Regelmäßiges IkosaederDatei:120px-Icosahedron-slowturn.gif Art der Seitenflächengleichseitige Dreiecke Anzahl der Flächen20 Anzahl der Ecken12 Anzahl der Kanten30 Schläfli-Symbol{3,5} dual zuDodekaeder Beispiel eines Körpernetzes80px Anzahl verschiedener Netze43380 Anzahl Kanten in einer Ecke5 Anzahl Ecken einer Fläche3 Das Ikosaeder [] (von altgriechisch eikosáedron „Zwanzigflach“, „Zwanzigflächner“) ist ein Polyeder mit zwanzig Seitenflächen. Zu diesen gehören: Pyramide mit einem Neunzehneck als Grundfläche Prisma mit achtzehneckiger Grund- und Deckfläche Das regelmäßige, konvexe Ikosaeder. Von diesen Formen hat nur das regelmäßige konvexe Ikosaeder eine wesentliche Bedeutung. Dieser Artikel behandelt im Folgenden nur das regelmäßige, konvexe Ikosaeder.
Das regelmäßige Ikosaeder ist einer der fünf platonischen Körper. Es besitzt zwanzig kongruente gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen, dreißig gleich lange Kanten und zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Seitenflächen zusammentreffen.
Symmetrie mini|hochkant=0.8|Ikosaeder mit Beispielen der Drehachsen und einer Symmetrieebene (rot)
Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyeder. Es hat: 6 fünfzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken) 10 dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen) 15 zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten) und ist punktsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders).
Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaedergruppe oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente. Die Untergruppe der Drehungen des Ikosaeders hat die Ordnung 60 und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe (, Alternierende Gruppe vom Grad 5). Die Symmetrie des Ikosaeders ist wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).
Struktur des Ikosaeders mini|hochkant=0.8|Rechtecke in einem Ikosaeder
Wie die nebenstehende Abbildung zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind. Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese 6 Kanten in den 6 Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.
Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke, die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.
Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!/2 = 60 geraden Permutationen dieser fünf Positionen.
Die Kanten des Ikosaeders enthalten zwölf ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei und jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke gehört (siehe dazu: Großes Dodekaeder). Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benutzen.
Man kann sich das Ikosaeder auch als Kombination aus einem uniformierten fünfeckigen Antiprisma und aus beidseits je einer aufgesetzten fünfseitigen Pyramide vorstellen.
Formeln Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Ikosaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.
Größen eines Ikosaeders mit Kantenlänge a Volumen 400px ohne Raumwinkel in den Ecken Oberflächeninhalt Umkugelradius Kantenkugelradius Inkugelradius Verhältnis von Volumenzu Umkugelvolumen Innenwinkel desgleichseitigen DreiecksWinkel zwischenbenachbarten FlächenWinkel zwischenKante und Fläche 3D-Kantenwinkel Raumwinkel in den Ecken Sphärizität
Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten Punkte des Ikosaeders mini|hochkant=1.1|Ikosaeder mit seinen 3 goldenen Rechtecken
Die Punkte eines regulären Ikosaeders sind die Ecken dreier sich orthogonal schneidender kongruenter goldener Rechtecke. Sind die Seitenlängen , so lassen sich die 12 Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben: .
Man rechnet nach, dass alle Punkte vom Nullpunkt den Abstand und benachbarte Punkte den Abstand haben. Also liegen alle (gleichseitigen) Dreiecke benachbarter Punkte auf einer Kugel und das Polyeder ist das reguläre Ikosaeder.
Winkel Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Dreiecken bzw. einer Kante mit einem benachbarten Dreieck ist der in dem Bild eingezeichnete Winkel wichtig. Aus der Zeichnung erkennt man, dass mini|hochkant=1.1|Ikosaeder: Koordinaten und Winkel, sowie goldene Rechtecke (dunkelrot)
und damit der Winkel zwischen Seitenflächen
Winkel zwischen einer Kante und einer Seitenfläche
Um/In/Kanten-Kugelradien Aus der Zeichnung erkennt man ferner den Kantenkugelradius Umkugelradius
Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte vom Nullpunkt. Diese Gerade hat die Gleichung
Bestimmt man den Abstand dieser Gerade vom Nullpunkt mit Hilfe der Hesseschen Normalform, so ergibt sich der Inkugelradius . Es ist
Damit ist der Inkugelradius .
Oberfläche, Volumen Die Oberfläche des Ikosaeders ist die Summe der 20 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist . Damit ist die Oberfläche des Ikosaeders: .
Das Volumen des Ikosaeders ist die Summe der Volumina der 20 Pyramiden, die jeweils ein Dreieck als Grundfläche und den Innenkugelradius als Höhe besitzen. Das Volumen einer Pyramide ist und das Volumen des Ikosaeders ist .
