mini|Beispiel einer Folge, die im Unendlichen gegen einen Grenzwert strebt In dem mathematischen Gebiet der Analysis versteht man unter dem Grenzwert (oder dem Limes) einer Folge von reellen Zahlen eine wohlbestimmte reelle Zahl, der die Folgenglieder sich annähern in dem Sinne, dass in jeder Umgebung dieser Zahl fast alle Folgenglieder liegen. Existiert zu einer Zahlenfolge ein solcher Grenzwert, so spricht man von der Konvergenz dieser Folge. Man sagt dann, dass eine konvergente Folge vorliegt und weiter, dass die Zahlenfolge gegen diesen Grenzwert strebt oder konvergiert. Andernfalls spricht man von Divergenz und von einer divergenten (Zahlen)folge.

Das bekannteste Beispiel einer konvergenten Folge ist diejenige Nullfolge, die aus den Kehrwerten der natürlichen Zahlen gebildet wird. Es handelt sich also um die durch das Bildungsgesetz gegebene Folge, die mit wachsendem gegen den Grenzwert konvergiert.

Ein weiteres Standardbeispiel bieten konstante Folgen. Hier hat man für eine gegebene reelle Zahl die Folge der , die stets konvergiert. Der Grenzwert ist gerade diese Zahl .

Hingegen divergiert die Folge der natürlichen Zahlen. Denn es gibt stets unendlich viele unter ihnen, die einen beliebig großen Abstand von jeder gegebenen reellen Zahl haben.

Ebenso divergiert die Folge , da sie sich nicht einer einzigen Zahl annähert, sondern zwischen den beiden Werten und alterniert („hin und her springt“).

Der Grenzwert einer Folge ist nicht allein für Zahlenfolgen sinnvoll, sondern existiert auch für Folgen, deren Glieder einem metrischen Raum angehören, d. h., dass zwischen ihnen ein reellwertiger Abstand definiert ist. In einer weiteren Verallgemeinerung werden – zusammen mit sogenannten Filtern und Netzen – Folgen in topologischen Räumen betrachtet. Hier werden ohne gegebene Metrik konvergente Folgen in Hinblick auf Umgebungen in einem allgemeinen Sinne betrachtet. Siehe dazu die Abschnitte Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes und eines topologischen Raumes.

Darüber hinaus werden in der Analysis auch Grenzwerte von Funktionen untersucht. Hier ist festzuhalten, dass das Konzepte des Grenzwerts (zusammen mit dem Konzept der Konvergenz) grundlegend für die gesamte moderne Mathematik ist. Im voller Allgemeinheit werden diese Gegenstände in der Topologie behandelt.

In der altgriechischen Philosophie und Mathematik stand der Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung.Vgl. beispielsweise den Artikel Achilles und die Schildkröte! Die moderne Formulierung des Grenzwertbegriffs („für jede noch so kleine Abweichung gibt es einen ersten Index …“) taucht erstmals 1816 bei Bernard Bolzano auf, später weiter formalisiert durch Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß.

Grenzwert einer reellen Zahlenfolge Erläuterung und Definition mini|250px|Illustration des Grenzwertes einer Folge Jedes Glied einer Folge reeller Zahlen hat einen Index . Die Zahl ist der Grenzwert dieser Folge, falls für jedes alle Glieder mit hinreichend großem Index „um herum“ in dem offenen Intervall liegen. Also liegen dann auch nur endlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls, und diese haben alle einen kleineren Index. Das Intervall ist dabei die im Einleitungstext erwähnte Umgebung des Grenzwerts; genauer wird diese als -Umgebung von a bezeichnet und dann geschrieben.Die -Umgebung einer reellen Zahl ist Sonderfall des allgemeineren Umgebungsbegriffs bei metrischen Räumen. Eine noch weitergehende Auffassung dieses Konzepts findet sich im Begriff des Umgebungsraums, der grundlegend ist für die Allgemeine Topologie. Die Sprechweisen „ hat den Grenzwert a“ und „ konvergiert gegen a“ sind gleichbedeutend.

Diese Konkretisierung lässt sich gut mit der anschaulichen Interpretation der Konvergenz als „Annäherung an den Grenzwert“ in Einklang bringen: Unabhängig davon, wie man das wählt, liegen ab einem gewissen Index alle Glieder stets in , sodass also ihr Abstand zu kleiner als ist. So ergibt sich die exakte Definition:

Die Zahl heißt Grenzwert der Folge , falls zu jedem eine natürliche Zahl existiert, sodass stets gilt, falls .

Diese Definition fordert also: Zu jedem gibt es einen Index mit der Eigenschaft, dass alle Folgenglieder mit diesem oder einem größeren Index weniger als von entfernt sind.

Dies ist so zu verstehen, dass als eine beliebig kleine positive Zahl vorgegeben werden darf, und dass es dann stets möglich ist, ein genügend großes so anzugeben, dass und alle darauf folgenden Glieder die Bedingung erfüllen. Man sagt dann, dass fast alle Folgenglieder, also alle bis auf endlich viele Folgenglieder, die Bedingung erfüllen.

Hinweis 1: Wenn die Konvergenz einer Folge mit dieser Definition nachgewiesen werden soll, muss der Grenzwert im Vorhinein bekannt sein. Es gibt allerdings auch Kriterien, mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne dass der Grenzwert bekannt ist.Siehe Artikel Konvergenzkriterien!

Hinweis 2: Die (durch die Häufigkeit ihrer Benutzung) auffällige Bezeichnung „kleiner“ Zahlen durch den Buchstaben hat sich allgemein eingebürgert und wird karikierend auch als Epsilontik bezeichnet.

Illustration

Eindeutigkeit des Grenzwertes mini|hochkant=1.2| Der Grenzwert einer Folge ist, sofern er existiert, eindeutig bestimmt.

Diese Aussage ergibt sich direkt aus der Definition anhand eines Widerspruchsbeweises. Hätte eine Folge nämlich zwei verschiedene Grenzwerte , so besäßen diese einen Abstand . Betrachtet man nun -Umgebungen mit zu den beiden Grenzwerten, also im reellen Fall die Intervalle und , so besitzen diese keinen gemeinsamen Punkt. Nach der Definition des Grenzwerts müssen jedoch ab einem bestimmten Index alle Folgenglieder in der -Umgebung des Grenzwertes liegen und somit müssten die -Umgebungen von und unendlich viele gemeinsame Punkte haben. Dieser Widerspruch lässt sich nur beheben, wenn und keinen positiven Abstand besitzen, also gilt.Gabriele Adams, Hermann-Josef Kruse, Diethelm Sippel, Udo Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg. 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40056-8, S. 79.

Notation Für den Grenzwert einer Folge gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt .

Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise für , gelesen als konvergiert gegen für gegen unendlich, oder kurz üblich.

Mit dieser Schreibweise lässt sich die Definition des Grenzwertes einer Folge verkürzen zu .

Unter Verwendung der Umgebungs-Schreibweise lautet die Definition: .

Beispiele Die Definition des Grenzwertes soll an einem Beispiel deutlich gemacht werden, anschließend sind weitere Grenzwerte aufgeführt.

Um zu beweisen, dass die Folge gegen konvergiert, wählt man zu vorgegebenem als irgendeine natürliche Zahl, die größer als ist (die Existenz eines solchen ist durch das archimedische Axiom gesichert). Dann gilt für alle :

Die erste Ungleichung folgt dabei aus , die zweite aus . Hiermit ist die geforderte Existenz des Index gezeigt, die Zahl ist Grenzwert der Folge .

Folgen, die gegen 0 konvergieren, wie ebendieses Beispiel , werden Nullfolgen genannt. Die konstante Folge mit einer festen reellen Zahl konvergiert gegen . Die Folge der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen von konvergiert gegen . Die Folge mit ist konvergent gegen die Eulersche Zahl . Die Folge konvergiert gegen . Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf. Die Folge mit ist nicht konvergent, aber beschränkt. Damit besitzt sie nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß konvergente Teilfolgen, z. B. die beiden konvergenten Teilfolgen für gerade und ungerade Indizes: und .

Rechenregeln Für Grenzwerte gelten folgende Rechenregeln:

Existiert der Grenzwert , so existieren für jedes auch die folgenden Grenzwerte und können wie angegeben berechnet werden:

Ist zusätzlich , so ist auch ab einem gewissen Index , und für die Teilfolge mit gilt

Existieren die Grenzwerte und , so existieren auch die folgenden Grenzwerte und können wie angegeben berechnet werden:

Ist zusätzlich , so ist auch ab einem gewissen Index , und für die Teilfolge mit gilt .

Mit Hilfe dieser Rechenregeln lassen sich in vielen Fällen aus bekannten Grenzwerten einfach weitere Grenzwerte berechnen. So erhält man beispielsweise für den Grenzwert der Folge

Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge Für die hier betrachteten Folgen ist Monotonie nicht vorausgesetzt.

Hat eine konvergente Folge reeller Zahlen eine obere Schranke (d. h., für alle gilt ), so ist .

(Indirekter) Beweis: Annahme: . Dann lässt sich ein vorgeben und für fast alle gilt (siehe oben Abschnitt „Erläuterung und Definition“) (Widerspruch).

Hat eine konvergente Folge reeller Zahlen eine untere Schranke (d. h., für alle gilt ), so gilt .

(Indirekter) Beweis: Annahme: . Dann lässt sich ein vorgeben, und für fast alle gilt (siehe oben Abschnitt „Erläuterung und Definition“) (Widerspruch).

Wichtige Grenzwerte

für komplexe (und damit insbesondere für reelle) Zahlen . für reelle (Euler-Mascheroni-Konstante)

Grenzwertbildung und Funktionsauswertung Die Rechenregeln lassen sich als Spezialfall folgender Gesetzmäßigkeiten auffassen:

Ist stetig im Punkt und konvergiert gegen , so gilt . Ist stetig im Punkt und konvergieren gegen und gegen , so gilt . Für stetige Funktionen sind also Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar. Die oben angegebenen Rechenregeln folgen damit direkt aus der Stetigkeit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und, falls der Nenner ungleich Null ist, Division.

Für reelle Zahlen gilt auch die Umkehrung: Ist die Funktion gegeben und gilt für alle Folgen mit auch , so ist stetig im Punkt .

Entsprechendes gilt für jede Funktion : Gilt für alle Folgen , mit und auch , so ist stetig im Punkt .

Konvergenzkriterien Bei der oben angegebenen Definition der Konvergenz wird der Grenzwert in der Definition verwendet. Der Grenzwert muss also bekannt sein oder zumindest vermutet werden, damit mit dieser Definition die Konvergenz der Folge nachgewiesen werden kann. Es gibt allerdings auch Konvergenzkriterien, mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne dass der Grenzwert bekannt ist.

Das Monotoniekriterium besagt, dass eine monoton wachsende Folge genau dann konvergiert, wenn sie nach oben beschränkt ist. Der Grenzwert der Folge ist dann kleiner gleich der oberen Schranke. Formal gilt also:

.

Ebenso konvergiert eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge.

Das Cauchy-Kriterium beruht auf dem Begriff der Cauchy-Folge: Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

.

Das Cauchy-Kriterium besagt nun, dass eine Folge in den reellen Zahlen genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Dieses Kriterium spielt insbesondere bei der Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen und bei der Erweiterung des Grenzwertbegriffs auf metrische Räume eine wichtige Rolle.

Bestimmung von Grenzwerten Ist die Konvergenz einer Folge nachgewiesen, lässt sich der Grenzwert in vielen Fällen näherungsweise bestimmen, indem in die Folge ein großes eingesetzt wird und der Rest abgeschätzt wird. Beispielsweise ergibt sich für den Grenzwert wegen der Abschätzung

für die Abschätzung

Es gibt jedoch kein allgemeines Verfahren zur exakten Bestimmung von Grenzwerten. In vielen Fällen lässt sich die Regel von de L’Hospital anwenden. Manchmal ist es nützlich, den Grenzwert in ein bestimmtes Integral umzuwandeln. Oft führen jedoch nur raffinierte Zerlegungen und Umformungen weiter.

Bestimmte Divergenz In den reellen Zahlen unterscheidet man zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz:

Bestimmte Divergenz gegen (bzw. ) liegt vor, wenn eine Folge xn jede reelle Zahl irgendwann überschreitet und dann darüber bleibt (bzw. jede reelle Zahl unterschreitet und dann darunter bleibt). Das heißt,

bzw. . Man schreibt dann

bzw.