Das Hill/Huntington-Verfahren (auch: Divisorverfahren mit geometrischer Rundung; in den USA: equal proportions (EP) method) ist eine Methode der proportionalen Repräsentation (Sitzzuteilungsverfahren), wie sie z. B. bei bevölkerungsproportionaler Sitzaufteilung auf regionale Distrikte oder bei stimmenproportionaler Sitzzuteilung an zur Wahl stehende Parteien (siehe Verhältniswahl) benötigt wird.
Geschichte Der Chef-Statistiker der US-amerikanischen Zensusbehörde Joseph Adna Hill schlug das Verfahren 1911 vor, um die Sitze des Repräsentantenhauses im Verhältnis der Bevölkerungsanteile auf die Bundesstaaten zu verteilen. Edward Vermilye Huntington, Mathematikprofessor und mit Hill seit Studienzeiten bekannt, übernahm die Idee und propagierte sie unter der gewinnenden Bezeichnung equal proportions (EP) method.Siehe die ausführliche Darstellung in Chapter 6 "The Controversy over Bias", insbesondere auch Anmerkung 5 auf Seite 181, in Michel L. Balinski / H. Peyton Young: Fair Representation – Meeting the Ideal of One Man, One Vote. New Haven CT, 1982. Second Edition (mit identischer Seitenzählung): Washington DC, 2001. Jahrzehntelange Debatten im Kongress fanden ihr Ende in einem 1941 verabschiedeten Gesetz, das seither die Verwendung des Hill/Huntington-Verfahrens für die Aufteilung der 435 Sitze des Repräsentantenhauses festschreibt.Bis 1941 wurde zu diesem Zweck das Webster-Verfahren verwendet. Bis 1900 wurde die Größe des Repräsentantenhauses so festgelegt, dass die Sitzaufteilungen nach Webster-Verfahren und Hamilton-Verfahren identisch waren. Bis 1880 wurde ausschließlich das Hamilton-Verfahren verwendet, bis 1840 das Jefferson-Verfahren.
Verfahrensbeispiel: US-Repräsentantenhaus nach Volkszählung 2020 Das Hill/Huntington-Verfahren wird in der nachfolgenden Tabelle beispielhaft vorgeführt. Gemäß der US-Volkszählung 2020 werden die 435 Sitze des Repräsentantenhauses auf die 50 Gliedstaaten verteilt. – Die Spalte "Bevölkerung 2020" enthält die sog. apportionment population. Die Regelung, welche Personengruppen zur apportionment population gezählt werden oder nicht, ist eine diffizile Verfahrensentscheidung, die gelegentlich erst durch Anrufung von Gerichten geklärt wird. Die apportionment population unterscheidet sich geringfügig von den üblichen Einwohnerzahlen.
+ Hill/Huntington-Verfahren als Divisorverfahren mit geometrischer RundungSiehe das freie Java-Programm BAZI. Bundesstaat Bevölkerung 2020 Quotient Rundungs-schwelle Sitze Kalifornien 39.576.757 51,9 52 Texas 29.183.290 38,2 38 Florida 21.570.527 28,3 28 New York 20.215.751 26,49523 26,49528 26 Pennsylvanien 13.011.844 17,1 17 Illinois 12.822.739 16,8 17 Ohio 11.808.848 15,48 15,49 15 Georgia 10.725.274 14,1 14 Nord-Carolina 10.453.948 13,7 14 Michigan 10.084.442 13,2 13 New Jersey 9.294.493 12,2 12 Virginia 8.654.542 11,3 11 Washington 7.715.946 10,1 10 Arizona 7.158.923 9,38 9,49 9 Massachusetts 7.033.469 9,2 9 Tennessee 6.916.897 9,1 9 Indiana 6.790.280 8,9 9 Maryland 6.185.278 8,1 8 Missouri 6.160.281 8,1 8 Wisconsin 5.897.473 7,7 8 Colorado 5.782.171 7,6 8 Minnesota 5.709.752 7,48333 7,48331 8 Süd-Carolina 5.124.712 6,7 7 Alabama 5.030.053 6,6 7 Louisiana 4.661.468 6,1 6 Kentucky 4.509.342 5,9 6 Oregon 4.241.500 5,6 6 Oklahoma 3.963.516 5,2 5 Connecticut 3.608.298 4,7 5 Utah 3.275.252 4,3 4 Iowa 3.192.406 4,2 4 Nevada 3.108.462 4,1 4 Arkansas 3.013.756 3,9 4 Mississippi 2.963.914 3,9 4 Kansas 2.940.865 3,9 4 New Mexico 2.120.220 2,8 3 Nebraska 1.963.333 2,6 3 Idaho 1.841.377 2,41 2,45 2 West Virginia 1.795.045 2,35 2 Hawaii 1.460.137 1,9 2 New Hampshire 1.379.089 1,8 2 Maine 1.363.582 1,8 2 Rhode Island 1.098.163 1,44 1,41 2 Montana 1.085.407 1,42 1,41 2 Delaware 990.837 1,3 1 South Dakota 887.770 1,2 1 North Dakota 779.702 1,02 1 Alaska 736.081 0,96 1 Vermont 643.503 0,8 1 Wyoming 577.719 0,8 1 Summe (Divisor) 331.108.434 (762.996) – 435 Auf je 762.996 Personen entfällt rund ein Sitz.
Zu Beginn wird für jeden Bundesstaat seine Bevölkerungszahl durch ein und denselben Divisor geteilt (hier: 762.996). Die Zwischenergebnisse (Spalte „Quotient“) bewahren zwar die Proportionalität unter den Bevölkerungsanteilen, werden aber fast nie ganzzahlig sein und können deshalb nicht als Sitzzahlen dienen. Denn für Sitzzahlen ist Ganzahligkeit unabdingbar.
Zum Abschluss des Verfahrens werden daher die Quotienten zu einer Ganzzahl gerundet, entweder zur Ganzzahl unter dem Quotient oder zur Ganzzahl darüber. Darauf verweist der Zusatz „rund“ in der Lösungsformel: Auf je 762.996 Personen entfällt rund ein Sitz.
Als Rundungsregel benutzt das Hill/Huntington-Verfahren die „geometrische Rundung“. Die Bezeichnung verweist darauf, dass die Rundungsschwelle, unterhalb der abgerundet und oberhalb der aufgerundet wird, gegeben wird durch das geometrische Mittel der beiden Ganzzahlen und , die den jeweiligen Quotienten einrahmen:
Das Anfangsintervall [0;1] hat Rundungsschwelle Null, hier fallen Rundungsschwelle und unterer Eckpunkt zusammen.Denn . In diesem Intervall liegen alle Quotienten oberhalb ihrer Rundungsschwelle und werden zu Eins aufgerundet (Alaska, Vermont, Wyoming). In der Praxis bedeutet dies, dass mit dem Hill/Huntington-Verfahren jeder Bundesstaat mindestens einen Sitz bekommt; damit wird einer Vorgabe der US-Verfassung Genüge getan.
In allen anderen Intervallen befindet sich die Rundungsschwelle im Inneren: 1,414, 2,449, 3,464 usw. Die Nachkommareste der Rundungsschwellen sind größer als 0,4 und kleiner als 0,5.Der Nachkommarest einer Rundungsschwelle ist gegeben durch . Diese Folge beginnt für n=2 mit 0,414, ist streng wachsend und konvergiert gegen 0,5. Dieser Befund hat zwei wichtige Konsequenzen für alle Quotienten jenseits des Anfangsintervalls (d. h. für alle Quotienten größer als Eins).
Erstens wird ein solcher Quotient immer abgerundet, wenn sein Nachkommarest kleiner als 0,4 ist. Denn notgedrungen liegt der Quotient unterhalb seiner zugehörigen Rundungsschwelle. Zweitens wird ein Quotient mit Nachkommarest größer als 0,5 immer aufgerundet, weil er seine Rundungsschwelle garantiert übertrifft. Solche Fälle sind unkritisch, die Zellen in der Tabellenspalte „Rundungsschwelle“ können leer bleiben.
Kritisch sind nur Quotienten mit Nachkommaresten zwischen 0,4 und 0,5. Hier müssen so viele Nachkommastellen sowohl vom Quotienten als auch von der Rundungsschwelle bestimmt werden, bis klar wird, ob der Quotient die Rundungsschwelle unterschreitet oder übertrifft. Manchmal sind zwei Dezimalstellen ausreichend (Ohio, Arizona, Idaho, Rhode Island, Montana), manchmal braucht es mehr (New York, Minnesota).
Allgemeine Verfahrensvorschriften
Zentral für den Vollzug des Verfahrens ist die Bestimmung eines geeigneten Zuteilungsdivisors. Jeder Divisorwert ist geeignet, für den die gerundeten Quotienten in Summe die gegebene Gesamtzahl der Sitze genau ausschöpfen. Es gibt keine Ein-Zeilen-Formel, die einen passenden Divisor direkt liefern könnte. Stattdessen muss ein Mehr-Schritt-Rechenweg durchlaufen werden.
Als Startdivisor dient der Bevölkerungsdurchschnitt pro Sitz, in obigem Beispiel 331.108.434 / 435 = 761.169. Damit werden allerdings 437 Sitze vergeben, zwei Sitze zu viel. Die Diskrepanz von 437 – 435 = 2 Sitzen wird in zwei Korrekturschritten beseitigt.
Im ersten Korrekturschritt zeigt eine Betrachtung aller zum Startdivisor gehörenden Quotienten, dass der Ohio-Quotient (11.808.848 / 761.169 = 15,51) nur knapp größer ist als die unterhalb liegende Rundungsschwelle (15,49193). Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Startdivisor (761.169) kleiner ist als die „Ohio-Vergleichszahl“:Die Ungleichung ist gleichbedeutend mit der Ungleichung
Die Ohio-Vergleichszahl ist die kleinste unter allen Vergleichszahlen, die mit den 50 Bundesstaaten einhergehen. Eine Vergrößerung des Startdivisors (761.169) auf den Wert 762.259 hat zur Folge, dass der zugehörige Ohio-Quotient (15,49191) unter die Ohio-Rundungschwelle (15,49193) gerutscht ist und somit nicht mehr auf 16 aufgerundet, sondern auf 15 abgerundet wird. Dies geschieht bei Ohio, ohne dass bei einem der anderen Staaten der Quotient aus Bevölkerungsgröße und aktuellem Divisor seine zugehörige untere Rundungsschwelle unterschreitet und sich dort die Rundung ändert. Mit dem neuen Divisor (762.259) bekommt Ohio einen Sitz weniger und die Gesamtsitzzahl sinkt um einen Sitz auf 436.
Im zweiten Korrekturschritt werden auf ähnliche Weise die Quotienten untersucht, die zum nun aktuellen Divisor 762.259 gehören. Hier erweist sich die New York-Vergleichszahl als ausschlaggebend:
Die New York-Vergleichszahl ist deshalb ausschlaggebend, weil sie unter den Vergleichszahlen aller 50 Bundesstaaten die kleinste ist. Ein Übergang vom momentanen Divisor (762.259) zum neuen Divisor 762.995 hat zur Folge, dass der New York-Quotient (26,49526) nunmehr abgerundet wird und bei den anderen Staaten die Sitzzahl gleich bleibt. Das Ziel von 435 Gesamtsitzen ist erreicht.
Der Rechenweg schließt mit einer Zusatzüberlegung. Die nächste Vergleichszahl, jenseits der die Gesamtsitzzahl auf 434 sinken würde und die deshalb eine obere Schranke für die Divisorauswahl bedeutet, ist die von Minnesota:
Jeder Wert im Bereich von 762.994,4 bis 762.997,7 taugt als Divisor, denn die Gesamtsitzzahl 435 wird jeweils genau ausgeschöpft. Für die Stabilität des rechnerischen Vollzugs empfiehlt sich die Bereichsmitte 762.996. Dies ist der „Zitierdivisor“, den obige Tabelle benutzt.
Vollzug als Höchstzahlenschema. Das Hill/Huntington-Verfahren kann auch als Höchstzahlenschema dargestellt werden. Vorteil eines Schemas ist, dass es sich schematisch abarbeiten lässt. Nachteil ist, dass die schematische Arbeit wenig zum Verständnis des Verfahrens beiträgt.
Das Höchstzahlenverfahren beginnt mit einem Startdivisor, der alle Bevölkerungszahlen übersteigt, im Beispiel etwa mit 40.000.000. Die damit berechneten Quotienten fallen alle in das Anfangsintervall [0;1] und werden zu Eins aufgerundet. Also werden beim Start 50 Sitze verteilt, jeder Bundesstaat bekommt einen Startsitz. Die Diskrepanz von 50 − 435 = −385 Sitzen wird in 385 Korrekturschritten abgearbeitet, indem der Startdivisor Schritt um Schritt verkleinert wird. Bei jedem Schritt überschreitet einer der größer werdenden Quotienten die oberhalb von ihm liegende Rundungsschwelle, weshalb der zugehörige Staat einen Sitz mehr bekommt und zum Abbau der Diskrepanz beiträgt.
Der erste Korrekturschritt schaut auf die Vergleichszahlen, die man erhält, wenn man die Bevölkerungszahlen durch die Rundungsschwelle des Intervalls [1;2] teilt, die über die Vergabe eines zweiten Sitzes entscheidet. Sobald der Divisor unter die höchste dieser Vergleichszahlen fällt (27.984.993), wird der einundfünzigste Sitz vergeben, er geht an Kalifornien.
Im zweiten Korrekturschritt wird für Kalifornien (und zwar nur für Kalifornien) die Vergleichszahl mit der Rundungsschwelle des Intervalls [2;3] aktualisiert, weil Kalifornien nun dem dritten Sitz nahe kommt. Die Vergleichszahlen der anderen Staaten bleiben gleich, denn diese warten auf ihren zweiten Sitz. Sobald der Divisor die höchste der aktualisierten Vergleichszahlen passiert (20.635.702), wird der zweiundfünfzigste Sitz zugeteilt, diesmal an Texas.
Im dritten Korrekturschritt wird für Texas die Vergleichszahl mit der Rundungsschwelle des Intervalls [2;3] aktualisiert, weil der nächste Sitz für Texas der dritte wäre. Die Vergleichszahlen der anderen Staaten bleiben unangetastet. Sobald der Divisor kleiner wird als die höchste dieser Vergleichszahlen (16.157.143), wird der dreiundfünfzigste Sitz vergeben und zwar wieder an Kalifornien.
So geht es weiter, bis im dreihundertfünfundachzigsten Korrekturschritt der letzte, vierhundertfünfunddreißigste Sitz Minnesota zugewiesen wird. Die Arbeit ist erledigt.