Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe entsteht durch die Summierung einer arithmetischen Folge. Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.
Definition Ist eine arithmetische Folge, so ist die Folge der Partialsummen mit
eine arithmetische Reihe.
Berechnung Für die Glieder einer arithmetischen Folge gilt die explizite Formel . Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man .
Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für gewinnen:
Bei Kenntnis von und lässt sich berechnen als .Diese Formel erhält man zum Beispiel, indem man schreibt und auf die zweite Summe die Gaußsche Summenformel anwendet.
Bei Kenntnis von und lässt sich berechnen als .Diese Formel erhält man aus der ersten Formel: . Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.
Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.
Spezielle Summen
Für die Summe der ersten natürlichen Zahlen gilt die Gaußsche Summenformel
und für die Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen gilt
.
Arithmetische Reihen höherer Ordnung Die Definition einer arithmetischen Reihe lässt sich mithilfe von arithmetischen Folgen höherer Ordnung verallgemeinern. Eine Reihe heißt demnach arithmetische Reihe höherer Ordnung, wenn sie durch Summierung einer arithmetischen Folge höherer Ordnung entsteht.
Berechnung Formeln zur Berechnung von Gliedern arithmetischen Reihen allgemeiner Ordnung:
Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel:
.
Dabei bezeichnet die -te Bernoulli-Zahl.
Siehe auch
Arithmetische Folge Geometrische Reihe Differenzenfolge
Weblinks
Anmerkungen
Einzelnachweise
Kategorie:Folgen und Reihen