(101,25,6)-Blockplan

Der (101,25,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 101×101-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 25 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 101, k = 25, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 101, k = 25, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 101 Blöcken und 101 Punkten. Jeder Block enthält genau 25 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 25 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(101,25,6)-BlockplanRudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Diese Lösung ist: Lösung 1 mit der Signatur 101·100. Sie enthält 25250 Ovale der Ordnung 3.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 5 16 19 24 25 31 36 37 52 54 56 58 68 71 78 79 80 81 84 87 88 92 95 97 2 6 17 20 25 26 32 37 38 53 55 57 59 69 72 79 80 81 82 85 88 89 93 96 98 3 7 18 21 26 27 33 38 39 54 56 58 60 70 73 80 81 82 83 86 89 90 94 97 99 4 8 19 22 27 28 34 39 40 55 57 59 61 71 74 81 82 83 84 87 90 91 95 98 100 5 9 20 23 28 29 35 40 41 56 58 60 62 72 75 82 83 84 85 88 91 92 96 99 101 1 6 10 21 24 29 30 36 41 42 57 59 61 63 73 76 83 84 85 86 89 92 93 97 100 2 7 11 22 25 30 31 37 42 43 58 60 62 64 74 77 84 85 86 87 90 93 94 98 101 1 3 8 12 23 26 31 32 38 43 44 59 61 63 65 75 78 85 86 87 88 91 94 95 99 2 4 9 13 24 27 32 33 39 44 45 60 62 64 66 76 79 86 87 88 89 92 95 96 100 3 5 10 14 25 28 33 34 40 45 46 61 63 65 67 77 80 87 88 89 90 93 96 97 101 1 4 6 11 15 26 29 34 35 41 46 47 62 64 66 68 78 81 88 89 90 91 94 97 98 2 5 7 12 16 27 30 35 36 42 47 48 63 65 67 69 79 82 89 90 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35 40 44 55 58 63 64 70 75 76 91 93 95 97 7 10 17 18 19 20 23 26 27 31 34 36 41 45 56 59 64 65 71 76 77 92 94 96 98 8 11 18 19 20 21 24 27 28 32 35 37 42 46 57 60 65 66 72 77 78 93 95 97 99 9 12 19 20 21 22 25 28 29 33 36 38 43 47 58 61 66 67 73 78 79 94 96 98 100 10 13 20 21 22 23 26 29 30 34 37 39 44 48 59 62 67 68 74 79 80 95 97 99 101 1 11 14 21 22 23 24 27 30 31 35 38 40 45 49 60 63 68 69 75 80 81 96 98 100 2 12 15 22 23 24 25 28 31 32 36 39 41 46 50 61 64 69 70 76 81 82 97 99 101 1 3 13 16 23 24 25 26 29 32 33 37 40 42 47 51 62 65 70 71 77 82 83 98 100 2 4 14 17 24 25 26 27 30 33 34 38 41 43 48 52 63 66 71 72 78 83 84 99 101 1 3 5 15 18 25 26 27 28 31 34 35 39 42 44 49 53 64 67 72 73 79 84 85 100 2 4 6 16 19 26 27 28 29 32 35 36 40 43 45 50 54 65 68 73 74 80 85 86 101 1 3 5 7 17 20 27 28 29 30 33 36 37 41 44 46 51 55 66 69 74 75 81 86 87 2 4 6 8 18 21 28 29 30 31 34 37 38 42 45 47 52 56 67 70 75 76 82 87 88 3 5 7 9 19 22 29 30 31 32 35 38 39 43 46 48 53 57 68 71 76 77 83 88 89 4 6 8 10 20 23 30 31 32 33 36 39 40 44 47 49 54 58 69 72 77 78 84 89 90 5 7 9 11 21 24 31 32 33 34 37 40 41 45 48 50 55 59 70 73 78 79 85 90 91 6 8 10 12 22 25 32 33 34 35 38 41 42 46 49 51 56 60 71 74 79 80 86 91 92 7 9 11 13 23 26 33 34 35 36 39 42 43 47 50 52 57 61 72 75 80 81 87 92 93 8 10 12 14 24 27 34 35 36 37 40 43 44 48 51 53 58 62 73 76 81 82 88 93 94 9 11 13 15 25 28 35 36 37 38 41 44 45 49 52 54 59 63 74 77 82 83 89 94 95 10 12 14 16 26 29 36 37 38 39 42 45 46 50 53 55 60 64 75 78 83 84 90 95 96 11 13 15 17 27 30 37 38 39 40 43 46 47 51 54 56 61 65 76 79 84 85 91 96 97 12 14 16 18 28 31 38 39 40 41 44 47 48 52 55 57 62 66 77 80 85 86 92 97 98 13 15 17 19 29 32 39 40 41 42 45 48 49 53 56 58 63 67 78 81 86 87 93 98 99 14 16 18 20 30 33 40 41 42 43 46 49 50 54 57 59 64 68 79 82 87 88 94 99 100 15 17 19 21 31 34 41 42 43 44 47 50 51 55 58 60 65 69 80 83 88 89 95 100 101 1 16 18 20 22 32 35 42 43 44 45 48 51 52 56 59 61 66 70 81 84 89 90 96 101 1 2 17 19 21 23 33 36 43 44 45 46 49 52 53 57 60 62 67 71 82 85 90 91 97 2 3 18 20 22 24 34 37 44 45 46 47 50 53 54 58 61 63 68 72 83 86 91 92 98 3 4 19 21 23 25 35 38 45 46 47 48 51 54 55 59 62 64 69 73 84 87 92 93 99 4 5 20 22 24 26 36 39 46 47 48 49 52 55 56 60 63 65 70 74 85 88 93 94 100 5 6 21 23 25 27 37 40 47 48 49 50 53 56 57 61 64 66 71 75 86 89 94 95 101 1 6 7 22 24 26 28 38 41 48 49 50 51 54 57 58 62 65 67 72 76 87 90 95 96 2 7 8 23 25 27 29 39 42 49 50 51 52 55 58 59 63 66 68 73 77 88 91 96 97 3 8 9 24 26 28 30 40 43 50 51 52 53 56 59 60 64 67 69 74 78 89 92 97 98 4 9 10 25 27 29 31 41 44 51 52 53 54 57 60 61 65 68 70 75 79 90 93 98 99 5 10 11 26 28 30 32 42 45 52 53 54 55 58 61 62 66 69 71 76 80 91 94 99 100 6 11 12 27 29 31 33 43 46 53 54 55 56 59 62 63 67 70 72 77 81 92 95 100 101 1 7 12 13 28 30 32 34 44 47 54 55 56 57 60 63 64 68 71 73 78 82 93 96 101 1 2 8 13 14 29 31 33 35 45 48 55 56 57 58 61 64 65 69 72 74 79 83 94 97 2 3 9 14 15 30 32 34 36 46 49 56 57 58 59 62 65 66 70 73 75 80 84 95 98 3 4 10 15 16 31 33 35 37 47 50 57 58 59 60 63 66 67 71 74 76 81 85 96 99 4 5 11 16 17 32 34 36 38 48 51 58 59 60 61 64 67 68 72 75 77 82 86 97 100 5 6 12 17 18 33 35 37 39 49 52 59 60 61 62 65 68 69 73 76 78 83 87 98 101 1 6 7 13 18 19 34 36 38 40 50 53 60 61 62 63 66 69 70 74 77 79 84 88 99 2 7 8 14 19 20 35 37 39 41 51 54 61 62 63 64 67 70 71 75 78 80 85 89 100 3 8 9 15 20 21 36 38 40 42 52 55 62 63 64 65 68 71 72 76 79 81 86 90 101 1 4 9 10 16 21 22 37 39 41 43 53 56 63 64 65 66 69 72 73 77 80 82 87 91 2 5 10 11 17 22 23 38 40 42 44 54 57 64 65 66 67 70 73 74 78 81 83 88 92 3 6 11 12 18 23 24 39 41 43 45 55 58 65 66 67 68 71 74 75 79 82 84 89 93 4 7 12 13 19 24 25 40 42 44 46 56 59 66 67 68 69 72 75 76 80 83 85 90 94 5 8 13 14 20 25 26 41 43 45 47 57 60 67 68 69 70 73 76 77 81 84 86 91 95 6 9 14 15 21 26 27 42 44 46 48 58 61 68 69 70 71 74 77 78 82 85 87 92 96 7 10 15 16 22 27 28 43 45 47 49 59 62 69 70 71 72 75 78 79 83 86 88 93 97 8 11 16 17 23 28 29 44 46 48 50 60 63 70 71 72 73 76 79 80 84 87 89 94 98 9 12 17 18 24 29 30 45 47 49 51 61 64 71 72 73 74 77 80 81 85 88 90 95 99 10 13 18 19 25 30 31 46 48 50 52 62 65 72 73 74 75 78 81 82 86 89 91 96 100 11 14 19 20 26 31 32 47 49 51 53 63 66 73 74 75 76 79 82 83 87 90 92 97 101 1 12 15 20 21 27 32 33 48 50 52 54 64 67 74 75 76 77 80 83 84 88 91 93 98 2 13 16 21 22 28 33 34 49 51 53 55 65 68 75 76 77 78 81 84 85 89 92 94 99 3 14 17 22 23 29 34 35 50 52 54 56 66 69 76 77 78 79 82 85 86 90 93 95 100 4 15 18 23 24 30 35 36 51 53 55 57 67 70 77 78 79 80 83 86 87 91 94 96 101

Zyklische Darstellung Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte. Lösung 1 1 5 16 19 24 25 31 36 37 52 54 56 58 68 71 78 79 80 81 84 87 88 92 95 97

Oval Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für Lösung 1 dieses Blockplans: Lösung 1 1 2 12

Literatur

Einzelnachweise

#101, 25, 6