mini|Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail) mini|Graph der Logarithmusfunktion zur Basis 2 (grün), e (rot) und 1/2 (blau) mini|In halblogarithmischer Auftragung (in Bezug auf die x-Achse) wird der Graph der Logarithmusfunktion zu einer Geraden. Hier beispielhaft dargestellt für den Logarithmus zur Basis 10. Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von , „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und , arithmós, „Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten. Logarithmen sind zunächst nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv – und von 1 verschieden – sein.
Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl zur Basis ist also diejenige Zahl , welche die Gleichung löst. Man schreibt ; weitere Notationen siehe Bezeichnungen. Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von zu , ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis .
Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode, die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr.
Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von John Napier im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus (s. u.) manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt.
Überblick Die Verwendung des Logarithmus lässt sich bis in die indische Antike zurückverfolgen. Mit dem aufstrebenden Bankwesen und dem Fortschritt der Astronomie im Europa des 17. Jahrhunderts erlangte der Logarithmus immer mehr Bedeutung. Seine Funktionswerte wurden in Tabellenwerken, den Logarithmentafeln, erfasst, um sie nachschlagen zu können und nicht immer neu berechnen zu müssen. Diese Tabellen wurden schließlich durch Rechenschieber und später durch Taschenrechner verdrängt. Der Wechsel von den Tabellen zum Rechenschieber erfolgte in deutschen Schulen in den 1960er Jahren, der Wechsel zu Taschenrechnern ab den 1970er Jahren.
Zentrale Aspekte des Lebens lassen sich mit Hilfe von Logarithmen beschreiben. So nimmt zum Beispiel die Stärke eines Sinneseindrucks in Abhängigkeit von einer physikalischen Größe wie Helligkeit oder Lautstärke entsprechend dem Verlauf einer Logarithmusfunktion zu. Gleiches gilt für die wahrgenommene Tonhöhe in Abhängigkeit von der Frequenz eines Tones.
Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung durch den Zusammenhang
der es erlaubt, eine Multiplikation durch eine Addition auszudrücken.
Formal sind Logarithmen alle Lösungen der Gleichung
zu vorgegebenen Größen und .
Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche Größen diese Gleichung betrachtet wird, hat sie keine, mehrere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig, dann wird sie als der Logarithmus von zur Basis bezeichnet und man schreibt
Beispielsweise ist der Logarithmus von 8 zur Basis 2 gleich 3, geschrieben , denn es ist .
Falls die obige Gleichung nach aufzulösen ist anstatt nach , so ist die Lösung gegeben durch die -te Wurzel aus .
Am bekanntesten und am weitesten verbreitet ist der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen, der im Folgenden vornehmlich dargestellt wird.
Geschichte
mini|Titelblatt zu Jost Bürgis Logarithmentafel von 1620
Indische Mathematiker im 2. Jahrhundert v. Chr. haben als Erste Logarithmen erwähnt. Schon in der Antike nutzten sie Logarithmen zur Basis 2 für ihre Berechnungen. Im 8. Jahrhundert beschrieb der indische Mathematiker Virasena Logarithmen zur Basis 3 und 4. Ab dem 13. Jahrhundert wurden von arabischen Mathematikern ganze logarithmische Tabellenwerke erstellt.
Nicolas Chuquet arbeitete klar die Rechengesetze für Potenzen und heraus durch eine gegenüberstellende Anordnung einer arithmetischen und einer geometrischen Reihe.
Der deutsche Mathematiker Michael Stifel formulierte ähnlich im Jahr 1544 die Beziehungen und neben anderen Autoren des 16. Jahrhunderts. Die Reduktion von Multiplikation auf Addition steht neben trigonometrischen Additionsformeln am Beginn der Entwicklung der Logarithmen.Zum Beispiel C. Knott (Hrsg.): Napier Tercentenary Volume. 1915, S. 83 f.Kathleen Clark, Clemency Montelle: Logarithms. The early history of a familiar function. Auf: MAA.org. Stifel ließ nur ganzzahlige Exponenten zu. John Napiers (1550–1617) Idee war dagegen, einen stetigen Wertebereich für die Exponenten zuzulassen.
Im 17. Jahrhundert entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi (1552–1632) ein neues System zur Berechnung von Logarithmen, das er 1620 nach langer Arbeit veröffentlichte. Aber schon vorher, im Jahre 1614, veröffentlichte der schottische Denker John Napier ein Buch über Logarithmen,John Napier: Mirifici logarithmorum canonis descriptio ejusque usus in utraque trigonometria etc. Edinburgh 1614 Englische Übersetzung von Ian Bruce von Napier: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. u. a. das ihn als „Erfinder der Logarithmen“ berühmt machte. Ihre Arbeiten und Erkenntnisse über Logarithmen entwickelten Bürgi und Napier jedoch unabhängig voneinander.
Das griechische Wort „Logarithmus“ bedeutet auf Deutsch „Verhältniszahl“ und stammt von Napier. Es gilt nämlich: Genau dann steht zu im selben Verhältnis wie zu (als Formel: ), wenn die Unterschiede ihrer Logarithmen übereinstimmen (als Formel: ). Erstmals veröffentlicht wurden Logarithmen von diesem unter dem Titel Mirifici logarithmorum canonis descriptio, was mit Beschreibung des wunderbaren Kanons der Logarithmen übersetzt werden kann.
Nachdem sich Henry Briggs mit dieser Schrift beschäftigt hatte, nahm er mit ihrem Autor Kontakt auf und schlug vor, für die Logarithmen die Basis 10 zu verwenden (abgekürzt lg). Diese verbreiteten sich schnell und wurden besonders in der Astronomie geschätzt, was auch Pierre-Simon Laplace, im Vergleich zu den vorher benutzten trigonometrischen Tafeln, feststellte:
Wird die Eulersche Zahl – die im Jahre 1728 von Leonhard Euler (1707–1783) bestimmt und erstmals 1742 veröffentlicht wurde – als Basis des Logarithmus verwendet, so nennt man ihn den natürlichen Logarithmus. Der natürliche Logarithmus wird dabei durch „ln“ abgekürzt.
Mit den Logarithmen war die mathematische Grundlage für die Weiterentwicklung des mechanischen Rechenschiebers gelegt; denn die Funktionsweise des Rechenschiebers basiert auf dem Prinzip der Addition und Subtraktion von Logarithmen.
Logarithmus in Anwendung und Natur
mini|Das Gehäuse eines Nautilus zeigt eine logarithmische Spirale mini|Eine logarithmische Spirale mini|hochkant=2|Ein Rechenschieber
Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder es werden logarithmisch definierte Größen verwendet, wie zum Beispiel beim pH-Wert oder bei der Empfindlichkeit der Sinnesorgane.
In der belebten Natur In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B. das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
Schalldruckpegel Der Schalldruckpegel wird als logarithmisches Maß zur Beschreibung der Stärke eines Schallereignisses verwendet. Dazu wird die Hilfsmaßeinheit Dezibel (dB) verwendet.
Helligkeitsempfindung Auch für die Sinnesempfindung der Helligkeit hat sich eine logarithmische Bewertung bewährt (Weber-Fechner-Gesetz), da das menschliche Auge zwischen Dämmerung und hellem Sonnenschein bis zu 10,5 Zehnerpotenzen an physikalischer Leuchtdichte überbrücken kann.
pH-Wert Der pH-Wert ist das Maß für den sauren oder basischen Charakter einer wässrigen Lösung. Anmerkung: In der Chemie werden logarithmische Skalen im Allgemeinen durch ein vorangestelltes p (für Potenz) gekennzeichnet, zum Beispiel beim pKS- oder pKB-Wert.
Richterskala Die Richterskala, die zur Beschreibung von Erdbebenstärken genutzt wird, basiert auf einer deka-logarithmischen Einteilung. Die Erdbebenstärke steigt daher von Stufe zu Stufe exponentiell.
Sternhelligkeiten Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
Rechenschieber Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man die Logarithmengesetze aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch Zwei. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber mit ihren logarithmischen Skaleneinteilungen und Logarithmische Rechentafeln (Logarithmentafeln) weit verbreitete Hilfsmittel.
Wachstums- und Zerfallsprozesse Typische Aufgabenstellungen bei Wachstums- und Zerfallsprozessen lassen sich durch die Umkehrfunktion des Logarithmus – die Exponentialfunktion – modellieren. Siehe Exponentieller Vorgang, Absorption.
Anzahl der Ziffern einer Zahl Berechnung der Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer natürlichen Zahl in einem Stellenwertsystem benötigt werden. Um eine natürliche Zahl zur Basis darzustellen, werden Stellen benötigt. Die Klammern bedeuten dabei Abrunden auf die nächste ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Zum Beispiel ist . Die obige Formel liefert den Wert 7. Man braucht also 7 Ziffern, um 100 im Dualsystem darzustellen, nämlich . Stellt man hingegen 100 im Hexadezimalsystem dar, dann benötigt man dazu zwei Stellen, denn . Es ist .
Benfordsches Gesetz Die Verteilung der Ziffern von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern, folgt einer logarithmischen Verteilung, dem Benfordschen Gesetz.
Informationseinheit Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass, wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von bit ergibt. Zum Beispiel erhält man beim Ergebnis „Kopf“ eines fairen Münzwurfs () die Informationsmenge bit, und es genügt ein Bit, um diese Information zu codieren.
Kryptographie Der diskrete Logarithmus ist in endlichen Körpern und darauf definierten elliptischen Kurven erheblich aufwändiger zu berechnen als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion. Letztere kann daher als sogenannte Einwegfunktion in der Kryptografie zur Verschlüsselung angewandt werden.
Logarithmische Zeitskalen Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technik ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
Intervalle der Musiktheorie Intervalle haben einen exponentiellen Frequenzverlauf. Das Gehör jedoch empfindet diese als linear. Die Größen von Intervallen werden daher als multiplikative Faktoren auf Frequenzen aufgefasst und als rationale Zahlen oder als Logarithmen angegeben. In diesem Fall wird die Oktave in 1200 Cent unterteilt. Beispiel: {| class="wikitable" !Intervall!!Frequenzverhältnis!!Größe |- |align="center"| 1 Oktave ||align="center"|2||align="center"|1200 Cent |- |align="center"| 2 Oktaven||align="center"|4||align="center"|2400 Cent |- |align="center"| 3 Oktaven||align="center"|8||align="center"|3600 Cent |- |align="center" colspan="3"| … |- |align="center"| reine große Terz||align="center"|5:4 ||align="center"| |- |align="center"| reine Quinte||align="center"|3:2 ||align="center"|