In der klassischen Mechanik bezeichnet man eine aktiveWalter Thirring: Classical Mathematical Physics. New York 1997, S. 90. Transformation des Phasenraums als kanonisch, wenn sie wesentliche Aspekte der Dynamik invariant lässt. Die Invarianz der hamiltonschen Gleichungen ist dabei ein notwendiges, jedoch nicht hinreichendes Kriterium.Vladimir Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. New York 1989, S. 241. Notwendig und hinreichend ist die Invarianz der Poisson-Klammern, ein weiteres notwendiges Kriterium ist die Invarianz des Phasenraumvolumens. Ziel dabei ist, die neue Hamilton-Funktion möglichst zu vereinfachen, im Idealfall sogar unabhängig von einer oder mehreren Variablen zu machen. In dieser Funktion sind kanonische Transformationen der Ausgangspunkt zum Hamilton-Jacobi-Formalismus. Kanonische Transformationen können aus sogenannten erzeugenden Funktionen konstruiert werden.
Wichtige Beispiele kanonischer Transformationen sind Transformationen des Phasenraums, die von Transformationen des Konfigurationsraums induziert werden – sogenannte Punkttransformationen –, sowie der kanonische Fluss bei festgehaltener Zeitkonstanten, also Transformationen des Phasenraums, die durch Fortschreiten der Dynamik um eine konstante Zeitdifferenz entstehen. Die erzeugende Funktion in letzterem Fall ist die Hamiltonsche Prinzipalfunktion und entspricht gerade der Wirkung zwischen den beiden Zeitpunkten, aufgefasst als Funktion der alten und neuen Koordinaten.
Zeitunabhängiger Fall Im Folgenden wird zunächst nur der einfachere zeitunabhängige Fall behandelt. Der zeitabhängige Fall wird in einem eigenen Abschnitt dargestellt. Ferner sind folgende Ausführungen als lokale Beschreibung der Transformationen in Bündelkarten anzusehen. Für das Verständnis der globalen Zusammenhänge ist die Verwendung des Differentialformenkalküls unerlässlich.Vladimir Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. New York 1989, S. 163. Sie werden ebenfalls in einem eigenen Abschnitt dargestellt.
Definition Man betrachte ein Hamiltonsches System mit Freiheitsgraden und der Hamilton-Funktion , die von den Koordinaten und Impulsen abhängt. Die kanonischen Gleichungen (hamiltonsche Bewegungsgleichungen) lauten somit:
wobei im Folgenden für die Argumente der Übersichtlichkeit halber kurz geschrieben wird. Gesucht sind Transformationen , die die kanonischen Gleichungen invariant lassen, d. h., durch Substitution in der Hamilton-Funktion soll dieselbe Dynamik beschrieben werden:
Die Gültigkeit der Hamiltonschen Gleichungen ist äquivalent zum Hamiltonschen Extremalprinzip
wobei die und unabhängig voneinander variiert werden. Für die gleichzeitige Gültigkeit dieses und des äquivalenten Variationsprinzips für das transformierte System ist es hinreichend, dass sich die Integranden nur bis auf einen konstanten Faktor (d. h. bis auf eine Skalentransformation) und eine totale Zeitableitung unterscheiden:
Kanonisch (eigentlich lokal kanonisch) heißen gerade die Transformationen, die obige Gleichung mit erfüllenVladimir Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. New York 1989, S. 241.Herbert Goldstein: Classical Mechanics. Addison-Wesley 2000, S. 371. (solche mit anderen Koeffizienten werden auch als extended canonical transformations bezeichnet und sind immer als Komposition einer kanonischen Transformation und einer Skalentransformation darstellbar). Für diese gilt:
Andere Transformationen, die auch die kanonische Form der Bewegungsgleichungen invariant lassen (denkbar wären auch solche, die eine neue Hamilton-Funktion einführen, wie es ohnehin im zeitabhängigen Fall geschieht), haben den Nachteil, dass sie sich nicht aus einer erzeugenden Funktion herleiten lassen und wichtige Resultate wie z. B. der Satz von Liouville oder die Invarianz der Poisson-Klammern nicht gelten. Beispielsweise lässt auch die Transformation die kanonischen Gleichungen invariant, wird aber nicht zu den kanonischen Transformationen gezählt.
Poisson-Klammern Die Poisson-Klammer glatter Funktionen und auf dem Phasenraum bzgl. und ist durch
definiert. Die Poisson-Klammern bezüglich alter und neuer Koordinaten stimmen überein, es gilt also
genau dann, wenn die Transformation kanonisch ist (streng genommen, sollten die Funktionen auf der rechten Seite als pushforward aufgefasst werden). Äquivalent ist ebenfalls die folgende Beziehung zwischen den fundamentalen Poisson-Klammern:
,
dabei ist das Kronecker-Delta. Diese Eigenschaft wird auch gelegentlich zur Definition kanonischer Transformationen verwendet.
Erzeugende Funktionen Kanonische Transformationen können durch erzeugende Funktionen (kurz auch Erzeugende) gefunden und konstruiert werden.
Die Transformation ist genau dann kanonisch, wenn
Dabei ist eine glatte Funktion auf dem Phasenraum und ihr Differential. Die Funktionalmatrix der Transformation hat die Gestalt
Von den vier Teilmatrizen können einige singulär sein. Unter ihnen sind jedoch mindestens zwei reguläre, da für die Determinante einer Blockmatrix
gilt. Für das Folgende sei zunächst angenommen, dass gilt. Dann kann substituiert werden und man erhält mit :
Falls , so ist gewiss . Dann kann substituiert werden. Es ist . Das heißt:
Es ergibt sich:
Von den Koordinaten kann für jeden Index eine ausgewählt werden, um zusammen mit den eine Klasse unabhängiger Variablen einer erzeugenden Funktion zu liefern. Demnach gibt es für ein Hamiltonsches System von Freiheitsgraden Klassen erzeugender Funktionen. Sie gehen jeweils durch eine Legendre-Transformation ineinander über.
Auf analoge Weise können erzeugende Funktionen der Klassen und gewählt werden. Die Transformationsregeln für die vier gängigen Klassen erzeugender Funktionen lauten:Herbert Goldstein: Classical Mechanics. Addison-Wesley 2000, S. 373.
Erzeugende Funktion Kanonische Transformation
In der Literatur wird manchmal und manchmal eine der als kanonische Transformation bezeichnet, die beiden Begriffe stimmen für die Klasse überein.
Eine wichtige Eigenschaft erzeugender Funktionen der Klasse ist ihre Additivität bei Hintereinanderausführung kanonischer Transformationen. Gilt etwa
so gilt auch
Satz von Liouville Kanonische Transformationen lassen das Phasenraumvolumen invariant.
Im geometrischen Formalismus wird das Phasenraumvolumen durch die Differentialform beschrieben. Da das Dachprodukt natürlich ist, gilt und der Satz von Liouville ist ohne großen Aufwand bewiesen.
Beispiele Im Folgenden sind einige kanonische Transformationen aufgelistet:
Die identische Transformation ist trivialerweise kanonisch mit der erzeugenden Funktion .
Die Transformation ist nicht kanonisch. Jedoch ist kanonisch.
Punkttransformationen des Konfigurationsraums induzieren kanonische Transformationen, wenn die Impulse gemäß transformiert werden (es handelt sich um das Transformationsverhalten von Kotangentialvektoren). Als erzeugende Funktion kann verwendet werden.
Die Zeitentwicklung induziert eine lokale kanonische Transformation: Es sei fest gewählt (falls die hamiltonschen Gleichungen keinen vollständigen Fluss erzeugen, muss hinreichend klein gewählt werden). Zu sei eine Integralkurve der hamiltonschen Gleichungen mit und es sei . Die Transformation hat die Erzeugende
die Hamiltonsche Prinzipalfunktion oder Wirkungsfunktion.Walter Thirring: Classical Mathematical Physics. Berlin 1901, S. 99.
Lineare Transformationen sind genau dann kanonisch, wenn ihre Matrizen symplektisch sind. Es sei zusammengefasst. Dann ist durch genau dann eine kanonische Transformation gegeben, falls , , wobei die Einheitsmatrix bezeichnet. Symplektische Matrizen haben immer die Determinante 1. Ferner ist genau dann Eigenwert von , wenn Eigenwerte sind, und die entsprechenden Eigenräume sind isomorph.
Kanonische Transformation des eindimensionalen harmonischen Oszillators Kanonische Transformation mit einer erzeugenden Funktion mini|Kanonische Transformation beim harmonischen Oszillator
Beim harmonischen Oszillator mit der Hamilton-Funktion
wird als erzeugende Funktion erster Art
gewählt. Die Transformationsgleichungen lauten
und
Die Variablen und sind die Wirkungs- und Winkelvariable des harmonischen Oszillators.
Einfache Lösung für den harmonischen Oszillator nach kanonischer Transformation Aus den Transformationsgleichungen und folgt unmittelbar
sowie
Setzt man diese Ausdrücke in die Hamilton-Funktion ein, die aufgrund ihrer Zeitunabhängigkeit auch die Gesamtenergie ist, so erhält man
also
Die neue Hamilton-Funktion hängt somit nur noch vom neuen Impuls ab. Deshalb führt man die kanonische Transformation durch. Die neue Koordinate ist zyklisch. Die Hamiltonschen Gleichungen vereinfachen sich zu
Damit sind die Bewegungsgleichungen unmittelbar integrierbar. Der neue Impuls ist mit eine Erhaltungsgröße, während die neue Koordinate mit konstanter Winkelgeschwindigkeit wächst. Dadurch wird die Bewegung des harmonischen Oszillators auf eine gleichförmige Rotation im Phasenraum zurückgeführt:
Die Differenz der kanonischen Einsformen ist vollständiges Differential Für die erzeugende Funktion ergibt sich das vollständige Differential zu
Da sich die Differenz der kanonischen Einsformen als vollständiges Differential schreiben lässt
ist die Transformation kanonisch.
Kanonische Transformation lässt Poincaré-Invariante die kanonische Zweiform invariant Da das vollständige Differential bei einer geschlossenen Integration verschwindet, gilt
und die Poincaré-Invariante bleibt erhalten. Durch äußere Ableitung folgt außerdem mit
also
aufgrund der Antisymmetrie des äußeren Produkts. Die symplektische Zweiform bleibt erhalten. Die Transformation ist daher kanonisch.
Dies lässt sich auch durch das direkte Nachrechnen des äußeren Produkts belegen:
unter Verwendung von , und .
Die Poisson-Klammern erfüllen die kanonische Vertauschungsrelation Um die Poisson-Klammer zu berechnen, müssen die neuen Variablen und als Funktionen der alten Variablen und ausgedrückt werden. Aus folgt
Ferner ergibt sich aus unter Verwendung von die Beziehung
Damit lauten die partiellen Ableitungen
sowie
Die Poisson-Klammer der neuen Variablen ist daher
Die neuen Variablen erfüllen somit die kanonische Vertauschungsrelation: . Die durch die erzeugende Funktion definierte Transformation ist daher eine kanonische Transformation. Damit bleiben auch alle Poisson-Klammern beliebiger Observablen invariant.
Die kanonische Transformation hält die symplektische Matrix invariant Es ist
die symplektische Matrix. Die Transformation ist kanonisch, wenn die Jacobi-Matrix der Transformation
die symplektische Matrix invariant lässt:
Einsetzen der partiellen Ableitungen ergibt
Zunächst ergibt sich
Mit
folgt
Damit ist gezeigt, dass die Transformation die symplektische Matrix invariant lässt.
Globale kanonische Transformationen Der Konfigurationsraum eines mechanischen Systems mit Freiheitsgraden wird durch eine glatte Mannigfaltigkeit modelliert. Die Lagrange-Funktion ist eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten, also eine glatte Funktion auf dem Tangentialbündel . Durch eine Legendre-Transformation wird ein Isomorphismus zwischen dem Tangentialbündel und dem Kotangentialbündel hergestellt gemäß
Dabei wird sich hier und im Folgenden, wenn von Koordinaten gesprochen wird, immer auf Bündelkarten bezogen, das heißt, die Karten sind von der Form
wobei eine Karte von um ist, definiert ist mit einer den Tangentialvektor repräsentierenden Kurve , und mit einem hochgestellten T die duale Abbildung bezeichnet wird. Diese Kartenwahl hat den Vorteil, dass die natürliche Paarung eines Tangential- und eines Kotangentialvektors mit dem euklidischen Skalarprodukt übereinstimmt (hier wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet).