Wachstum (Mathematik)

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Wachstum bezeichnet die Zunahme einer bestimmten Messgröße im Zeitverlauf. Das Gegenteil von Wachstum ist die Schrumpfung, also die Abnahme einer Messgröße – teilweise auch als Zerfall bezeichnet. In diesem Zusammenhang fällt oft der von der mathematischen Modellierung abgeleitete und umgangssprachlich oft missverstandene Begriff Negativwachstum als Pendant zum (positiven) Wachstum.

Mathematische Beschreibung Wachstum ist das zeitliche Verhalten einer System-Messgröße. Zunächst wird zu einem bestimmten Zeitpunkt der Wert dieser Größe bestimmt. Zu einem späteren Zeitpunkt wird wieder der Wert dieser Größe, diesmal , bestimmt.

Ist dieser zweite Wert größer als der erste, also , dann spricht man von positivem Wachstum. Das entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.

Ist der zweite Wert jedoch kleiner als der erste, also , spricht man von negativem Wachstum, sprich Schrumpfung bzw. Abnahme oder Zerfall.

Mathematisch gesehen ist dies vergleichbar mit dem Begriff der Monotonie als Eigenschaft der Wachstumsfunktion, je nachdem, ob sie (streng) monoton steigt oder fällt.

Im Falle spricht man von Nullwachstum. Dann ist die Funktion an dieser Stelle „konstant“.

Darstellung von Wachstumsverhalten Bei einer großen Menge von Messpunkten werden diese zur Veranschaulichung in einem Diagramm dargestellt. Oft werden die interessierenden Größen nicht kontinuierlich gemessen, sondern liegen nur an äquidistanten Zeitpunkten vor. Das tatsächliche Verhalten zwischen den diskreten, abgetasteten Werten ist genau genommen nicht bekannt und kann nur bei genügend enger Abtastung interpoliert werden. Folgende Darstellungen können unterschieden werden: die Rekursionsformel, die diskrete Werte der Wachstumsfunktion erzeugt. die explizite, kontinuierliche Wachstumsfunktion, die den Bestand zu einem beliebigen Zeitpunkt in ihrem Definitionsbereich wiedergibt. die Differentialgleichung, die in der hier verwendeten Form die erste Ableitung der Wachstumsfunktion darstellt.

Wesentliche Begriffe Im Zusammenhang mit Wachstumsfunktionen sind folgende Begrifflichkeiten relevant: „Anfangsbestand“ (auch „Anfangswert“) Dieser gibt den Wert des Bestandes zu Beginn der Zeitrechnung an, d. h. für die rekursive Darstellung und für die diskrete Darstellung . Aus funktionstheoretischer Sicht handelt es sich hier um den Schnittpunkt der Wachstumsfunktion mit der y-Achse (Ordinate) – auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. „Wachstumskonstante“ Dieser Wert gibt Auskunft über das Maß des Wachstums, trägt zur Charakterisierung des jeweiligen Wachstumsmodells bei und besitzt daher jeweils eine unterschiedliche Form. Ihr Vorzeichen hat Einfluss darauf, ob es sich um ein positives oder negatives Wachstum handelt. Ferner gilt: Je höher der Wert der Änderungsrate, desto steiler verläuft die Wachstumsfunktion. Wachstumsgeschwindigkeit Bei Wachstumsvorgängen wird die momentane Änderungsrate (Wachstumsrate) so genannt. Sie lässt sich mit Hilfe der ersten Ableitung der Wachstumsfunktion bestimmen. Maximale bzw. minimale Wachstumsgeschwindigkeit Die maximale bzw. minimale Wachstumsgeschwindigkeit ist durch den Extrempunkt der Wachstumsgeschwindigkeit gegeben. Dieser stellt gleichzeitig einen Wendepunkt der Funktion dar, d. h., hier ändert sich die Krümmung der Funktion. Bei linearem Wachstum existiert kein Extrempunkt. Hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit konstant. Halbwertszeit bzw. Verdopplungszeit Die Zeitspanne, nach der sich der Anfangsbestand halbiert bzw. verdoppelt hat.

Mathematische Wachstumsmodelle Es werden in der Mathematik im Wesentlichen vier Wachstumsmodelle unterschieden: das lineare, das exponentielle, das beschränkte und das logistische Wachstum.Hermann Haarmann, Hans Wolpers: Mathematik zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife, Nichttechnische Fachrichtungen. 2. Auflage. Merkur Verlag, Rinteln 2012, ISBN 978-3-8120-0062-8, S. 275.

Lineares Wachstum mini|300px|rechts|Beispiel von Graphen für lineares positives negatives und Nullwachstum.

Ein Wachstum heißt linear, wenn die Änderungsrate konstant ist.

Bei linearem Wachstum gilt für den Bestand nach Zeitschritten: rekursive Darstellung: mit Änderungsrate und Anfangsbestand explizite Darstellung (Wachstumsfunktion): mit Anfangsbestand Differentialgleichung:

Exponentielles Wachstum

Ein Wachstum heißt exponentiell, wenn die Änderungsrate nicht konstant, sondern proportional zum Bestand ist. rekursive Darstellung:

( wird als Wachstumsfaktor bezeichnet) explizite Darstellung (Wachstumsfunktion):

Die Variable mit der Dimension eins bezeichnet die Dauer des Vorgangs, dividiert durch die Zeitspanne, in welcher der Bestand sich um den Faktor ändert (z. B. Halbwerts- oder Generationszeit). Differentialgleichung:

Beschränktes Wachstum

Ein Wachstum heißt beschränkt mit der Schranke (auch Kapazität (-sgrenze) bzw. Sättigung (-sgrenze/-swert)) , wenn die Änderungsrate bzw. nicht konstant, sondern proportional zum Sättigungsmanko (auch Restbestand) ist. Das beschränkte Wachstum wird teilweise auch als begrenztes Wachstum bezeichnet und lässt sich durch eine Exponentialfunktion beschreiben. Rekursive Darstellung:

Explizite Darstellung (Wachstumsfunktion):

Differentialgleichung:

Logistisches Wachstum mini|300px|rechts

Ein Wachstum heißt logistisch mit der Schranke , wenn die Änderungsrate bzw. nicht konstant, sondern proportional zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko ist. Das logistische Wachstum setzt sich prinzipiell aus exponentiellem und beschränktem Wachstum zusammen. Charakteristisch für diese Wachstumsart ist die Trendwende (Wendepunkt der Wachstumsfunktion), die den Übergang vom exponentiellen zum beschränkten Wachstum markiert. Rekursive Darstellung:

Explizite Darstellung (Wachstumsfunktion):

Differentialgleichung:

Weitere rekursive Darstellung unter Nutzung des expliziten Eulerverfahrens:

Diese Darstellung gibt nicht die exakte Lösung der logistischen Differentialgleichung wieder, da hier nur eine Näherung für die Ableitung der Wachstumsfunktion benutzt wird. Man bezeichnet diese Variante auch als quadratische Rekursion.

Weitere Wachstumsformen mini|300px|rechts|Verschiedene Arten von Wachstum

Neben den klassischen Wachstumsmodellen gibt es noch weitere Formen, die geeignet sind komplexe Wachstumsprozesse zu beschreiben.

Wachstum gemäß einem Potenzgesetz Wachstumsprozesse lassen sich auch mittels Potenzfunktionen darstellen. Hierzu zählt auch das kubische Wachstum, wie es teilweise zur Modellierung der Entwicklung von Tierbeständen verwendet wird. Wachstumsfunktion: Der Parameter beeinflusst dabei die Wachstumsgeschwindigkeit des Bestandes.

Vergiftetes Wachstum

Hier wird das freie Wachstum eines Bestandes bzw. einer Population mittels eines das Wachstum der Population bremsenden Stoffes gehemmt. Dieser Hemmstoff wird dem Bestand in regelmäßigen Zeitabschnitten zugeführt und ist für die Population giftig. Das vorher ungestörte positive Wachsen kehrt sich in einen negativen Prozess um, der letztlich auf das Aussterben des Bestandes hinausläuft. Dabei reduziert sich der Bestand etwa proportional zur Menge des Hemmstoffes. Beispiele hierzu finden sich u. a. in der Pharmakokinetik wie bei der toxischen Wirkung eines Antibiotikums auf eine Bakterienkultur. Wachstumsfunktion: Dabei beschreibt die Wachstumskonstante des Bestandes, während als hemmstoffspezifischer Parameter die Stärke der Giftwirkung auf den Bestand angibt.

Zu dieser Wachstumsform zählt auch das Wachstum mit Selbstvergiftung. Hier wird der Hemmstoff nicht extern zugesetzt, sondern vom Bestand bzw. der Population selbst produziert, wie beispielsweise schädigende Stoffwechselrückstände. Diese Eigenschaft wird u. a. beim Bierbrauen gezielt ausgenutzt.

Wachstum von Folgen In diskreter Zeit ablaufende Prozesse werden durch Folgen beschrieben. Als Wachstumsrate einer Folge bezeichnet man die Äquivalenzklasse der Folge bezüglich der folgenden Äquivalenzrelation: Zwei Folgen und heißen äquivalent, wenn es eine Konstante gibt, sodass und für alle gilt.

Insbesondere sagt man, eine Folge hat polynomielles Wachstum vom Grad , wenn sie äquivalent zu ist, und eine Folge hat exponentielles Wachstum, wenn sie äquivalent zu ist.

Eigenschaften von Wachstumsprozessen Wachstum lässt sich zum einen qualitativ anhand seiner Zeitverläufe charakterisieren, wie sie im Diagramm dargestellt sind. Zur quantitativen Beschreibung dient die Einheit der Messgröße des jeweiligen Wachstums.

Grenzverhalten Der Verlauf von Wachstumsprozessen kann begrenzt (beschränkt) oder unbegrenzt (unbeschränkt) sein. Bezogen auf die mathematischen Wachstumsmodelle lassen sich das exponentielle und lineare Wachstum einem unbeschränkten Prozess zuordnen, wobei dies eher ein theoretisches Konstrukt der Mathematik darstellt. Alle realen Wachstumsvorgänge unterliegen prinzipiell einer Beschränkung, da die Ressourcen, aus denen sich das Wachstum speist, nicht unbegrenzt vorliegen oder das Wachstum auf andere Weise schon vor dem Erschöpfen der Ressourcen begrenzt wird und einem dynamischen Gleichgewicht zustrebt (zum Beispiel beim Räuber-Beute-System). Ein begrenzter Wachstumsprozess führt aber nicht zwingend zu einer Wachstumsumkehr, sondern erlaubt während der Lebensdauer eines Systems innerhalb seiner Wachstumsgrenzen ein auf Dauer positives Wachstum. Das klassische Beispiel ist die Entropie in geschlossenen Systemen. Die maximale Entropie des Systems ist hier die Wachstumsgrenze.

Krümmungsverhalten mini|300px|rechts|Beispiel von Graphen für exponentielle positives oder negatives bzw. beschleunigtes oder verzögertes Wachstum

Hier können einerseits lineare Prozesse oder exponentielle Prozesse unterschieden werden. Andererseits lassen sich hier degressive (verzögerte) und progressive (beschleunigte) Wachstumsprozesse einordnen, wobei das Wachstum selbst wiederum positiv oder negativ verlaufen kann. Dies bezieht sich im Wesentlichen auf die Änderung der Wachstumsgeschwindigkeit. Der radioaktive Zerfall ist ein Beispiel für exponentielles, verzögertes, negatives Wachstum.

Kontinuität Diese Eigenschaft bezieht sich auf die Art der Messung und die Eigenschaft der Messdaten. Die Messung erfolgt entweder kontinuierlich über die gesamte Zeitdauer oder diskontinuierlich nur zu bestimmten Zeitpunkten. Messdaten können grundsätzlich stetig oder diskret sein.Wolfgang Niemeier: Ausgleichsrechnung. Eine Einführung für Studierende und Praktiker des Vermessungs- und Geoinformationswesen. De Gruyter Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-11-014080-2, S. 2. Stetige Messdaten haben unendlich viele Resultate. Sie lassen sich als Messgrößen mit einem technischen Gerät messen und werden teilweise auch als physikalische Größe bezeichnet, die bestimmte Maßeinheiten besitzen. Beispiele sind Länge des Schienennetzes (u. a. in Kilometer), Fläche des Regenwaldes (u. a. in Quadratmetern), Volumen der produzierten Milch (u. a. in Liter), Masse (u. a. in Kilogramm), Zeit (u. a. in Sekunde). Während die physikalische Dimension der Messgröße klar festgelegt ist, kann die konkrete Maßeinheit variieren wie z. B. Länge in Zenti- oder Kilometern. Diskrete Messdaten haben nur abzählbar viele Resultate. Sie lassen sich zählen und liegen in einer bestimmten, absoluten Anzahl bzw. Menge als ganze Zahl vor. Beispiele sind Anzahl der Bevölkerung eines Landes, Arbeitslosenzahlen, Umsätze eines Produktes. Zu den dimensionslosen Messdaten zählen relative Werte (Verhältsniszahlen) wie u. a. die betriebswirtschaftliche Kennzahl, Umsatzrendite sowie der Intelligenzquotient, die Komplexität oder Kapazität. Siehe dazu Internet, Informationsflut Reale Wachstumsprozesse können eine scheinbare Kontinuität aufweisen. Die Längenzunahme des Menschen während der Wachstumsperiode erfolgt beispielsweise in Schüben.

Periodizität