Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist in der Stochastik ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird auch Gauß-Funktion, gaußsche Normalverteilung, gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, gaußsche Glockenkurve, gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. Sie hat die Form
mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung .
Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.
In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, um die Streuung von Messwerten zu beschreiben. Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom Erwartungswert lassen sich durch die Normalverteilung in guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).
Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:
zufällige Streuung von Messwerten, zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken, Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.
Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden. Die Standardabweichung gibt ihre Breite an.
Geschichte Im Jahre 1733 zeigte Abraham de Moivre in seiner Schrift The Doctrine of Chances im Zusammenhang mit seinen Arbeiten am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen eine Abschätzung des Binomialkoeffizienten, die als Vorform der Normalverteilung gedeutet werden kann.
Die für die Normierung der Normalverteilungsdichte zur Wahrscheinlichkeitsdichte notwendige Berechnung des nicht elementaren Integrals
gelang Pierre-Simon Laplace im Jahr 1782 (nach anderen Quellen Poisson).
Im Jahr 1809 publizierte Gauß sein Werk Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium ( Theorie der Bewegung der in Kegelschnitten sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper), das neben der Methode der kleinsten Quadrate und der Maximum-Likelihood-Schätzung die Normalverteilung definiert. Wiederum Laplace war es, der 1810 den Satz vom zentralen Grenzwert bewies, der die Grundlage der theoretischen Bedeutung der Normalverteilung darstellt und de Moivres Arbeit am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen abschloss.
Adolphe Quetelet erkannte schließlich bei Untersuchungen des Brustumfangs von mehreren tausend Soldaten im Jahr 1845 eine verblüffende Übereinstimmung mit der Normalverteilung und brachte die Normalverteilung in die angewandte Statistik.
Zunächst wurde die Normalverteilung als Fehlergesetz (Law of Error) oder Fehlerkurve (error curve) bezeichnet. Die erste unzweideutige Verwendung der Bezeichnung „Normalverteilung“ für die Verteilung mit der Formulierung „Normal Curve of Distribution“ wird Francis Galton (1889) zugeschrieben. Der Wissenschaftshistoriker Stephen M. Stigler identifizierte drei frühere – vermutlich voneinander unabhängige – Verwendungen des Wortes normal im Zusammenhang mit der später Normalverteilung genannten Verteilung durch Charles S. Peirce (1873), Francis Galton (1877) und Wilhelm Lexis (1877), dabei werden eher die beobachteten Werte oder Teile der beobachteten Werte als „normal“ bezeichnet.
Definition Eine Zufallsvariable hat eine Normalverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung bzw. Varianz , wobei , oft geschrieben als , wenn die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte hat:Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 47.
.
Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Normalverteilung ist, heißt normalverteilt. Eine normalverteilte Zufallsvariable heißt auch gaußsche Zufallsvariable.
Eine Normalverteilung mit den Parametern und heißt Standardnormalverteilung, standardisierte Normalverteilung oder normierte Normalverteilung. Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Standardnormalverteilung ist, heißt standardnormalverteilt. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion , siehe auch Fehlerintegral.
Zur mehrdimensionalen Verallgemeinerung siehe Mehrdimensionale Normalverteilung.
Alternative Definition
Alternativ lässt sich die Normalverteilung auch über ihre charakteristische Funktion definieren:
Diese Definition erweitert die obige Definition zusätzlich um den Fall .
Eigenschaften Erwartungswert und Varianz Ist , dann gilt für den Erwartungswert
und für die Varianz
.
Insbesondere ist der Erwartungswert der Standardnormalverteilung , denn für gilt
da der Integrand integrierbar und punktsymmetrisch ist.
Standardisierung Eine Zufallsvariable wird durch Standardisierung in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable überführt.
Verteilungsfunktion Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable ist nicht elementar integrierbar, sodass Wahrscheinlichkeiten numerisch berechnet werden müssen. Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer Standardnormalverteilungstabelle berechnet werden, die eine Standardform verwendet. Dabei bedient man sich der Tatsache, dass die lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariablen zu einer neuen Zufallsvariable führt, die ebenfalls normalverteilt ist. Konkret heißt das, wenn und , wobei und Konstanten sind mit , dann gilt . Damit bilden Normalverteilungen eine Lage-Skalen-Familie.
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist durch
gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisierung im Intervall hat, ist damit .
Wenn man durch die Substitution statt eine neue Integrationsvariable einführt, ergibt sich mit und (gemäß dem oben angeführten Linearitätskriterium)
Dabei ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
Mit der Fehlerfunktion lässt sich darstellen als
Potenzreihendarstellung der Dichtefunktion Für die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung erhält man die Potenzreihendarstellung durch Einsetzen und der Verkettung der zwei ganzen Funktionen und .
.
Potenzreihendarstellung der Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion lässt sich als Potenzreihe darstellen:
.
