mini|225px|Von einem Punkt ausgehende Wellenfronten. Im unteren Medium breiten sich die Wellenfronten langsamer aus. Das ändert den Normalenvektor der Wellenfront, was einer Brechung eines Lichtstrahls entspricht.
Der Brechungsindex, auch Brechzahl oder optische Dichte, seltener refraktiver Index, früher auch Brechungszahl genannt, ist eine optische Materialeigenschaft. Er ist das dimensionslose Verhältnis der Wellenlänge des Lichts im Vakuum zur Wellenlänge im Material, und damit auch der Phasengeschwindigkeit des Lichts im Vakuum zu der im Material. Der Brechungsindex ist im Allgemeinen von der Frequenz des Lichts abhängig, was Dispersion genannt wird.
An der Grenzfläche zweier Medien unterschiedlicher Brechungsindizes wird Licht gebrochen und reflektiert. Dabei nennt man das Medium mit dem höheren Brechungsindex das optisch dichtere.
Beachte, dass mit „optische Dichte“ zuweilen auch ein Maß für die Extinktion bezeichnet wird.
Physikalische Grundlagen Klassischer Brechungsindex mini|hochkant=1.2|Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material mini|hochkant=1.2|Verlauf des wellenlängenabhängigen komplexen Brechungsindex im visuellen Bereich für Halbleiter mit Bandübergängen in diesem Bereich
Die Bezeichnung „Brechungsindex“ kommt vom Begriff Brechung und seinem Auftreten im Snelliusschen Brechungsgesetz . Der Brechungsindex ist eine dimensionslose Größe. Er gibt das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Medium an:
Komplexer Brechungsindex Beschreibt man die zeitliche und räumliche Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle der Kreisfrequenz mit Hilfe der Wellengleichung
,
so stellt man fest, dass man sowohl den klassischen Brechungsindex als auch die Dämpfung der Welle in einem komplexwertigen Brechungsindex vereinen und mittels einer Gleichung sowohl das zeitliche als auch das räumliche Fortschreiten der Welle und deren Absorption beschreiben kann. Der reellwertige Anteil , der meist größer als 1 ist, verkürzt die Wellenlänge im Medium, , der komplexwertige Anteil dämpft die Welle .
Hierbei sind unterschiedliche, gleichwertige Darstellungen für den komplexwertigen Brechungsindex üblich: als Summe von Realteil und dem mit der imaginären Einheit multiplizierten Imaginärteil einer komplexen Zahl: oder oder
als Differenz von Realteil und dem mit multiplizierten Imaginärteil einer komplexen Zahl:Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Vorlesungen über Physik. Band 1, Kapitel 31-4 ().Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik. Abschnitt 8.3.2 (). oder
als Produkt aus dem reellen Brechungsindex und einer komplexen Zahl:Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik: Optik. Kapitel 2.6, Absorption von Strahlung. ().
Das in einigen Darstellungen enthaltene Minuszeichen vor dem Imaginärteil wird gewählt, damit der Imaginärteil (, oder bzw. ) bei absorbierendem Material ein positives Vorzeichen bekommt. Dieser Imaginärteil wird Extinktionskoeffizient oder Absorptionsindex genannt. Davon abweichend bezeichnen Autoren, die die Darstellung als Produkt verwenden, die Größe , also den Imaginärteil geteilt durch , als Absorptionsindex.
Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil des Brechungsindex sind, wenn sie ungleich 1 sind, von der Frequenz und damit von der Wellenlänge abhängig. Dieser als Dispersion bezeichnete Effekt ist unvermeidlich und ermöglicht die Zerlegung von weißem Licht in seine Spektralfarben an einem Prisma. Die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex in Materie kann recht gut über das Modell des Lorentz-Oszillators beschrieben werden.
Da die Reaktion eines optischen Mediums auf eine elektromagnetische Welle kausal sein muss, ist der komplexwertige Brechungsindex eine meromorphe Funktion, Real- und Imaginärteil sind über die Kramers-Kronig-Beziehungen verkoppelt.
Anisotroper Brechungsindex In anisotropen Medien ist der Brechungsindex kein Skalar, sondern ein Tensor zweiter Stufe. Wellenvektor und Ausbreitungsrichtung stimmen dann nicht mehr überein.
Doppelbrechung Ist der Brechungsindex von der Polarisation (und damit zwangsweise auch von der Richtung) abhängig, spricht man von Doppelbrechung.
Verknüpfung mit Permittivität und Permeabilität Der komplexe Brechungsindex ist mit der Permittivitätszahl (dielektrische Funktion) und der Permeabilitätszahl verknüpft:
Dabei sind alle Größen im Allgemeinen komplex und frequenzabhängig. Permittivitäts- und Permeabilitätszahl sind Näherungen, die sich je nach System besser oder schlechter zur Beschreibung des Polarisierungs- und des Magnetisierungs-Effekts eignen.
Die Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindexes eines Materials lässt sich über die elektrische Suszeptibilität theoretisch ermitteln. Diese Größe erfasst die Beiträge der verschiedenen Mechanismen im Material zu seinen Eigenschaften und mündet in der komplexen Permittivität. Im Fall von nichtmagnetischem Material ist , und der komplexe Brechungsindex kann direkt aus Real- () und Imaginärteil () der Permittivitätszahl angegeben werden:
Durch Vergleich mit dem komplexen Brechungsindex in den beiden o. g. Darstellungen 1 und 2 (Summe bzw. Differenz) kann man die Größen und berechnen:
Brechungsindex für Röntgenstrahlung
Für Röntgenstrahlung ist der Brechungsindex von Materie kleiner als 1. Dies ist aber kein Widerspruch zur Relativitätstheorie, weil es die Phasengeschwindigkeit der Welle ist, die größer ist als die Lichtgeschwindigkeit, nicht die Signalgeschwindigkeit. Die Abweichung von 1 ist sehr klein, sie liegt bei . Der Grund für den Wert liegt darin, dass die Schwingungsfrequenz von elektromagnetischer Strahlung im Röntgenbereich größer ist als die Resonanzfrequenz der äußeren Elektronen der beleuchteten Atome.
Das Lorentz-Oszillator-Modell beschreibt ein an den Atomrumpf gebundenes Elektron, welches durch ein elektrisches Feld zu harmonischen Schwingungen angeregt wird. Nach diesem Model ist die komplexe Permittivitätszahl eines Festkörpers:
mit der Elektronendichte , der Elementarladung , der elektrischen Feldkonstante und der Elektronenmasse . Hierbei ist die verschobene Resonanzfrequenz als Eigenfrequenz des Oszillators (Übergangsfrequenz im Absorptionsspektrum). Diese Verschiebung kommt von der Abweichung des lokalen elektrischen Feldes vom makroskopischen elektrischen Feld . Die Abstrahlung des Dipols dämpft den Oszillator und wird mit der Dämpfungskonstante berücksichtigt.
Die Kreisfrequenz der Röntgenstrahlung ist viel höher als alle Resonanzfrequenzen: . Daher ist hier die Permittivitätszahl :
Der komplexe Brechungsindex als Quadratwurzel von für nicht-ferromagnetische Materialien () lautet dann:
gemäß der Notation von oben.
Die Röntgenstrahlung streut an jedem Elektron des Materials. In einem Material der Dichte und der Ordnungszahl (= Zahl der Elektronen pro Atom) ist die Elektronendichte , wobei die molare Masse und die Avogadro-Konstante ist, und mit ergibt sich:
Erzeugt man die Röntgenstrahlung mit Molybdän als Targetmaterial bei einer Beschleunigungsspannung von 50 kV, dann entsteht unter anderem die starke Linie der charakteristischen Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge von . In Silicium (, , ) ist dann . Bei Streuung an Luft unter Standardbedingungen ergibt sich aufgrund der geringeren (Elektronen-)Dichte der geringere Wert Für Röntgenstreuung erhält man somit das überraschende Resultat, dass
Luft ist somit im Vergleich zu Materie das optisch dichtere Medium für Röntgenstrahlung. Es kann Totalreflexion an der Grenze von Luft zu Silizium auftreten. Dafür muss allerdings der Einfallswinkel gegen die Oberfläche geringer sein als der kritische Winkel . Bei Silizium und der Linie beträgt der kritische Winkel . Der kritische Winkel ist proportional zur Wellenlänge: .
Dass die Brechungsindizes von Materialien unter Röntgenstreuung niedriger sind als diejenigen von Luft oder Vakuum, bildet die Grundlage für die Diffraktometrie unter streifendem Einfall.
Der Absorptionskoeffizient beträgt dann
und ist proportional zum Kubus der Wellenlänge.
