(35,17,8)-Blockplan

Der (35,17,8)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 35 × 35 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 17 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 8 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 35, k = 17, λ = 8), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung Dieser symmetrische 2-(35,17,8)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 9 genannt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 35, k = 17, λ = 8 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 35 Blöcken und 35 Punkten. Jeder Block enthält genau 17 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 8 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 17 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 8 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existieren mindestens 108131 nichtisomorphe 2-(35,17,8) - BlockpläneRudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Vier dieser Lösungen sind: Lösung 1 mit der Signatur 35·64. Sie enthält 595 Ovale der Ordnung 2. Lösung 2 mit der Signatur 34·16, 1·544. Sie enthält 17 Ovale der Ordnung 3. Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 2·1, 7·4, 6·5, 9·6, 4·7, 4·8, 2·12, 1·14. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3. Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 1·2 ,2·3, 2·4, 12·5, 4·6, 4·7, 4·8, 2·10, 2·11, 1·12, 1·14. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 2 3 4 6 7 11 17 18 19 23 25 26 28 29 32 34 2 3 4 5 7 8 12 18 19 20 24 26 27 29 30 33 35 1 3 4 5 6 8 9 13 19 20 21 25 27 28 30 31 34 2 4 5 6 7 9 10 14 20 21 22 26 28 29 31 32 35 1 3 5 6 7 8 10 11 15 21 22 23 27 29 30 32 33 2 4 6 7 8 9 11 12 16 22 23 24 28 30 31 33 34 3 5 7 8 9 10 12 13 17 23 24 25 29 31 32 34 35 1 4 6 8 9 10 11 13 14 18 24 25 26 30 32 33 35 1 2 5 7 9 10 11 12 14 15 19 25 26 27 31 33 34 2 3 6 8 10 11 12 13 15 16 20 26 27 28 32 34 35 1 3 4 7 9 11 12 13 14 16 17 21 27 28 29 33 35 1 2 4 5 8 10 12 13 14 15 17 18 22 28 29 30 34 2 3 5 6 9 11 13 14 15 16 18 19 23 29 30 31 35 1 3 4 6 7 10 12 14 15 16 17 19 20 24 30 31 32 2 4 5 7 8 11 13 15 16 17 18 20 21 25 31 32 33 3 5 6 8 9 12 14 16 17 18 19 21 22 26 32 33 34 4 6 7 9 10 13 15 17 18 19 20 22 23 27 33 34 35 1 5 7 8 10 11 14 16 18 19 20 21 23 24 28 34 35 1 2 6 8 9 11 12 15 17 19 20 21 22 24 25 29 35 1 2 3 7 9 10 12 13 16 18 20 21 22 23 25 26 30 2 3 4 8 10 11 13 14 17 19 21 22 23 24 26 27 31 3 4 5 9 11 12 14 15 18 20 22 23 24 25 27 28 32 4 5 6 10 12 13 15 16 19 21 23 24 25 26 28 29 33 5 6 7 11 13 14 16 17 20 22 24 25 26 27 29 30 34 6 7 8 12 14 15 17 18 21 23 25 26 27 28 30 31 35 1 7 8 9 13 15 16 18 19 22 24 26 27 28 29 31 32 2 8 9 10 14 16 17 19 20 23 25 27 28 29 30 32 33 3 9 10 11 15 17 18 20 21 24 26 28 29 30 31 33 34 4 10 11 12 16 18 19 21 22 25 27 29 30 31 32 34 35 1 5 11 12 13 17 19 20 22 23 26 28 30 31 32 33 35 1 2 6 12 13 14 18 20 21 23 24 27 29 31 32 33 34 2 3 7 13 14 15 19 21 22 24 25 28 30 32 33 34 35 1 3 4 8 14 15 16 20 22 23 25 26 29 31 33 34 35 1 2 4 5 9 15 16 17 21 23 24 26 27 30 32 34 35 1 2 3 5 6 10 16 17 18 22 24 25 27 28 31 33 35 Lösung 2 1 2 3 5 9 10 14 16 17 20 21 23 27 28 32 34 35 1 2 3 4 6 10 11 15 17 19 21 22 24 28 29 33 35 1 2 3 4 5 7 11 12 16 19 20 22 23 25 29 30 34 2 3 4 5 6 8 12 13 17 20 21 23 24 26 30 31 35 1 3 4 5 6 7 9 13 14 19 21 22 24 25 27 31 32 2 4 5 6 7 8 10 14 15 20 22 23 25 26 28 32 33 3 5 6 7 8 9 11 15 16 21 23 24 26 27 29 33 34 4 6 7 8 9 10 12 16 17 22 24 25 27 28 30 34 35 1 5 7 8 9 10 11 13 17 19 23 25 26 28 29 31 35 1 2 6 8 9 10 11 12 14 19 20 24 26 27 29 30 32 2 3 7 9 10 11 12 13 15 20 21 25 27 28 30 31 33 3 4 8 10 11 12 13 14 16 21 22 26 28 29 31 32 34 4 5 9 11 12 13 14 15 17 22 23 27 29 30 32 33 35 1 5 6 10 12 13 14 15 16 19 23 24 28 30 31 33 34 2 6 7 11 13 14 15 16 17 20 24 25 29 31 32 34 35 1 3 7 8 12 14 15 16 17 19 21 25 26 30 32 33 35 1 2 4 8 9 13 15 16 17 19 20 22 26 27 31 33 34 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 2 3 5 9 10 14 16 17 18 22 24 25 26 29 30 31 33 1 3 4 6 10 11 15 17 18 23 25 26 27 30 31 32 34 1 2 4 5 7 11 12 16 18 24 26 27 28 31 32 33 35 2 3 5 6 8 12 13 17 18 19 25 27 28 29 32 33 34 1 3 4 6 7 9 13 14 18 20 26 28 29 30 33 34 35 2 4 5 7 8 10 14 15 18 19 21 27 29 30 31 34 35 3 5 6 8 9 11 15 16 18 19 20 22 28 30 31 32 35 4 6 7 9 10 12 16 17 18 19 20 21 23 29 31 32 33 1 5 7 8 10 11 13 17 18 20 21 22 24 30 32 33 34 1 2 6 8 9 11 12 14 18 21 22 23 25 31 33 34 35 2 3 7 9 10 12 13 15 18 19 22 23 24 26 32 34 35 3 4 8 10 11 13 14 16 18 19 20 23 24 25 27 33 35 4 5 9 11 12 14 15 17 18 19 20 21 24 25 26 28 34 1 5 6 10 12 13 15 16 18 20 21 22 25 26 27 29 35 2 6 7 11 13 14 16 17 18 19 21 22 23 26 27 28 30 1 3 7 8 12 14 15 17 18 20 22 23 24 27 28 29 31 1 2 4 8 9 13 15 16 18 21 23 24 25 28 29 30 32 Lösung 3 1 3 4 5 6 7 13 14 15 20 23 26 29 30 32 34 35 2 3 8 13 16 18 20 21 23 24 26 27 29 31 32 33 34 1 2 3 4 8 9 10 11 12 14 16 27 30 31 32 34 35 1 3 4 5 8 9 13 15 16 18 19 21 22 24 25 32 35 1 4 5 6 8 9 11 12 14 18 20 21 23 24 26 28 31 1 5 6 7 8 9 11 13 15 16 17 27 28 29 31 32 33 1 6 7 11 14 18 19 21 22 24 25 27 29 30 31 32 34 2 3 4 5 6 8 12 13 14 19 22 25 28 29 31 33 34 3 4 5 6 10 11 16 17 18 19 20 25 26 30 31 32 33 3 9 11 12 13 14 15 17 18 19 21 23 29 30 31 33 35 3 5 6 7 9 10 12 16 19 22 23 24 26 27 29 31 35 3 5 8 10 11 14 15 17 18 24 25 26 27 28 29 34 35 1 2 4 6 8 10 15 17 21 22 24 26 29 30 31 33 35 1 3 5 7 8 10 12 17 19 21 23 24 28 30 32 33 34 1 4 6 10 12 13 16 17 18 19 20 21 27 28 29 34 35 2 3 4 6 9 11 15 17 19 21 22 23 26 27 28 32 34 6 9 10 12 13 14 15 16 18 22 24 26 28 30 32 33 34 2 4 5 7 11 13 14 16 19 21 24 26 27 28 30 33 35 4 7 8 12 13 17 18 22 23 25 26 27 28 30 31 32 35 1 2 5 10 11 12 13 14 16 17 21 22 23 25 26 29 