Zur numerischen Berechnung greift man gewöhnlich auf andere, angepasste Formeln zurück.
Funktionsgraph Der Graph der Dichtefunktion bildet eine Gaußsche Glockenkurve und ist achsensymmetrisch mit dem Parameter als Symmetriezentrum, der auch den Erwartungswert, den Median und den Modus der Verteilung darstellt. Vom zweiten Parameter hängen Höhe und Breite der Wahrscheinlichkeitsdichte ab, die Wendepunkte liegen bei .
Der Graph der Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt Für gilt insbesondere und für alle .
Als Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Gesamtfläche unter der Kurve gleich . Dass jede Normalverteilung normiert ist, ergibt sich über die lineare Substitution : . Für die Normiertheit des letzteren Integrals siehe Fehlerintegral.
Momenterzeugende Funktion und höhere Momente Die momenterzeugende Funktion der -verteilten Normalverteilung lautet
. Nach dem stochastischen Moment 1. Ordnung, dem Erwartungswert, und dem zentralen Moment 2. Ordnung, der Varianz, ist die Schiefe das zentrale Moment 3. Ordnung. Es hat unabhängig von den Parametern und immer den Wert . Die Wölbung als zentrales Moment 4. Ordnung ist ebenfalls von und unabhängig und ist gleich . Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Dabei wird die Wölbung der Normalverteilung auf normiert (Subtraktion von 3); diese Größe wird als Exzess bezeichnet.
Die ersten Momente wie sind folgt: Ordnung Moment zentrales Moment 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Alle zentralen Momente lassen sich durch die Standardabweichung darstellen:
dabei wurde die Doppelfakultät verwendet:
Auch für kann eine Formel für nicht-zentrale Momente angegeben werden. Dafür transformiert man und wendet den binomischen Lehrsatz an.
Die mittlere absolute Abweichung ist und der Interquartilsabstand .
Standardabweichung mini|hochkant=1.4|Intervalle um bei der Normalverteilung Aus der Standardnormalverteilungstabelle ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr 68,3 % der Realisierungen im Intervall , 95,4 % im Intervall und 99,7 % im Intervall liegen. Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. So wird beispielsweise oft als die halbe Breite des Intervalls angenommen, das die mittleren zwei Drittel der Werte in einer Stichprobe umfasst.
Realisierungen außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung gelten oft als verdächtig, Ausreißer zu sein. Sie können ein Hinweis auf grobe Fehler der Datenerfassung oder auch auf das Nichtvorhandensein einer Normalverteilung sein. Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20. Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 370. Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung, ohne dass es sich dabei um Ausreißer handelt.
mini|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen von mini|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen von Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt, ist genau so groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt, es gilt also . Es gilt
Die letzte Gleichung gilt, da die standardisierte Zufallsvariable standardnormalverteilt ist. Damit können bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen für Normalverteilungen mit beliebigen Parametern und auf die Standardnormalverteilung zurückgeführt werden.
Die Wahrscheinlichkeit kann alternativ durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung oder durch die Fehlerfunktion ausgedrückt werden: Es gilt
Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null ist. Umgekehrt ist zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit die Stelle , für die gilt, durch
gegeben.
+ Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable 0 0 % 100 % 0,39894 0,674490 50 % 50 % 0,31778 1 68,268 9492 % 31,731 0508 % 0,24197 1,17741(Halbwertsbreite)76,096 8106 %23,903 1891 % 0,19947 1,644854 90 % 10 % 0,10314 2 95,449 9736 % 4,550 0264 % 0,053991 2,575829 99 % 1 % 0,014368 3 99,730 0204 % 0,269 9796 % 0,0044318 3,290527 99,9 % 0,1 % 0,0017772 3,890592 99,99 % 0,01 % 0,00020607 4 99,993 666 % 0,006 334 % 0,00013383 4,417173 99,999 % 0,001 % 2,3124·10⁻⁵ 4,891638 99,9999 % 0,0001 % 2,5409·10⁻⁶ 5 99,999 942 6697 % 0,000 057 3303 % 1,4867·10⁻⁶ 5,326724 99,999 99 % 0,000 01 % 2,7515·10⁻⁷ 5,730729 99,999 999 % 0,000 001 % 2,948·10⁻⁸ 6 99,999 999 8027 % 0,000 000 1973 % 6,0759·10⁻⁹
Halbwertsbreite Der Wert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung fällt auf die Hälfte des Maximums, wenn , also bei . Die Halbwertsbreite ist damit das fache der Standardabweichung.
Variationskoeffizient Aus Erwartungswert und Standardabweichung der -Verteilung erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
Kumulanten Die kumulantenerzeugende Funktion ist
Damit ist die erste Kumulante , die zweite ist und alle weiteren Kumulanten verschwinden.
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist .
Für eine Zufallsvariable erhält man daraus mit :
.
Invarianz gegenüber Faltung