Steifigkeit

Die Steifigkeit ist eine Größe der Technischen Mechanik. Sie beschreibt die elastische Verformung eines Körpers durch eine äußere Belastung (eine Kraft oder ein Drehmoment) und seinen Widerstand dagegen.Steifigkeit, in: Deutsche Enzyklopädie. , abgerufen am 18. November 2021. Der Kehrwert der Steifigkeit wird als Nachgiebigkeit bezeichnet.

Zu unterscheiden ist die Steifigkeit eines Materials, die an einem standardisierten Prüfkörper gemessen wird → siehe Werkstoffsteifigkeit und die Steifigkeit eines Bauteils, die neben dem verwendeten Werkstoff vornehmlich auch von der Geometrie des betrachteten Objekts sowie der Art der Beanspruchung abhängt → siehe Profilsteifigkeit und → sonstige Bauteilsteifigkeiten.

Je nach Art der Beanspruchung werden weiterhin die Dehn-, Schub-, Biege- und Torsionssteifigkeit unterschieden, nach Art des Bauteils u. a. die Platten- und die Federsteifigkeit.

Die Steifigkeit eines Bauteils kann durch eine Versteifung erhöht werden, beispielsweise durch Modifikation des Werkstoffs, Verbundwerkstoffe und -konstruktionen sowie konstruktive bzw. strukturelle Verstärkungen wie Streben oder andere aussteifende Elemente.Manfred Neitzel, Peter Mitschang, Ulf Breuer: Handbuch Verbundwerkstoffe. 2. Aufl., Carl Hanser Verlag, München 2014.

Werkstoffsteifigkeit

Die Werkstoffsteifigkeit, definiert als Verhältnis der wirkenden Spannung zur zugehörigen Dehnung, ist eine werkstoffmechanische Eigenschaft. Sie dient mit ihren Kennwerten auch der Charakterisierung der Werkstoffe, speziell auch mittels der spezifischen Steifigkeit, und wird in der Werkstoffprüfung ermittelt.Wolfgang W. Seidel, Frank Hahn: Werkstofftechnik. Werkstoffe – Eigenschaften – Prüfung – Anwendung. 11. Aufl. Carl Hanser Verlag, München 2018. ISBN 978-3-446-45415-6. Die Werkstoffsteifigkeit zeigt sich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm als Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die mathematische Darstellung der Werkstoffsteifigkeit wird als mechanisches Materialmodell oder Stoffgesetz bezeichnet.

Typische Kennwerte der Werkstoffsteifigkeit sind der Elastizitäts- und der Schubmodul bzw. mit der Dimension Kraft pro Flächeneinheit wie auch die dimensionslose Poissonzahl . In der Kontinuumsmechanik des isotropen linearelastischen Körpers werden häufig auch die beiden Lamé-Konstanten und als Steifigkeitskennwerte verwendet. Die vollständige elastizitätstheoretische Beschreibung der Steifigkeit erfordert bei isotropem Werkstoffverhalten zwei, bei Monotropie fünf, bei Orthotropie neun und bei allgemeiner Anisotropie 21 voneinander unabhängige Kennwerte.Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. 4. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2018. ISBN 978-3-662-57503-1. Diese können in Matrizenform bzw. als Steifigkeitstensor dargestellt werden, wie dies bei numerischen Berechnungen wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) der Fall ist. Bei linearer Elastizität sind diese Kenngrößen Konstanten. Bei nichtlinearem Verhalten sind sie Funktionen der Spannung bzw. der Dehnung. Bei viskoelastischem Verhalten sind die Steifigkeitskennwerte zeitabhängig, wie z. B. der Kriechmodul. Die Werkstoffsteifigkeit hängt bei praktisch allen Konstruktionsmaterialien mehr oder weniger stark von den Einsatzbedingungen ab, vor allem von der Temperatur, und teilweise, wie bei gewissen Kunststoffen, auch von der Feuchtigkeit. Wolfgang Kaiser: Kunststoffchemie für Ingenieure. 5. Aufl. Carl Hanser Verlag, München 2021. ISBN 978-3-446-45191-9. .