32 2 4 5 7 9 11 12 17 18 20 22 24 29 32 33 34 35 4 7 8 9 10 12 14 15 19 20 21 25 26 27 29 32 33 1 2 5 9 12 13 15 17 19 20 24 25 26 27 30 31 34 2 4 5 7 9 10 15 16 18 21 23 25 28 29 30 31 34 4 7 8 10 11 13 14 15 16 17 19 20 22 23 24 31 34 1 2 5 10 14 15 18 19 20 22 23 27 28 31 32 33 35 2 3 6 7 9 10 13 14 17 20 21 24 25 28 31 32 35 5 6 8 9 10 11 13 20 21 22 23 25 27 30 33 34 35 1 2 6 7 8 9 14 16 17 18 19 23 25 26 33 34 35 1 3 7 11 12 15 16 20 21 22 25 26 28 31 33 34 35 2 3 5 6 7 8 12 14 15 16 17 18 20 21 22 27 30 1 2 3 4 6 7 10 11 12 13 15 18 23 24 25 27 33 2 6 8 11 12 15 16 19 20 23 24 25 28 29 30 32 35 1 2 3 7 8 9 10 11 13 18 19 20 22 26 28 29 30 1 3 4 9 14 16 17 20 22 23 24 25 27 28 29 30 33 Lösung 4 1 3 4 5 6 7 13 14 15 20 23 26 29 30 32 34 35 2 3 8 13 16 18 20 21 23 24 26 27 29 31 32 33 34 1 2 3 4 8 9 10 11 12 14 16 27 30 31 32 34 35 1 3 4 5 8 9 13 15 16 18 19 21 22 24 25 32 35 1 4 5 6 8 9 11 12 14 18 20 21 23 24 26 28 31 1 5 6 7 8 9 11 13 15 16 17 27 28 29 31 32 33 1 6 7 11 14 18 19 21 22 24 25 27 29 30 31 32 34 2 3 4 5 6 8 12 13 14 19 22 25 28 29 31 33 34 3 4 5 6 10 11 16 17 21 22 23 24 27 28 29 34 35 3 9 11 12 13 14 15 17 20 22 24 25 26 27 28 32 34 3 5 6 7 9 10 12 16 18 20 21 25 28 30 32 33 34 3 5 8 10 11 14 15 17 19 20 21 22 23 30 31 32 33 1 2 4 6 8 10 15 17 18 19 20 23 25 27 28 32 34 1 3 5 7 8 10 12 17 18 20 22 25 26 27 29 31 35 1 4 6 10 12 13 16 17 22 23 24 25 26 30 31 32 33 2 3 4 6 9 11 15 17 18 20 24 25 29 30 31 33 35 6 9 10 12 13 14 15 16 19 20 21 23 25 27 29 31 35 2 4 5 7 9 10 12 15 17 19 21 24 26 29 31 32 34 4 7 8 9 10 11 14 15 16 18 22 23 25 26 29 33 34 1 2 5 9 15 21 22 23 25 26 27 28 30 31 33 34 35 2 4 5 7 10 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Inzidenzmatrix Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . O O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O . . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . O O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O . . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . O O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O . . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O O O O O . O O . . . O . . . . . O O O . . . O . O O . O O . . O . O . O Lösung 2 O O O . O . . . O O . . . O . O O . . O O . O . . . O O . . . O . O O O O O O . O . . . O O . . . O . O . O . O O . O . . . O O . . . O . O O O O O O . O . . . O O . . . O . . O O . O O . O . . . O O . . . O . . O O O O O . O . . . O O . . . O . . O O . O O . O . . . O O . . . O O . O O O O O . O . . . O O . . . . O . O O . O O . O . . . O O . . . . O . O O O O O . O . . . O O . . . . O . O O . O O . O . . . O O . . . . O . O O O O O . O . . . O O . . . . O . O O . O O . O . . . O O . . . . O . O O O O O . O . . . O O . . . . O . O O . O O . O . . . O O O . . . O . O O O O O . O . . . O . O . . . O . O O . O O . O . . . O