine wichtige Rolle. Eine einfache „Anwendung“ kann über das klassische Paradoxon von Achilles und der Schildkröte gegeben werden:Tilo Arens, Frank Hettich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelhorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage, Berlin/Heidelberg 2022, S. 180–181. mini|Graphische Veranschaulichung des Paradoxons (hinsichtlich des Beispiels nicht maßstabsgetreu) Der für seine Schnelligkeit bekannte Heros Achilles liefert sich einen Wettkampf mit einer Schildkröte. Beide starten von der gleichen Position aus. Jedoch gewährt Achilles, der einhundert Mal schneller als die Schildkröte ist, dieser 100 Meter Vorsprung. Das Paradoxon besagt nun, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen wird: Hat nämlich Achilles 100 Meter zurückgelegt, so hat sich die Schildkröte in der Zwischenzeit einen Meter von ihrer bisherigen Position weiter bewegt. Und läuft Achilles nun auch diesen weiteren Meter, so ist ihm die Schildkröte einen weiteren Zentimeter voraus. Und bewegt sich Achilles diesen Zentimeter, so hat die Schildkröte einen Zehntelmillimeter Vorsprung usw.

Das scheinbare Paradoxon entsteht dadurch, dass die Zeit nicht berücksichtigt wurde.Tilo Arens, Frank Hettich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelhorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage, Berlin/Heidelberg 2022, S. 181. Genau genommen ist die Aussage, dass Achilles die Schildkröte niemals aufholen wird, nicht korrekt. Die in dem Paradoxon aufgeführten Zwischenschritte, in denen die Schildkröte stets einen rasch abnehmenden Vorsprung vor Achilles hat, sind allesamt mit Zeitabschnitten verbunden, die jedoch ebenso rasant abnehmen (zum Beispiel dann, wenn Achilles nur noch einen Zentimeter läuft). Brauchte Achilles für die ersten 100 Meter noch „eine Zeiteinheit“, so wird er für einen Meter nur noch „ Zeiteinheiten“ brauchen.Aus Gründen der Einfachheit wird davon ausgegangen, dass sowohl Achilles als auch die Schildkröte mit konstanter Geschwindigkeit laufen. Im nächsten Schritt braucht er für einen Zentimeter nur noch „ Zeiteinheiten“. Der Zeitpunkt, an dem Achilles und Schildkröte schließlich die gleiche Position haben werden, ist also, da deren Abstände immer weiter abnehmen, gegeben durch die unendliche Reihe

Obwohl also unendlich viele Terme berücksichtigt bzw. Zeitabschnitte betrachtet wurden, entsteht im Grenzwert eine endliche Zahl bzw. wird Achilles nach endlicher Zeit, nämlich nach Zeiteinheiten, die Schildkröte einholen.

Elementare Anwendungsbeispiele

Das Konzept der Reihe spielt disziplinübergreifend eine zentrale Rolle in der Mathematik. Hauptanwendungsgebiet ist zunächst die Analysis, jedoch auch alle durch diese Sparte beeinflussten Bereiche, nicht zuletzt angewandte Gebiete wie die Ingenieurwissenschaften.

Annäherung von Funktionen

Reihen entfalten ihre Nützlichkeit zum Beispiel dann, wenn es darum geht, bestimmte Funktionen annähernd auszurechnen, die für Anwendungen zwar nützlich, aber kompliziert sind. Ein besonders berühmtes und zugleich wichtiges Beispiel ist die Darstellung der natürlichen Exponentialfunktion durch ihre Taylorreihe im Punkt :

wobei die Fakultät von bezeichnet. Bemerkenswert ist, dass sich jeder Term auf der rechten Seite durch die vier Grundrechenarten berechnen lässt, was auf nicht mehr zutrifft. Die Konstruktion dieser Reihe ist dadurch motiviert, dass die (termweise) Ableitung der rechten Seite die Reihe unverändert lässt und diese in den Wert 1 annimmt (was beides auch auf zutreffen „soll“). Für kleine Werte nähert sich diese Reihe relativ schnell dem Grenzwert an und ist dort für eine Berechnung durchaus geeignet. Neben der (punktweisen) Berechnungsmöglichkeit liefert diese Reihendarstellung auch erste Analysemöglichkeiten: Da für alle Terme positiv sind, ist erkennbar, dass die Exponentialfunktion für jede Art polynomiellen Wachstums übersteigen wird, da beliebig hohe Potenzen in der Summation auftreten.

mini|330px|Animation der Approximation des Sinus durch seine Taylorreihe Ein weiteres Beispiel sind die Winkelfunktionen, etwa der Sinus. Es gibt auch hier kein einfaches, „geschlossenes“ Verfahren, für Eingabewerte den Ausgabewert zu berechnen, aber mittels Reihen können gute Näherungswerte relativ schnell berechnet werden, die in der Praxis ausreichen. Es gilt die ReihenentwicklungTilo Arens, Frank Hettich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelhorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage, Berlin/Heidelberg 2022, S. 301.

kurz:

Etwa ist und, wegen für alle , als Näherung bis zum -Term

Wahrscheinlichkeitstheorie mini|hochkant|Münzwurf mit einer Euromünze

Bei der Untersuchung bestimmter Zufallsexperimente in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen Reihen eine wichtige Rolle. Ein einfaches Beispiel betrifft den „potenziell unendlichen Münzwurf“: Eine faire Münze wird dabei so oft geworfen, bis sie das erste Mal „“ (= Kopf) zeigt. Mit der anderen Möglichkeit „“ (= Zahl) gibt es damit folgende Möglichkeiten, wie das Experiment endet: usw. Da sowohl als auch mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten und die Würfe unabhängig ablaufen, haben die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten die Werte (), (), () usw. Da aber gleichzeitig fast sicher irgendeines dieser Ereignisse eintreten muss, folgt

wobei die als die zum fast sicheren Ereignis gehörige Wahrscheinlichkeit („100 %“) zu interpretieren ist.Richard Isaac: The Pleasures of Probability. Springer Verlag New York, 1995, S. 44–46. Die besondere Bedeutung der Theorie der Reihen in der Praxis wird in diesem Zusammenhang jedoch beim Übergang zu Erwartungswerten ersichtlich. Um dies zu sehen, hilft es, das obige Experiment als ein Glücksspiel zu deuten, bei dem zum Beispiel stets die Zahl an Euro ausgezahlt wird, die angibt, wie oft „Zahl“ geworfen wurde (also zum Beispiel 3 Euro bei ZZZK) – zu Beginn aber eine Gebühr von 2 Euro verlangt wird. Es muss der Gewinn stets mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichtet werden, und somit beträgt der zu erwartende Gewinn

pro Runde.Vgl. William Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications. Wiley, 3rd Edition, New York / London / Sydney, 1968, S. 265–266. Die Teilnahme an diesem Glücksspiel ist demnach nicht zu empfehlen, da der Spieler pro Runde durchschnittlich 1 Euro verlieren wird. Für die Grenzwertermittlung der Reihe, die nicht ganz einfach ist, werden Methoden aus der Analysis herangezogen.

Definition und Grundlagen

Begriff

Eine Reihe wird selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt.

Für reelle und komplexe Folgen

Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge gegeben ( ist die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen und bezeichnet die „ist-Element-von“-Relation), kann man aus ihr eine neue Folge der Partialsummen bilden. Die -te Partialsumme ist die Summe der ersten Glieder von , ihre Definition lautet:

Die Folge der -ten Partialsummen heißt Reihe.

Zu bemerken ist, dass aus der Definition folgt, dass andersherum jede Zahlenfolge zu einer Reihe wird, wenn man diese als Partialsummen der Folge auffasst. Eine Reihe ist also nichts anderes als eine Folge spezieller „Bauart“, deren Glieder rekursiv durch und definiert sind. Allerdings führt die einfache rekursive Struktur der Reihen zu vergleichsweise sehr handlichen Konvergenzkriterien, siehe unten.

Konvergenz und Divergenz

Obwohl Reihen auch als formale Objekte studiert werden können, also „ohne Wert“, sind in der Mathematik die Fälle von besonderem Interesse, in denen sich die Reihe langfristig einem ganz bestimmten Wert annähert. Falls die Reihe , also die Folge der Partialsummen

( ist das Summenzeichen)