Bei inhomogenen Strukturen ist die Werkstoffsteifigkeit im Querschnitt ungleich verteilt. Für die Bauteilberechnung werden aber häufig Mittelwerte oder integrale Ersatzgrößen gebildet. Diese hängen von den beteiligten Werkstoffen, deren Verteilung über den Querschnitt und von der Beanspruchungsart ab.

Die Werkstoffsteifigkeit ist mit der Dichte mitbestimmend für die Schallgeschwindigkeit , mit der sich Wellen in Festkörpern ausbreiten. Für die Longitudinalwelle im elastischen Stab mit dem Elastizitätsmodul z. B. gilt .

Profilsteifigkeit Die Steifigkeit der einzelnen Bauteilquerschnitte unterscheidet sich nach den vier Beanspruchungsarten Zug bzw. Druck, Schub, Biegung und Torsion. Sie ist bestimmt durch die örtliche Querschnittsgeometrie und die lokale Werkstoffsteifigkeit bzw. deren Verteilung über den Querschnitt. In den meisten Fällen ist die Werkstoffsteifigkeit über der ganzen Querschnittsfläche konstant. Eine inhomogen-diskrete Verteilung der Werkstoffsteifigkeit liegt z. B. bei Laminaten oder SandwichstrukturenHoward G. Allen: Analysis and Design of Structural Sandwich Panels. Pergamon Press, Oxford 1969.Frederic J. Plantema: Sandwich Construction. John Wiley & Sons, New York 1966.Andreas Öchsner: Stoff- und Formleichtbau. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2020. Kap. 5: Sandwichelemente. ISBN 978-3-658-30713-4. vor. Bei Integral- oder Strukturschaumstoffen ist die Steifigkeitsverteilung im Querschnitt inhomogen-kontinuierlich, so dass die resultierende Steifigkeit durch eine Integralfunktion beschrieben werden kannWolfgang Müller, Lothar Starke: Modelle zur Berechnung des Elastizitätsmoduls und der Biegesteifigkeit von thermoplastischen Strukturschaumstoffen. In: Plaste und Kautschuk 31(1984)4, S. 348–351.Johannes Kunz: Ein Steifigkeitsmodell für Strukturschaumstoffe. In: Konstruktion 75(2023)1-2, S. 60–64.. Diese beanspruchungsspezifischen Querschnittsteifigkeiten sind erforderlich für analytische Berechnungen.

Dehnsteifigkeit mini|hochkant=1.3|Dehnsteifigkeit Die Dehnsteifigkeit , auch Zug/Druck-Steifigkeit genannt, beschreibt den Widerstand eines einachsig auf Zug oder Druck beanspruchten Bauteils im Querschnitt gegen eine Längsverformung. Sie ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden Normalkraft zur von ihr hervorgerufenen Dehnung . Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in oder angegeben:

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen: Homogene Querschnitte mit :

Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Elastizitätsmoduls über die eben bleibende Querschnittsfläche :

Diskrete Verteilung des Elastizit$tsmoduls über die Querschnittsfläche mit Schichten bzw. Bereichen und je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln :

Schubsteifigkeit mini|hochkant=1.3|Schubsteifigkeit Die Schubsteifigkeit ist der Widerstand eines auf Schub beanspruchten Bauteils im Querschnitt gegen eine Schubverformung. Sie ist bei Balken unter Querkraftbiegung relevant. Die Schubsteifigkeit ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden Querkraft zum von ihr hervorgerufenen, über den verwölbten Querschnitt gemittelten Schubwinkel . Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in oder angegeben:

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen: Homogene Querschnitte mit :

Hierin sind die SchubverteilungszahlHans Winkel, Kurt Lachmann: Die Schub- oder Scherfestigkeit. In: Kurt Lachmann: Festigkeitslehre für Ingenieure. Springer Verlag Berlin 1927, u. a. auch Schubkoeffizient genannt, und die sog. Schubfläche. Die Schubverteilungszahl berücksichtigt den Einfluss der Schubspannungsverteilung in der beanspruchten Querschnittsfläche auf die Schubsteifigkeit und die Schubverformung. Sie ist analytisch ableitbar und kann für gegebene Querschnittsformen berechnet werden.Carlo Alberto Castigliano: Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. A.F. Negro Turin 2879, S. 146–174.Carl von Bach: Elasticität und Festigkeit. 4. Aufl. Verlag Julius Springer, Berlin 1902, S. 448–458.Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik. 10. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 4.2: Querkraftschub in einfach geschlossenen Querschnitten. .Johannes Kunz: Zur Schubbeanspruchung bei Querkraftbiegung. In: Konstruktion 77(2025)7-8; S. 32–36.

Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Schubmoduls über die sich verwölbende Querschnittsfläche :

Diskrete Verteilung des Schubmoduls über die Querschnittsfläche mit zur Querkraft senkrechten Schichten und je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln :

Bei inhomogenen Querschnittsstrukturen bezieht sich die Schubverteilungszahl auf den Gesamtquerschnitt. Sie hängt auch von der Verteilung des Schubmoduls über die Querschnittsfläche ab.Johannes Kunz: Zur Schubsteifigkeit von Schichtverbundkonstruktionen. In: Konstruktion 78(2026)3; S. 35–39.

Biegesteifigkeit mini|hochkant=1.3|Biegesteifigkeit Die Biegesteifigkeit kennzeichnet den Widerstand eines auf Biegung beanspruchten Bauteils im eben bleibenden Querschnitt gegen eine Krümmung um die Biegeachse. Sie ist bestimmt durch das Verhältnis des beanspruchenden Biegemoments zur von ihm hervorgerufenen Krümmung mit als lokalem Krümmungsradius:

Die Biegesteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in oder angegeben.

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen: Homogene Querschnitte mit und als axialem Flächenträgheitsmoment des Querschnitts bezüglich der Biegeachse :

Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Elastizitätsmoduls über die eben bleibende Querschnittsfläche :

Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls über Schichten bzw. Bereiche mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln und den Teil-Flächenträgheitsmomenten bezüglich der gemeinsamen Biegeachse :

Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten Mit wachsender Breite der Querschnittsfläche wird die Querkontraktion in dieser Richtung zunehmend behindert, was die Biegesteifigkeit erhöht.Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik. 10. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 3.7.5: Der breite Stab - Einfluss der Querkontraktion. . Bei gänzlicher Verhinderung der Querkontraktion führt dies mit der Poissonzahl zur Beziehung

Im Extremfall der Inkompressibilität mit ergibt dies eine Steifigkeitszunahme um den Faktor 4/3, d. h. 33 %.

Plattensteifigkeit Die Biegesteifigkeit ebener Flächentragwerke von vergleichsweise geringer Dicke , sog. Platten, entspricht im Wesentlichen der Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten, jedoch bezogen auf die Einheit der Breite . Somit ist die Plattensteifigkeit bei Rechteckquerschnitt und konstantem Elastizitätsmodul

Biegesteifigkeit eben gekrümmter Bauteile Die Biegesteifigkeit von Bauteilen mit zur Biegeebene symmetrischer Querschnittsfläche, und deren Längsachse in der Biegeebene im unverformten Zustand mit dem Radius gekrümmt ist („gekrümmter Träger“), erfährt durch diese Krümmung eine Erhöhung.Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik. 10. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 3.5: Biegung eben gekrümmter, symmetrischer Stäbe. . Es gilt:

Die versteifende Wirkung kann in Abhängigkeit von Krümmung und Querschnittsgeometrie bis zu 30 % betragen. Bei konstantem Elastizitätsmodul zeigt sie sich in der Beziehung:

Die Querschnittsgröße kann für einfache geometrische Flächen berechnet werden.

Torsionssteifigkeit mini|hochkant=1.3|Torsionssteifigkeit Die Torsionssteifigkeit, auch als Verdrehsteifigkeit bezeichnet, ist der Widerstand eines auf Torsion beanspruchten Bauteils im Querschnitt gegen eine Verwindung um die Längsachse. Sie ist definiert als Verhältnis des beanspruchenden Torsionsmoments zum von ihm hervorgerufenen Verwindungswinkel pro Längeneinheit:

Die Torsionssteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in oder angegeben.

Allgemeine Querschnittsformen Die Torsionssteifigkeit homogener Querschnitte beliebiger Geometrie ist bestimmt als Produkt aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment des Querschnitts: