mini|Schach mini|Go|alt=Linsenförmige Spielsteine in Schwarz und Weiß liegen unregelmäßig auf einem Holzbrett verteilt, das horizontal und vertikal liniert ist. Die Elo-Zahl (auch Elozahl) ist eine Wertungszahl, welche die Spielstärke von Schachspielern beschreibt. Sie wurde nach ihrem Erfinder Arpad Elo benannt. Inzwischen wurde das Konzept auch für andere Spiele und Sportarten adaptiert (s. u.).
Ausgehend vom Bradley-Terry-Modell (benannt nach R. A. Bradley und M. E. Terry,E. E. M. van Berkum: Bradley-Terry model, Encyclopedia of Mathematics Online, abgerufen am 18. November 2014. die es im Jahr 1952 präsentiertenRalph Allan Bradley, Milton E. Terry: Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons. Biometrika, Bd. 39, Nr. 3/4, S. 324, 1952 JSTOR (abgerufen am 22. August 2018).), das wiederum auf einer Arbeit von Ernst Zermelo aus den 1920er Jahren basiert,David R. Hunter: MM algorithms for generalized Bradley–Terry models. The Annals of Statistics, Bd. 32, Nr. 1, 2004, S. 384–406 Online JSTOR (abgerufen am 22. August 2018).Ernst Zermelo: Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathematische Zeitschrift, Bd. 29, Nr. 1, 1929, S. 436–460 DOI (abgerufen am 22. August 2018).Heinz-Dieter Ebbinghaus: Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49553-6, S. 268–269. entwickelte Arpad Elo 1960 ein objektives Wertungssystem für den US-amerikanischen Schachverband USCF. Es wurde 1970 auf dem Kongress in Siegen vom Weltschachverband FIDE übernommen. Der Weltschachverband nennt sein System FIDE rating system. Eine Wertungszahl heißt offiziell FIDE rating, wird umgangssprachlich aber zumeist einfach als „Elo-Zahl“ bezeichnet. Neben dem internationalen Wertungssystem der FIDE existieren auch nationale Wertungssysteme mit unterschiedlichen Namen. In Deutschland heißt das nationale Wertungssystem Deutsche Wertungszahl (DWZ), in Österreich werden (nationale) Elo-Zahlen berechnet, und in der Schweiz gibt es eine Führungsliste mit Führungszahlen. Diese Systeme werten wesentlich mehr lokale Turniere aus, berechnen die Wertungszahlen aber ebenso nach den Methoden von Arpad Elo mit meist nur geringen Modifikationen und abweichenden Faktoren.
Grundprinzip Jedem Spieler ist eine Elo-Zahl (von englisch rating) zugeordnet. Je stärker der Spieler, desto höher die Zahl. Treten mehrere Spieler gegeneinander an, so lässt sich aus den Elo-Zahlen der Spieler die erwartete Punktezahl der jeweiligen Spieler bestimmen.
Nach der Begegnung wird das Elo-Rating der Spieler ihren Ergebnissen angepasst. Je nach Differenz zwischen Erwartungswert und Ergebnis gewinnt ein Spieler Elo-Rating-Punkte hinzu oder verliert sie. Das System ist so konstruiert, dass Elo-Rating-Punkte im RegelfallWenn Spieler unterschiedliche Entwicklungsfaktoren haben, kann sich ein Spielergebnis unterschiedlich stark auf deren Elo-Zahl auswirken, sodass keine reine Umverteilung von Punkten stattfindet. Ähnlich kann es sein, wenn einer der Spieler vorher noch keine Elo-Zahl hatte. unter den beteiligten Spielern umverteilt werden.
Berechnung
Erwartungswert Bei einer Begegnung zweier Spieler gibt es für einen Sieg einen, für ein Unentschieden einen halben und für eine Niederlage keinen Punkt. Die erwartete Punktezahl E (von englisch expected score, Erwartungswert) ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler gewinnt, multipliziert mit einem Punkt, plus die Wahrscheinlichkeit für ein Remis multipliziert mit einem halben Punkt. Der Erwartungswert liegt damit zwischen 0 und 1.Der Erwartungswert darf also nicht mit der Gewinnwahrscheinlichkeit verwechselt werden, weil er offen lässt, ob die Punkte durch Siege, Remis oder durch eine Kombination aus beiden erreicht werden. So hat ein Spieler beispielsweise einen Erwartungswert in einer Partie von 0,5, sowohl wenn er voraussichtlich alle Partien remisiert, als auch, wenn er je die Hälfte der Partien gewinnt und verliert. Im Bezug auf die Gewinnquote gibt der Erwartungswert also nur Auskunft darüber, wie viele Gewinnspiele maximal zu erwarten sind. Bei einem Erwartungswert von sind das nicht mehr als Prozent der Spiele.
Das Elo-System ist mathematisch so modelliert, dass sich bei der Begegnung zweier Spieler A und B der Erwartungswert EA für den Spieler A aus den beiden Ratings RA und RB wie folgt berechnet:
RA−RB EA EB 0 50,0 % 50,0 % 50 57,1 % 42,9 % 100 64,0 % 36,0 % 200 76,0 % 24,0 % 300 84,9 % 15,1 % 400 90,9 % 9,1 % 500 94,7 % 5,3 %
{|class="wikitable" | style="padding-left:1em; padding-right:1em; padding-top:0.5em; padding-bottom:0.5em;" |
Entsprechend gilt für EB, den erwarteten Punktestand von Spieler B: {|class="wikitable" | style="padding-left:1em; padding-right:1em; padding-top:0.5em; padding-bottom:0.5em;" |
Da genau ein Punkt auf beide Spieler verteilt wird, muss gelten: {|class="wikitable" | style="padding-left:1em; padding-right:1em; padding-top:0.5em; padding-bottom:0.5em;" | |} Aus den Formeln für den Erwartungswert ergibt sich, dass diese Bedingung stets erfüllt ist.
Die in der Formel enthaltene, willkürlich festgelegte Zahl 400 legt die Abstufung der Elo-Skala fest: Bei einer Elo-Differenz von 400 wird der Spieler höchstwahrscheinlich gewinnen Die Zahl 400 wurde von Arpad Elo so gewählt, damit die Elo-Zahlen mit den Wertungszahlen des früher verwendeten Schach-Rating-Systems von Kenneth Harkness möglichst gut kompatibel sind.Tatsächlich kann man das Harkness-System als eine stückweise lineare Approximation an das Elo-Modell auffassen. Im Schweizer Tischtennis wird z. B. 200 statt 400 verwendet, im deutschen 150, s. u.
Beträgt der Wertungsunterschied mehr als 400 Punkte, so erlaubt die FIDE anstelle der tatsächlichen Differenz den Wert 400 bzw. −400 zu benutzen. Ab 2022 kann ein Spieler aber nur noch einmal pro Turnier von einer solchen Aufwertung profitieren, für die anderen eventuellen Gegner mit einem Wertungsunterschied > 400 wird dann mit dem tatsächlichen Wertungsunterschied gerechnet.
Die Gewinnerwartung eines Spielers als Funktion der Punktedifferenz folgt in Elos Modell einer logistischen Funktion. Das heißt jedoch nicht, dass die Stärken der Spieler logistisch verteilt sind. Elo verzichtet auf eine solche Verteilungsannahme. Sein Modell fußt auf der charakteristischen Eigenschaft der Multiplikativität der Erwartungswerte.
Multiplikativität der Erwartungswerte Die Erwartungswerte sind multiplikativ – mithilfe dieser Eigenschaft lässt sich Elos Modell definieren. Wenn etwa Spieler A gegenüber Spieler B ein -Favorit ist (d. h., A erzielt in Partien gegen B 75 Prozent der Punkte) und B gegenüber C ein -Favorit, so fordert bzw. folgt aus Elos Modell, dass A gegenüber C ein -Favorit ist.
Oder allgemein ausgedrückt: Ist A ein -Favorit gegenüber B und ist B ein -Favorit gegenüber C, so ist gemäß Elos Modell A ein -Favorit gegenüber C.
Dies kann man leicht nachrechnen. Die Multiplikativität ist aber keine Konsequenz aus einer Normalverteilung, was man oft liest. Diese bezieht sich nur auf die Abweichung der tatsächlichen Spielergebnisse eines Spielers vom Erwartungswert (s. u.) und nicht auf eine Normalverteilung der Stärken der Spieler. Die Forderung nach Multiplikativität stellt den besseren Ausgangspunkt für die Entwicklung des Modells dar – insbesondere für die Kalkulation der Spielstärken von Spielern früherer Epochen.
Anpassung der Elo-Zahl
Die Elo-Zahlen der Spieler werden regelmäßig aktualisiert. Erzielt ein Spieler in seinen Partien mehr Punkte, als von seiner aktuellen Elo-Zahl zu erwarten war, gewinnt er Elo-Punkte hinzu; erzielt er weniger, verliert er Elo-Punkte. Maßgeblich ist hierfür der so genannte k-Faktor oder k-Koeffizient. Er gibt an, wie viele Elo-Punkte ein Spieler bei einer Partie maximal hinzugewinnen kann (bei einem Sieg über einen viel stärker bewerteten Gegner) oder maximal verlieren kann (Niederlage gegen einen viel schwächer bewerteten Gegner). Wenn ein Spieler S Partiepunkte erzielt, der Erwartungswert aufgrund bestehender Elo-Zahlen aber E betrug, ändert sich seine Elo-Zahl um . Die neue Elo-Zahl ist also {|class="wikitable" | style="padding-left:1em; padding-right:1em; padding-top:0.7em; padding-bottom:0.7em;" |
Der Faktor k ist durch das Elo-Modell nicht festgelegt. Wenn er sehr groß gewählt wird, wirken sich zufällige Einzelergebnisse stark aus: die Elo-Zahl R kann stark schwanken. Wenn er sehr klein gewählt wird, ist die Anpassung „träge“: R wird erst nach vielen Partien an eine reale Änderung der Spielstärke angepasst. Für Spitzenspieler mit eher konstanter Leistung ist ein kleinerer Faktor angebracht als für Anfänger, die schnell Fortschritte machen können. Der Koeffizient k wird daher dem „Entwicklungsstand“ eines Spielers angepasst.
Im Schach hat k im Regelfall den Wert 40, 20 oder 10:FIDE Rating Regulations In: handbook.fide.com Punkt 8.3 „Ermittlung der Elo-Anpassung von Ranglisten-Spielern“ mit Festlegungen für den k-Faktor (englisch) k = 40: für Spieler, die neu in der Ratingliste sind und weniger als dreißig gewertete Partien aufweisen; k = 40: für alle Spieler bis zum Ende des Kalenderjahres ihres 18. Geburtstags, solange ihre Bewertung < 2300 bleibt; k = 20: für alle Spieler mit mindestens dreißig gewerteten Partien und einer maximalen Elo-Zahl < 2400. Dieser k-Wert trifft für die meisten erwachsenen Spieler zu; k = 10: für alle Top-Spieler, die eine Elo-Zahl ≥ 2400 erreicht haben, selbst wenn die Elo-Zahl wieder unter diesen Wert fällt. Ausnahmsweise kann k für einen Spieler in einer einzelnen Wertungsperiode einen abweichenden Wert annehmen, da das Produkt aus k und der Anzahl der für einen Spieler in einer Wertungsperiode ausgewerteten Partien (n) kleiner als 700 sein muss. In diesem Fall wird k auf die größte natürliche Zahl abgesenkt, für die gilt.
Im Schweizer Tischtennis gilt einheitlich für alle Spieler.
Anpassung nach einer Partie Beispiel: Alfred (RA = 2306) spielt gegen Berta (RB = 2077). Das entspricht einem Wertungsunterschied . Zu erwarten ist, dass Alfred gegen Berta im Mittel 0,789 Punkte pro Spiel erzielt:
.
Nach einer Partie gibt es drei Möglichkeiten (angenommen sei dabei für beide Spieler):
a) Berta gewinnt – also SA = 0.Die neuen Elo-Punktestände für Alfred und für Berta sind
Alfred büßt 16 Elo-Punkte ein, während Berta 16 Elo-Punkte hinzugewinnt.
b) Alfred gewinnt – also SA = 1.
Alfred erhält 4 Elo-Punkte, Berta verliert 4.
c) Unentschieden – also SA = ½.
Alfred verliert 6 Elo-Punkte, Berta gewinnt 6.
Maximaler Punktgewinn durch eine Partie Ab welchem Wertungsunterschied (Elo-Differenz zwischen den Spielern) ist bei einem Sieg der maximale Elo-Punktgewinn möglich?
Der maximal mögliche Elo-Punktgewinn/-verlust ist durch den k-Faktor festgelegt. Da Elo-Punkte auf ganze Zahlen gerundet werden, muss der rechnerische Punktgewinn mindestens k − 0,5 betragen. Demnach muss gelten (wegen .
Mit der FormelAus der Modellierung der erwarteten Punktzahl als
folgt , und daraus ergibt sich für die Elo-Differenz der Spieler .
erhält man
für die k-Werte 10, 20 bzw. 40. Ein Topspieler (k = 10) kann mit einer Partie maximal 10 Elo-Punkte gewinnen und muss dafür einen Spieler mit einer um 512 höheren Elo-Zahl besiegen.
Spiel gegen einen gleichstarken Spieler Sind beide Spieler gleich stark, also , ist . Bei einem Sieg werden Elo-Punkte hinzugewonnen, bei einer Niederlage gehen Elo-Punkte verloren. Bei einem Remis bleiben die Elo-Zahlen unverändert.
Elo-Performance Als Elo-Performance (auch Turnierleistung genannt) bezeichnet man die in Elo-Punkten ausgedrückte Leistung eines Spielers in einem einzelnen Turnier. Im Gegensatz zur normalen Elo-Berechnung geht die vorherige Elo-Zahl nicht in diese Wertung ein.
Die Elo-Performance P ist rechnerisch die Elo-Zahl, die ein Spieler haben müsste, damit das erzielte Ergebnis S gerade gleich dem Erwartungswert E ist. Eine Näherungsformel ist