Gruppenbrechungsindex Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Gruppengeschwindigkeit des Lichts im Medium ist der Gruppenbrechungsindex . Über die Gruppengeschwindigkeit ist diese Materialeigenschaft von der Wellenlänge des Lichts abhängig:
Im Vakuum hat die Gruppengeschwindigkeit den gleichen Wert wie die Phasengeschwindigkeit, zudem ist dieser Wert unabhängig von der Wellenlänge des Lichts. Im Medium ist das nicht notwendigerweise der Fall; besonders bei Wellenlängen, für die das Material große Dispersion zeigt, ergeben sich Unterschiede.
Andere Definitionen mini|hochkant=1.2|Brechung von Medium 1 in ein Medium 2 mit höherem Brechungsindex: Der untere graue Strahl zeigt das Verhalten eines Metamaterials mit gegenüber Medium 1 umgedrehten Vorzeichen.
Die Definition des Brechungsindex erfolgte oben über die Geschwindigkeit, mit der sich Licht im Material ausbreitet. Dieses Vorgehen ist naheliegend, aber nicht in allen Fällen anwendbar. Beispielsweise können Metamaterialien dem geometrischen Strahlengang nach einen negativen Brechungsindex (s. u.) aufweisen. Ein negativer Wert der Lichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht sinnvoll definiert.
Alternative Definitionen des Brechungsindex, bei denen dieses Problem nicht auftritt, sind: Über das Fermatsche Prinzip, nach welchem das Licht zwischen zwei Punkten jenen Weg zurücklegt, für den es einen Extremwert (Minimum) der Zeit benötigt. Über das Huygenssche Prinzip, das besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer Kugelwelle angesehen werden kann und die Interferenz aller dieser Wellen die weiter propagierende Wellenfront ergibt. Über die Strahlenoptik. Nach dem erwähnten Snellius-Brechungsgesetz entspricht n dem Sinus-Verhältnis von Einfallswinkel und gebrochenem Winkel. Alle diese Definitionen liefern für gewöhnliche optische Materialien denselben Wert.
Brechungsindex der Luft und anderer Stoffe
+ Brechungsindex ausgewählter Stoffe bei der Wellenlänge 589 nm (gelb-orange) der Natrium-D-Liniehttps://refractiveindex.info/?shelf=main&book=Cs&page=Smithhttps://www.filmetrics.de/refractive-index-database Material Brechungs-index n Vakuum exakt 1 Helium (Normbed.) 1,000 034 911 Luft (Normbed.) 1,000 292 Schwefelhexafluorid (Normbed.) 1,000 729 Aerogel 1,007 … 1,24 Eis 1,31 Wasser (liqu.) 20 °C 1,3330 menschl. Augenlinse 1,35 … 1,42 Ethanol (liqu.) 1,3614 Flussspat (Calciumfluorid) 1,43 menschliche Epidermis 1,45 Quarzglas 1,46 Glycerin (liqu.) 1,473 99 PMMA (Plexiglas) 1,49 Kronglas 1,46 … 1,65 Benzol (liqu.) 1,5011 FensterglasJ. D'Ans, E. Lax, Taschenbuch für Chemiker und Physiker. 2. Aufl. 1949, S. 1358. 1,52 Mikroskopische Deckgläser 1,523 Quarz 1,54 Halit (Steinsalz) 1,54 Polystyrol (PS) 1,58 Polycarbonat (PC) 1,585 Epoxidharz 1,55 … 1,63 Flintglas 1,56 … 1,93 Schwefelkohlenstoff (CS2) (liqu.) 1,6319 Kunststoffglas für Brillen bis 1,76 Diiodmethan (liqu.) 1,7425 Rubin (Aluminiumoxid) 1,76 Mineralglas für Brillen (polarisierend) bis 1,9 (1,5) Glas 1,45 … 2,14 Bleikristall bis 1,93 Zirkon 1,92 Diamant 2,42 Titandioxid (Anatas) 2,52 Siliciumcarbid 2,65 … 2,69 Titandioxid (Rutil) 3,10
+ Brechungsindex von Wasser bei 20 °C Wellen-länge (nm) Brechungs-index n 193 1,44 226,5 1,39336 266 1,3569 361,05 1,34795 404,41 1,34315 589,3 1,33300 632,8 1,33211 1013,98 1,32524 2400 1,279 3800 1,3640 7000 1,3170 105 1,957 108 9
Größenordnungen mini|links|hochkant=1.4|Brechungsindex von Wasser zwischen 3 nm und 300 m
Das Vakuum hat per Definition einen Brechungsindex von exakt 1. Dies stellt zum einen einen Referenzwert dar, zum anderen ergibt es sich aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht im Vakuum, die genau der Vakuumlichtgeschwindigkeit entspricht.