(31,15,7)-Blockplan

Der (31,15,7)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 31 × 31 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 15 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 7 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 31, k = 15, λ = 7), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung Dieser symmetrische 2-(31,15,7)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 8 genannt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 31, k = 15, λ = 7 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 31 Blöcken und 31 Punkten. Jeder Block enthält genau 15 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 7 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 15 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 7 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existieren mindestens 22478260 nichtisomorphe 2-(31,15,7) - BlockpläneRudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Sechs dieser Lösungen sind: Lösung 1 mit der Signatur 31·120. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2. Lösung 2 mit der Signatur 31·560. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2. Lösung 3 mit der Signatur 24·24, 7·64. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2. Lösung 4 mit der Signatur 6·24, 16·36, 6·56, 3·96. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2. Lösung 5 (dual zur Lösung 6) mit der Signatur 7·24, 16·42, 7·72, 1·112. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2. Lösung 6 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 14·36, 14·52, 3·112. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 2 3 4 6 7 9 10 14 17 22 23 24 26 28 2 3 4 5 7 8 10 11 15 18 23 24 25 27 29 3 4 5 6 8 9 11 12 16 19 24 25 26 28 30 4 5 6 7 9 10 12 13 17 20 25 26 27 29 31 1 5 6 7 8 10 11 13 14 18 21 26 27 28 30 2 6 7 8 9 11 12 14 15 19 22 27 28 29 31 1 3 7 8 9 10 12 13 15 16 20 23 28 29 30 2 4 8 9 10 11 13 14 16 17 21 24 29 30 31 1 3 5 9 10 11 12 14 15 17 18 22 25 30 31 1 2 4 6 10 11 12 13 15 16 18 19 23 26 31 1 2 3 5 7 11 12 13 14 16 17 19 20 24 27 2 3 4 6 8 12 13 14 15 17 18 20 21 25 28 3 4 5 7 9 13 14 15 16 18 19 21 22 26 29 4 5 6 8 10 14 15 16 17 19 20 22 23 27 30 5 6 7 9 11 15 16 17 18 20 21 23 24 28 31 1 6 7 8 10 12 16 17 18 19 21 22 24 25 29 2 7 8 9 11 13 17 18 19 20 22 23 25 26 30 3 8 9 10 12 14 18 19 20 21 23 24 26 27 31 1 4 9 10 11 13 15 19 20 21 22 24 25 27 28 2 5 10 11 12 14 16 20 21 22 23 25 26 28 29 3 6 11 12 13 15 17 21 22 23 24 26 27 29 30 4 7 12 13 14 16 18 22 23 24 25 27 28 30 31 1 5 8 13 14 15 17 19 23 24 25 26 28 29 31 1 2 6 9 14 15 16 18 20 24 25 26 27 29 30 2 3 7 10 15 16 17 19 21 25 26 27 28 30 31 1 3 4 8 11 16 17 18 20 22 26 27 28 29 31 1 2 4 5 9 12 17 18 19 21 23 27 28 29 30 2 3 5 6 10 13 18 19 20 22 24 28 29 30 31 1 3 4 6 7 11 14 19 20 21 23 25 29 30 31 1 2 4 5 7 8 12 15 20 21 22 24 26 30 31 1 2 3 5 6 8 9 13 16 21 22 23 25 27 31 Lösung 2 1 2 3 4 6 7 9 12 13 19 20 21 24 28 30 2 3 4 5 7 8 10 13 14 20 21 22 25 29 31 1 3 4 5 6 8 9 11 14 15 21 22 23 26 30 2 4 5 6 7 9 10 12 15 16 22 23 24 27 31 1 3 5 6 7 8 10 11 13 16 17 23 24 25 28 2 4 6 7 8 9 11 12 14 17 18 24 25 26 29 3 5 7 8 9 10 12 13 15 18 19 25 26 27 30 4 6 8 9 10 11 13 14 16 19 20 26 27 28 31 1 5 7 9 10 11 12 14 15 17 20 21 27 28 29 2 6 8 10 11 12 13 15 16 18 21 22 28 29 30 3 7 9 11 12 13 14 16 17 19 22 23 29 30 31 1 4 8 10 12 13 14 15 17 18 20 23 24 30 31 1 2 5 9 11 13 14 15 16 18 19 21 24 25 31 1 2 3 6 10 12 14 15 16 17 19 20 22 25 26 2 3 4 7 11 13 15 16 17 18 20 21 23 26 27 3 4 5 8 12 14 16 17 18 19 21 22 24 27 28 4 5 6 9 13 15 17 18 19 20 22 23 25 28 29 5 6 7 10 14 16 18 19 20 21 23 24 26 29 30 6 7 8 11 15 17 19 20 21 22 24 25 27 30 31 1 7 8 9 12 16 18 20 21 22 23 25 26 28 31 1 2 8 9 10 13 17 19 21 22 23 24 26 27 29 2 3 9 10 11 14 18 20 22 23 24 25 27 28 30 3 4 10 11 12 15 19 21 23 24 25 26 28 29 31 1 4 5 11 12 13 16 20 22 24 25 26 27 29 30 2 5 6 12 13 14 17 21 23 25 26 27 28 30 31 1 3 6 7 13 14 15 18 22 24 26 27 28 29 31 1 2 4 7 8 14 15 16 19 23 25 27 28 29 30 2 3 5 8 9 15 16 17 20 24 26 28 29 30 31 1 3 4 6 9 10 16 17 18 21 25 27 29 30 31 1 2 4 5 7 10 11 17 18 19 22 26 28 30 31 1 2 3 5 6 8 11 12 18 19 20 23 27 29 31 Lösung 3 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 1 4 5 8 9 12 13 16 17 20 21 24 25 28 29 3 4 7 8 11 12 15 16 19 20 23 24 27 28 31 1 2 3 8 9 10 11 16 17 18 19 24 25 26 27 2 5 7 8 10 13 15 16 18 21 23 24 26 29 31 1 6 7 8 9 14 15 16 17 22 23 24 25 30 31 3 5 6 8 11 13 14 16 19 21 22 24 27 29 30 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 23 2 4 7 9 11 13 14 16 18 20 23 25 27 29 30 1 4 5 10 11 14 15 16 17 20 21 26 27 30 31 3 4 6 9 10 13 15 16 19 20 22 25 26 29 31 1 2 3 12 13 14 15 16 17 18 19 28 29 30 31 2 5 6 9 11 12 15 16 18 21 22 25 27 28 31 1 6 7 10 11 12 13 16 17 22 23 26 27 28 29 3 5 7 9 10 12 14 16 19 21 23 25 26 28 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 6 8 10 12 14 17 19 21 23 25 27 29 31 1 4 5 8 9 12 13 18 19 22 23 26 27 30 31 3 4 7 8 11 12 15 17 18 21 22 25 26 29 30 1 2 3 8 9 10 11 20 21 22 23 28 29 30 31 2 5 7 8 10 13 15 17 19 20 22 25 27 28 30 1 6 7 8 9 14 15 18 19 20 21 26 27 28 29 3 5 6 8 11 13 14 17 18 20 23 25 26 28 31 1 2 3 4 5 6 7 24 25 26 27 28 29 30 31 2 4 7 9 11 13 14 17 19 21 22 24 26 28 31 1 4 5 10 11 14 15 18 19 22 23 24 25 28 29 3 4 6 9 10 13 15 17 18 21 23 24 27 28 30 1 2 3 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 26 27 2 5 6 9 11 12 15 17 19 20 23 24 26 29 30 1 6 7 10 11 12 13 18 19 20 21 24 25 30 31 3 5 7 9 10 12 14 17 18 20 22 24 27 29 31 Lösung 4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 1 4 5 8 9 12 13 16 17 20 21 24 25 28 29 3 4 7 8 11 12 15 16 19 20 23 24 27 28 31 1 2 3 8 9 10 11 16 17 18 19 24 25 26 27 2 5 7 8 10 13 15 16 18 21 23 24 26 29 31 1 6 7 8 9 14 15 16 17 22 23 24 25 30 31 3 5 6 8 11 13 14 16 19 21 22 24 27 29 30 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 23 1 2 3 12 13 14 15 16 17 18 19 28 29 30 31 1 4 6 10 11 13 15 16 17 20 22 26 27 29 31 1 5 7 10 11 12 14 16 17 21 23 26 27 28 30 2 4 7 9 11 13 14 16 18 20 23 25 27 29 30 2 5 6 9 11 12 15 16 18 21 22 25 27 28 31 3 4 5 9 10 14 15 16 19 20 21 25 26 30 31 3 6 7 9 10 12 13 16 19 22 23 25 26 28 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 4 6 8 10 12 14 17 19 21 23 25 27 29 31 1 4 5 8 9 12 13 18 19 22 23 26 27 30 31 3 4 7 8 11 12 15 17 18 21 22 25 26 29 30 1 2 3 8 9 10 11 20 21 22 23 28 29 30 31 2 5 7 8 10 13 15 17 19 20 22 25 27 28 30 1 6 7 8 9 14 15 18 19 20 21 26 27 28 29 3 5 6 8 11 13 14 17 18 20 23 25 26 28 31 1 2 3 4 5 6 7 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 26 27 1 4 6 10 11 13 15 18 19 21 23 24 25 28 30 1 5 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Inzidenzmatrix Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . O O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O . . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . O O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O . . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . O O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O . . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . O O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O . . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O O