Die sphärische Trigonometrie ist ein Teilgebiet der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie). Sie befasst sich hauptsächlich mit der Berechnung von Seitenlängen und Winkeln in Kugeldreiecken, welche auch als sphärische Dreiecke bezeichnet werden.
Wichtige Anwendungsbereiche sind: Entfernungs-, Richtungs- und Flächenberechnungen auf der Erdoberfläche aus gegebenen geografischen Koordinaten in der Geodäsie Ermittlung der momentanen Position eines Gestirns an der gedachten Himmelskugel mit Hilfe des nautischen Dreiecks Bestimmung genauer Sternörter und Bezugssysteme in der Astrometrie Verebnung und Näherungsmethoden für Berechnungen auf dem Erdellipsoid.
Historischer Hintergrund
Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie sie nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, diese wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen.
Die älteste Schrift über Sphärik stammt aus dieser Zeit: Sie enthält Sätze über Kugelkreise; ihr Autor ist der Grieche Autolykos von Pitane. Hipparchos von Nicäa fand um 140 v. Chr. sowohl rechnerische als auch grafische Methoden, um Sternkarten anzulegen und neue Berechnungen durchzuführen. Menelaos von Alexandria fand dann 98 v. Chr. den Satz über die Winkelsumme im Kugeldreieck und übertrug erstmals Formeln des ebenen Dreiecks auf Kugeldreiecke.
Ptolemäus von Alexandria fand zwischen 125 und 150 n. Chr. die Methoden zur Berechnung rechtwinkliger und schiefwinkliger Dreiecke. Aus Indien stammen die ersten Ansätze zum Kosinussatz. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickelten arabische Mathematiker die sphärische Trigonometrie fort, erwähnenswert sind Al-Battani (um 900 n. Chr.) und Nasir Eddin Tusi (um 1250 n. Chr.), die zum ersten Mal den Sinussatz und das Polardreieck in mathematische Überlegungen miteinbezogen. Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert, da die Ortsbestimmung auf See verbessert werden sollte, unter anderem bei der Schaffung neuer Seewege nach Indien. Johannes Müller erweiterte das Wissen aus der griechischen, indischen und arabischen Zeit mit der Tangensfunktion und dem Seitenkosinussatz.
Vieta fand im 16. Jahrhundert über das Polardreieck den Winkelkosinussatz. John Napier (Neper, 1550–1617) brachte die trigonometrischen Sätze in leichter anwendbare Formen (z. B. die Neper-Regel). Leonhard Euler (1707–1783) fasste schließlich die Sätze der sphärischen Trigonometrie in der heutigen, übersichtlichen Form zusammen.
Außer Euler haben zahlreiche andere Mathematiker die Sphärik weiter ausgebaut und viele neue Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Kugeldreiecks aufgestellt, darunter Simon L’Huilier (1750–1840), Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749–1822), Carl Friedrich Gauß (1777–1855), Adrien-Marie Legendre (1752–1833) und David Hilbert (1862–1943).
Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden viele neue Methoden und Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt, beispielsweise in der Landesvermessung und der Kartografie. Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere Nichteuklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.Zum historischen Hintergrund vgl. Kern/Rung 1986, S. 120–125.
Kugeldreieck
Verbindet man drei nicht alle auf einem Großkreis liegende Punkte der Kugeloberfläche durch drei Großkreise, die jeweils durch zwei dieser Punkte gehen, so erhält man acht Kugeldreiecke und sechs Schnittpunkte, nämlich die Endpunkte von drei Kugeldurchmessern. Diese Punkte sind also die Ecken und die Bögen die Seiten der Kugeldreiecke.
Die Länge einer Dreiecksseite ist definiert als die Größe des zugehörigen Mittelpunktswinkels, also des Winkels, der durch den ersten Seitenendpunkt, den Kugelmittelpunkt und den zweiten Seitenendpunkt festgelegt ist. Zum Beispiel hat ein Großkreisbogen, der ein Viertel des kompletten Großkreises ausmacht, die Länge 90° beziehungsweise (im Bogenmaß) .
Ein Winkel des Kugeldreiecks entspricht dem Winkel, der von den beiden Tangenten im Scheitel eingeschlossen wird, der gleich dem Winkel zwischen den Ebenen der beteiligten Großkreise ist.
Im Folgenden wird ein solches Dreieck behandelt, die Winkel , und liegen in den jeweiligen Eckpunkten des Dreiecks , alle Winkel werden im Bogenmaß erklärt. Zur Definition der Seiten und Flächen siehe sphärische Geometrie.
Rechtwinkliges Kugeldreieck
Im rechtwinkligen Kugeldreieck (ein Winkel beträgt also 90°) können meist die Formeln für euklidische Dreiecke in leicht abgewandelter Form angewandt werden.
Formeln für das rechtwinklige Kugeldreieck Vorausgesetzt wird ein Kugeldreieck mit .
Für dieses gelten folgende Formeln: mini|300px|Rechtwinkliges Kugeldreieck
Die erste dieser Gesetzmäßigkeiten ersetzt den Satz des Pythagoras der ebenen Geometrie.
mini|Veranschaulichung der Neperschen Regel All diese Formeln für rechtwinklige Kugeldreiecke sind zusammengefasst in der Neper-Regel (John Neper 1550–1617): Ordnet man die Stücke eines Kugeldreiecks nebeneinander auf einem Kreis an, streicht man den rechten Winkel weg und schreibt man für die Katheten die Komplemente, so gilt: Der Kosinus eines Stückes ist gleich dem Produkt der Kotangens der anliegenden Stücke oder gleich dem Produkt der Sinus der gegenüberliegenden Stücke.
Formeln für das rechtsseitige Kugeldreieck
In einem rechtsseitigen Kugeldreieck ist eine Seite 90° lang. In den folgenden Formeln wird vorausgesetzt.
Diese Formeln ergeben sich ebenfalls aus der oben genannten Neper-Regel: Der Kosinus eines Stückes ist gleich dem Produkt der Kotangens der anliegenden Stücke oder gleich dem Produkt der Sinus der gegenüberliegenden Stücke. Aus den in Kreisform angeordneten Stücken streicht man die 90°-Seite und ersetzt die ihr anliegenden Winkel durch ihre Komplementwinkel, den ihr gegenüberliegenden Winkel durch seinen Supplementwinkel.
Sätze für das allgemeine Kugeldreieck
Für alle Formeln gilt: Kugelradius Halbumfang Halber Exzess
Winkelsumme Für die Winkelsumme eines sphärischen eulerschen Dreiecks gilt
,
wobei die Fläche des Dreiecks ist. Die Winkelsumme eines Kugeldreiecks auf der Einheitskugel schwankt also je nach Größe des Dreiecks zwischen und , was 180° bis 540° entspricht. Bei nicht Eulerschen Dreiecken kann die Winkelsumme bis zu bzw. 900° betragen.
Sinussatz
„In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. Dieses Verhältnis heißt Modulus des Dreiecks.“ (Hammer 1916, S. 447)
Seiten-Kosinussatz
Winkel-Kosinussatz
Sinus-Kosinus-Satz
Tangenssatz
Kotangenssatz (Kotangentensatz)
Nepersche Gleichungen
Delambresche (auch Mollweidsche oder Gaußsche) Gleichungen
Halbwinkelsatz
Wobei : Inkreisradius
Halbseitensatz
wobei
: Umkreisradius
L’Huiliersche Formel
Flächeninhalt
Der Raumwinkel ergibt sich aus dem sogenannten sphärischen Exzess:
.
Die absolute Fläche beträgt also:
.
Sphärische und ebene Trigonometrie Bei Kugeldreiecken, die nur einen kleinen Teil der Kugeloberfläche einnehmen, ist die Krümmung weitgehend vernachlässigbar und die Sätze der sphärischen Trigonometrie gehen in die Sätze der ebenen Trigonometrie über: Der für rechtwinkelige Kugeldreiecke gültige Satz entspricht dem Satz von Pythagoras (vgl. oben). Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie geht wegen in den Sinussatz der ebenen Trigonometrie über. Der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie geht in den Kosinussatz der ebenen Trigonometrie über. Der Winkel-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie geht in den Satz von der Winkelsumme für ebene Dreiecke über. Zur Verebnung der Kugeldreiecke siehe Satz von Legendre.
Anwendungen Geowissenschaften Siehe Höhere Geodäsie, Mathematische Geografie und Kartenprojektion.
Astronomie Siehe astronomische Koordinatensysteme.
Grundlagen Der Himmelsäquator wird vom Erdäquator aus projiziert und die Erdachse wird zur Weltachse verlängert. Auf diese Weise erzeugt man ein Koordinatensystem für den Himmel von der Erde aus. Als Zenit bezeichnet man jenen Punkt, der sich am Himmel genau über dem Beobachter befindet. Nadir ist der Name des Gegenpunktes zum Zenit auf der Himmelskugel. Der Beobachter befindet sich auf einem Punkt auf der Erdoberfläche. Die Erde wird als Kugel angenommen, welche von der Himmelskugel umgeben ist. Bei den Berechnungen geht man davon aus, dass man vom Beobachtungsort aus die halbe Himmelskugel sehen kann, also bis zum wahren Horizont. Der wahre Horizont ist eine Ebene, die beide Kugeln halbiert, wobei ihr Normalenvektor vom Erdmittelpunkt aus zum Zenit zeigt. Der Beobachter befindet sich aber nicht im Erdmittelpunkt, sondern auf der Oberfläche, und sein scheinbarer Horizont wird durch eine Tangentialebene an die Erdkugel, welche durch seine Position geht, beschrieben. Auf Grund des Faktums, dass die Sterne im Verhältnis zum Erdradius praktisch unendlich weit entfernt sind, sind der scheinbare und der wahre Horizont praktisch identisch. Der Himmelsmeridian geht durch den Zenit und beide Pole. Alle Sterne am Himmel beschreiben durch die Drehung der Erdachse Kreisbahnen. Dabei legt jeder Stern pro Sterntag 360° horizontal gemessen zurück. Es existiert das Phänomen der Zirkumpolarsterne, die von einem Beobachtungsort aus immer sichtbar sind. Sie befinden sich nahe dem Himmelspol. Die Größe des Zirkumpolarbereiches vom Pol weg gemessen entspricht dem Breitengrad des Beobachters. An einem Pol gibt es daher nur Zirkumpolarsterne, welche sich auf Bahnen parallel zum Äquator bewegen. Am Äquator sieht man keine Zirkumpolarsterne, und die Tagbögen aller Sterne sind dort Halbkreise. Als Tagbogen wird der Bogen bezeichnet, den ein Stern vom Aufgangs- bis zum Untergangspunkt beschreibt. Der Schnittpunkt des Tagbogens mit dem Meridian ist der Höchstpunkt des Sternes und wird auch als oberer Kulminationspunkt bezeichnet. Zirkumpolarsterne haben auch einen tiefsten Punkt am Tagbogen, welcher unterer Kulminationspunkt genannt wird.
Koordinatensysteme Horizontsystem
Der Grundkreis liegt in der Ebene des Beobachters. Die Höhe auf der Himmelskugel wird in Grad gemessen. Der Horizont liegt auf 0°, der Zenit auf 90° und der Nadir auf −90°. Häufig wird anstelle der Höhe auch die Zenitdistanz verwendet, welche sich aus 90° minus Höhe ergibt. Als Nullpunkt wird der Südpunkt gewählt und von dort aus kann der zweite Positionswinkel, das Azimut, gemessen werden. Das Azimut ist der Winkel zwischen dem Himmelsmeridian und der Vertikalebene des Gestirns. Man misst das Azimut im Uhrzeigersinn von 0 bis 360°. Die Polhöhe an einem Ort ist gleich der geografischen Breite. Auf der Nordhalbkugel erleichtert der Polarstern die Messung. Der Vorteil des Horizontsystems ist, dass man die Höhe eines Objektes auch dann messen kann, wenn man den Horizont nicht genau bestimmen kann. Denn die Richtung zum Zenit stimmt mit der Richtung der Schwerkraft überein. Zwei früher sehr gebräuchliche Messinstrumente machen sich die Eigenschaften des Horizontsystems zu Nutze: der Theodolit und der Sextant.
Äquatorsystem