Raumwinkel in den Ecken mini|ohne|250px|Raumwinkel mit Einheitskugel mini|ohne|250px|Zur Bestimmung des Raumwinkels Der Raumwinkel in einer Ikosaederecke ist der Flächeninhalt des sphärischen 5-Ecks, das die 5 Kanten durch auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Im Bild wird der Einfachheit halber angenommen, dass ist. Dann geht die Einheitskugel in durch die Nachbarpunkte . Zerlegt man mit Hilfe des Mittelpunkts des sphärischen 5-Ecks das 5-Eck entlang den 5 Kanten in 5 sphärische Dreiecke (eins davon ist ) und bestimmt den Raumwinkel dieses Dreiecks, so ist der gesuchte Raumwinkel . Ist der Winkel zwischen zwei 3-Ecken des Ikosaeders (siehe oben), so sind die Winkel in dem sphärischen Dreieck gleich den Winkeln zwischen den das sphärische Dreieck ausschneidenden Ebenen:
Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ist damit
und der Raumwinkel des Ikosaeders mini|hochkant=0.6|Raumwinkel
Dieser Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel
3D-Kantenwinkel Dieser Winkel, bezeichnet mit (siehe Bild in Formeln), hat seinen Scheitel an einer Ecke des Ikosaeders und entspricht dem Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks. Somit gilt für den 3D-Kantenwinkel des Ikosaeders .
Kartesische Koordinaten Die folgenden kartesischen Koordinaten definieren die Ecken eines am Ursprung zentrierten Ikosaeders mit Kantenlänge 2:
mit (Goldene Zahl). Die Verbindungsstrecke zweier Ecken ist genau dann eine Kante des Ikosaeders, wenn ihr (kanonisches) Skalarprodukt gleich ist. ist z. B. mit , , , , durch Kanten verbunden (beachte: ).
Konstruktion
Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 16, die Konstruktion des Ikosaeders.
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärische Darstellung nur die Schritte, die für das Ikosaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS).
Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich und deren Mittelpunkt . Beim Bestimmen der und Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, entstehen die Punkte und auf der Oberfläche der Umkugel.
Vorab werden die beiden Größen Kantenlänge und der Umkreisradius für zwei konstruktiv erforderliche Fünfecke ermittelt. Auf der verlängerten Achse wird der Punkt festgelegt und anschließend der Kugeldurchmesser mit Mittelpunkt auf einer zur Achse Parallelen projiziert. Mittels einer (nicht eingezeichneten) Hilfskugel mit Radius wird als dritter Punkt für den folgenden Umkreisbogen markiert. Weiter geht es mit der zur Achse parallelen Streckenlänge mithilfe eines (nicht eingezeichneten) Kreisbogens um (Richtung Achse) mit Radius gleich . Verbindet man jetzt mit , wird der Umkreisbogen in geschnitten. Die Verbindung mit liefert die Kantenlänge des Ikosaeders.Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18.Euklid zeigt und , folglich ist auch Das anschließend eingezeichnete rechtwinklige Dreieck mit der Kathete hat eine Hypotenuse , deren Länge gleich dem Umkreisradius eines Fünfecks ist.
Die eigentliche Konstruktion des Ikosaeders beginnt mit dem Übertragen der halben Länge des Umkreisradius auf die Achse. Dies geschieht mittels einer (nicht eingezeichneten) Hilfskugel mit Radius um den Mittelpunkt ; die damit bestimmten Schnittpunkte sind und . Die Verbindung dieser beiden Punkte zur Strecke dient lediglich der Verdeutlichung des Zusammenhangs. Es folgt das Einzeichnen der Umkreise (Richtung Achse) mit Radius um die Punkte und . Eine sich anschließende Parallele zur Achse durch bringt mit dem Schnittpunkt die erste Ecke des Fünfecks. Nun zieht man drei (nicht eingezeichnete) Kreise, beginnend um , mit dem Radius auf die Ebene des Umkreises um ; dabei entsteht das Fünfeck . Eine Parallele zur Achse durch , in entgegengesetzter Richtung bezüglich des Umkreises um , erzeugt den Schnittpunkt . Drei (nicht eingezeichnete) Kreise, beginnend um , mit dem Radius auf die Ebene des Umkreises um , liefern das Fünfeck .
Für die Fertigstellung des Ikosaeders bedarf es jetzt nur noch des Einzeichnens der gleichseitigen Dreiecksflächen mit der Seitenlänge . Sie ergeben sich durch Verbindungen der entsprechenden Eckpunkte, wie das Beispiel Dreieck zeigt.
Beziehungen zu anderen Polyedern mini|Ikosaeder (blau) mit dualem Dodekaeder (grün). Die Mittelpunkte (rot) der regelmäßigen Dreiecke sind die Ecken des Dodekaeders.|links mini|200x200px|Fußball – ein Ikosaederstumpf mit Fünfecken und Sechsecken
Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.
Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
das abgestumpfte Ikosaeder (Fußballkörper) mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (siehe archimedische Körper, Fullerene). Es entsteht aus dem Ikosaeder, indem die Ecken senkrecht zu den Verbindungsgeraden der Ecken mit dem Mittelpunkt gekappt werden, wobei regelmäßige Fünfecke als Schnittflächen auftreten und die Dreiecke zu Sechsecken mutieren. Bei bestimmter Schnitthöhe sind die Sechsecke regelmäßig.Mathematische Basteleien – Fußball: Abgestumpftes Ikosaeder.
das Ikosidodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken das abgestumpfte Dodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken als Durchschnitte eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder (siehe archimedische Körper) ein Rhombentriakontaeder mit 20 + 12 = 32 Ecken und 30 Rauten als Flächen als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder und einen Ikosaederstern, indem sämtliche Kanten eines Ikosaeders über seine Ecken hinaus verlängert werden, bis sich jeweils drei von ihnen in einem Punkt schneiden.
Geodätische Kuppeln mini|hochkant=1.3|Geodätische Kuppeln