mini|Die komplexen Zahlen umfassen die reellen Zahlen und diese die rationalen Zahlen , zu denen wiederum die ganzen Zahlen und die natürlichen Zahlen gehören.

Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar. Ziel der Erweiterung ist es, algebraische Gleichungen wie bzw. lösbar zu machen. Im Gegensatz zu den Erweiterungen reicht es hier nicht mehr aus, die Zahlen „linksseitig“ zu erweitern (ganze Zahlen) oder „dichter zu stopfen“ (rationale und reelle Zahlen), sondern man wechselt von einer Zahlengeraden zu einer Zahlenebene.

Da die Quadrate aller reellen Zahlen größer oder gleich 0 sind, kann die Lösung der Gleichung keine reelle Zahl sein. Man braucht eine ganz neue Zahl, die man üblicherweise nennt, mit der Eigenschaft Diese Zahl wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Damit lassen sich die komplexen Zahlen als Zahlen der Form definieren, wobei und reelle Zahlen sind, die als Realteil und Imaginärteil bezeichnet werden. Diese Struktur der komplexen Zahlen ist der Grund dafür, dass diese Zahlen „komplex“ (zusammengesetzt) genannt werden. Auf die so definierten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei wie eine Konstante verwendet wird und durch ersetzt werden kann. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol (ℂ als Unicode-Zeichen U+2102, siehe Buchstaben mit Doppelstrich) verwendet.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese nützlichen Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel), der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar – anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

In der Elektrotechnik wird stattdessen der Buchstabe verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch oder bezeichneten) von der Zeit abhängigen Stromstärke vorzubeugen; allerdings erhöht dies die Verwechslungsgefahr mit der Stromdichte in der Elektrodynamik.

Definition Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren: Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist. Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. Das Distributivgesetz gilt. Für jede komplexe Zahl existiert eine komplexe Zahl , sodass Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl existiert eine komplexe Zahl , sodass Es existiert eine komplexe Zahl mit der Eigenschaft ; diese Zahl heißt imaginäre Einheit. Unter allen Zahlbereichen mit den zuvor genannten Eigenschaften sind die komplexen Zahlen minimal.

Die letzte Forderung ist gleichbedeutend damit, dass sich jede komplexe Zahl in der Form (bzw. in verkürzter Notation oder auch ) mit reellen Zahlen und darstellen lässt. Die imaginäre Einheit ist dabei keine reelle Zahl. Die Existenz eines solchen Zahlbereichs wird im Abschnitt zur Konstruktion der komplexen Zahlen nachgewiesen.

Unter Verwendung der Begriffe Körper und Isomorphie lässt sich das so formulieren: Es gibt minimale Körper, die den Körper der reellen Zahlen und ein Element mit der Eigenschaft enthalten. In einem solchen Körper hat jedes Element eine und nur eine Darstellung als mit reellen Die komplexen Zahlen sind isomorph zu jedem solchen Körper.

Für den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl haben sich zwei typografische Schreibweisen etabliert: und (Schreibweise der Operatoren ohne besondere Ausschreibung) und (Schreibweise der Operatoren in Frakturschrift)

In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechslungen mit der imaginären Einheit führen. Daher wird in der Elektrotechnik üblicherweise für die imaginäre Einheit die Bezeichnung gewählt, wie dies auch in der Norm DIN 1302 festgelegt ist.

In der Physik wird zwischen für die Stromstärke bei Wechselstrom und durch die Art der Darstellung des Buchstabens für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewandt; handschriftlich ist diese Feinheit allerdings nicht zu halten, weshalb häufig das als Symbol für die imaginäre Einheit verwendet wird. Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung

Komplexe Zahlen können gemäß DIN 1304-1 und DIN 5483-3 unterstrichen dargestellt werden, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden. Siehe auch: Phasor.

Grundlegende Eigenschaften Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene mini|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten

Während sich die Menge der reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen lässt, lässt sich die Menge der komplexen Zahlen als Punkte auf einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Da die komplexen Zahlen einen zweidimensionalen reellen Vektorraum definieren, kann die komplexe Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem versehen werden, das von den beiden orthogonalen Vektoren und aufgespannt wird. Es ist üblich, innerhalb dessen die reellen Zahlen über eine waagerechte und die imaginären Zahlen über eine senkrechte Achse darzustellen. Eine komplexe Zahl mit besitzt dann die „horizontale Koordinate“ und die „vertikale Koordinate“ , wird also mit dem Zahlenpaar identifiziert. Entsprechend bildet eine Basis des -Vektorraumes .

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen einer Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Subtraktion komplexer Zahlen entspricht einer Vektorsubtraktion. Die Multiplikation entspricht in der gaußschen Ebene einer Drehstreckung; diese Eigenschaft kommt insbesondere in der Polarform zum Ausdruck (siehe unten).

mini|Die Farbdarstellung der komplexen Zahlen­ebene wird häufig zur Veranschaulichung komplexer Funktionen (hier: der Identität) an­gewendet. Die Farbe kodiert das Argument und die Helligkeit gibt den Betrag an. Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: Darstellung in kartesischen Koordinaten , gelegentlich auch algebraische Form genannt,Bronstein, Semendjajew et al., S. 34 als Summe des reellen und des rein imaginären Anteils mit folgenden Schreibweisen, alsoEberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4. Auflage. Springer, S. 4. oder auch .

Darstellung in Polarkoordinaten bzw. in Polardarstellung als Produkt des absoluten Betrages gedreht um den Winkel mit folgenden Schreibweisen: , ,John B. Conway: Functions of One Complex Variable I, Second Edition, Springer, S. 4.

Hierbei wird der Faktor als Phasenfaktor und der Winkel auch als Argument der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die Eulersche Formel, die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist.

Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist mittels und

möglich. Setzt man , ergo und , so ist die Gleichheit zur arctan2-Funktion eine Konsequenz aus der Halbwinkelformel

Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ unter Anwendung des Arkustangens zu umformen. Ist hingegen , also auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung vereinfachend auch zu aufgelöst werden.

Komplexe Konjugation

mini|Eine komplexe Zahl und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils einer komplexen Zahl so erhält man die zu konjugiert komplexe Zahl (manchmal auch geschrieben).

Die Konjugation ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h. für alle gilt

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten ergibt das Quadrat ihres Betrages:

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten ergibt das 2-Fache ihres Realteils:

Die Differenz aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten ergibt das -Fache ihres Imaginärteils:

Als normierter, metrischer und topologischer Raum Die durch die Abstandsfunktion induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von überein, so wie auch die Einschränkung von auf mit der Standardmetrik auf übereinstimmt. Der Betrag einer komplexen Zahl berechnet sich durch , wobei der nichtnegative Wert der Quadratwurzel gewählt wird. Zum Beispiel gilt

Beide Räume, sowie , sind vollständig unter diesen Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.

Ordnung ist im Gegensatz zu kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf . Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher im Allgemeinen nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in ) festlegen, welche von beiden die „größere“ bzw. die „kleinere“ Zahl ist.

Weitere Eigenschaften Der Körper der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von , andererseits ein zweidimensionaler Der Isomorphismus wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um formell als mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu definieren und dann zu setzen. Dabei wird gleichzeitig festgelegt:

Die Drehung der komplexen Ebene am Ursprung um den positiven Winkel überführt die positive reelle in die positiv-imaginäre Einheit . Wenn die positiv-reelle Halbachse in der komplexen Ebene nach rechts geht, dann legt man die positiv-imaginäre Halbachse nach oben. Das ist in Einklang mit dem mathematisch positiven Drehsinn.

Die Körpererweiterung ist vom Grad ; genauer ist isomorph zum Faktorring , wobei das Minimalpolynom von über ist. Ferner bildet bereits den algebraischen Abschluss von . Als -Vektorraum besitzt die Basis . Daneben ist wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler mit Basis .