(79,27,9)-Blockplan

Der (79,27,9)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 79 × 79 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 27 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 9 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 79, k = 27, λ = 9), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 79, k = 27, λ = 9 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 79 Blöcken und 79 Punkten. Jeder Block enthält genau 27 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 9 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 27 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 9 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existieren mindestens 1463 nichtisomorphe 2-(79,27,9) - BlockpläneRudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Acht dieser Lösungen sind: Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 13·4, 39·6, 13·9, 13·12, 1·78. Sie enthält 689 Ovale der Ordnung 3. Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 13·12, 13·15, 13·21, 39·24, 1·312. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4. Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 26·3, 13·4, 13·9, 1·13, 26·18. Sie enthält 390 Ovale der Ordnung 3. Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 52·27, 26·45, 1·546. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4. Lösung 5 (dual zur Lösung 6) mit der Signatur 13·4, 65·9, 1·13. Sie enthält 468 Ovale der Ordnung 3. Lösung 6 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 26·51, 26·69, 26·162, 1·572. Sie enthält 39 Ovale der Ordnung 4. Lösung 7 (dual zur Lösung 8) mit der Signatur 52·9, 26·20, 1·312. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4. Lösung 8 (dual zur Lösung 7) mit der Signatur 52·9, 26·32, 1·312. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 3 5 11 15 16 18 24 29 30 31 33 34 37 42 43 44 46 47 50 55 57 63 71 77 79 1 3 4 6 12 16 17 19 25 30 31 32 34 35 38 43 44 45 47 48 51 56 58 64 67 72 78 1 4 5 7 13 17 18 20 26 31 32 33 35 36 39 44 45 46 48 49 52 57 59 65 68 73 79 1 5 6 8 14 18 19 21 27 32 33 34 36 37 40 45 46 47 49 50 53 58 60 66 67 69 74 1 2 6 7 9 15 19 20 22 28 33 34 35 37 38 41 46 47 48 50 51 54 59 61 68 70 75 1 3 7 8 10 16 20 21 23 29 34 35 36 38 39 42 47 48 49 51 52 55 60 62 69 71 76 1 4 8 9 11 17 21 22 24 30 35 36 37 39 40 43 48 49 50 52 53 56 61 63 70 72 77 1 5 9 10 12 18 22 23 25 28 31 36 37 38 40 41 44 49 50 51 53 57 62 64 71 73 78 1 6 10 11 13 19 23 24 26 28 29 32 37 38 39 41 42 45 50 51 52 58 63 65 72 74 79 1 7 11 12 14 20 24 25 27 29 30 33 38 39 40 42 43 46 51 52 53 59 64 66 67 73 75 1 2 8 12 13 15 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75 4 5 6 7 10 14 16 22 24 28 30 31 34 39 40 42 48 50 56 57 58 59 62 66 68 74 76 2 5 6 7 8 11 17 23 25 28 29 31 32 35 40 43 49 51 54 57 58 59 60 63 69 75 77 3 6 7 8 9 12 18 24 26 28 29 30 32 33 36 44 50 52 55 58 59 60 61 64 70 76 78 4 7 8 9 10 13 19 25 27 32 38 40 42 43 44 46 47 50 55 57 63 68 69 70 72 73 76 5 8 9 10 11 14 15 20 26 28 33 39 43 44 45 47 48 51 56 58 64 69 70 71 73 74 77 2 6 9 10 11 12 16 21 27 29 34 40 44 45 46 48 49 52 57 59 65 70 71 72 74 75 78 3 7 10 11 12 13 15 17 22 28 30 35 45 46 47 49 50 53 58 60 66 71 72 73 75 76 79 4 8 11 12 13 14 16 18 23 29 31 36 41 46 47 48 50 51 54 59 61 67 72 73 74 76 77 2 5 9 12 13 14 17 19 24 30 32 37 42 47 48 49 51 52 55 60 62 68 73 74 75 77 78 2 3 6 10 13 14 18 20 25 31 33 38 43 48 49 50 52 53 56 61 63 69 74 75 76 78 79 2 3 4 7 11 14 19 21 26 32 34 39 41 44 49 50 51 53 57 62 64 67 70 75 76 77 79 2 3 4 5 8 12 20 22 27 33 35 40 41 42 45 50 51 52 58 63 65 67 68 71 76 77 78 3 4 5 6 9 13 15 21 23 28 34 36 42 43 46 51 52 53 59 64 66 68 69 72 77 78 79 4 5 6 7 10 14 16 22 24 29 35 37 41 43 44 47 52 53 54 60 65 67 69 70 73 78 79 2 5 6 7 8 11 17 23 25 30 36 38 41 42 44 45 48 53 55 61 66 67 68 70 71 74 79 3 6 7 8 9 12 18 24 26 31 37 39 41 42 43 45 46 49 54 56 62 67 68 69 71 72 75 6 12 14 17 20 21 22 23 26 29 30 31 33 34 37 45 51 53 55 57 63 68 69 70 72 73 76 2 7 13 18 21 22 23 24 27 30 31 32 34 35 38 41 46 52 56 58 64 69 70 71 73 74 77 3 8 14 15 19 22 23 24 25 31 32 33 35 36 39 42 47 53 57 59 65 70 71 72 74 75 78 2 4 9 16 20 23 24 25 26 32 33 34 36 37 40 41 43 48 58 60 66 71 72 73 75 76 79 3 5 10 17 21 24 25 26 27 28 33 34 35 37 38 42 44 49 54 59 61 67 72 73 74 76 77 4 6 11 15 18 22 25 26 27 29 34 35 36 38 39 43 45 50 55 60 62 68 73 74 75 77 78 5 7 12 15 16 19 23 26 27 30 35 36 37 39 40 44 46 51 56 61 63 69 74 75 76 78 79 6 8 13 15 16 17 20 24 27 28 31 36 37 38 40 45 47 52 57 62 64 67 70 75 76 77 79 7 9 14 15 16 17 18 21 25 28 29 32 37 38 39 46 48 53 58 63 65 67 68 71 76 77 78 2 8 10 16 17 18 19 22 26 29 30 33 38 39 40 41 47 49 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