Folgen und Reihen Arithmetische und geometrische Folgen Arithmetische Folge

Geometrische Folge

Grenzwerte: Definition (Folgen) Die Folge heißt Nullfolge, wenn es zu jedem eine Nummer gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also gilt:

Eine Folge hat den Grenzwert a, wenn die Folge den Grenzwert 0 hat. Folgen ohne Grenzwert heißen divergent. Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, sodass für alle gilt.

Grenzwertsätze (Folgen) Hat die Folge den Grenzwert a, die Folge den Grenzwert b, so gilt:

Funktionen (formale Eigenschaften) Grenzwerte von Funktionen

[Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von de L’Hospital Sei

Voraussetzungen: Es gibt eine Stelle , sodass und entweder Null sind oder bestimmt divergieren und sind in einer Umgebung von differenzierbar Der Grenzwert existiert.

Dann gilt:

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen) ein gibt, sodass für alle -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch gilt. In diesem Falle nennt man den Grenzwert konvergent.

Stetigkeit Eine Funktion heißt an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert von für gegen existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt

Epsilon-Delta-Kriterium: ist stetig in , wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit gilt: . Folgenkriterium: ist stetig in , wenn für jede Folge mit Elementen , die gegen konvergiert, auch gegen konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz Eine im Intervall () stetige Funktion nimmt jeden Funktionswert zwischen und mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz Eine in stetige Funktion, bei der und verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle. Extremwertsatz Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert. Mittelwertsatz Es sei auf dem abgeschlossenen Intervall () stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein , so dass

gilt.

Differentialrechnung Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar an einer Stelle ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von an der Stelle .

Geometrisches: Tangenten Tangentengleichung zu im Punkt

Normale (Senkrechte)

Ableitungsregeln Konstante Funktion

Faktorregel

Summenregel

Produktregel

Quotientenregel

Potenzregel

Kettenregel

Ableitung der Potenzfunktion . Leibnizsche Regel Die Ableitung -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei -fach differenzierbaren Funktionen und ergibt sich aus . Die hier auftretenden Ausdrücke der Form sind Binomialkoeffizienten. Formel von Faà di Bruno Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der -ten Ableitung der Komposition zweier -fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion) Betrachtet wird

Untersuchungsaspekt Kriterium Nullstelle Extremwert Minimum Maximum Wendepunkt Sattelpunkt Verhalten im Unendlichen Symmetrie Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“) Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“) Monotonie monoton steigend bzw. streng monoton steigend monoton fallend bzw. streng monoton fallend Krümmung Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen) Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen) Periodizität

Gebrochenrationale Funktionen

Funktionsterm:

Einteilung Ist das Nennerpolynom vom Grad 0 (also n = 0 und b0 ≠ 0) und ist nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion. Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion. Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden. Definitionsbereich

Asymptotisches Verhalten: Für strebt [falls ] gegen , wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet. [falls ] gegen [falls ] gegen 0 (die x-Achse) Symmetrie Sind und beide gerade oder beide ungerade, so ist gerade (symmetrisch zur y-Achse). Ist gerade und ungerade, so ist ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn ungerade und gerade ist. Polstellen: heißt Polstelle von , wenn

Asymptoten: Mittels Polynomdivision von durch erhält man mit Polynomen und , wobei der Grad von kleiner als der von ist. Das asymptotische Verhalten von ist damit durch die ganzrationale Funktion bestimmt: x-Achse ist Asymptote: waagerechte Asymptote: schräge Asymptote: ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung Flächenberechnung Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integralfunktion

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Stammfunktion Jede Funktion heißt Stammfunktion von , wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

Dies bezeichnet der Ausdruck Integration Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

Spezielle Stammfunktionen Die Stammfunktionen von sind

Alles Weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden Produkt-, Teil- oder partielle Integration unbestimmt

bestimmt

Integration durch Substitution unbestimmt

bestimmt

Spezialfall: lineare Substitution

Spezialfall: logarithmische Integration

Angewandtes Volumenbestimmung Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]

Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]

Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden und begrenzt wird, entsteht

Guldinsche Regeln Oberflächeninhalt Volumen Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) Flächeninhalt der erzeugenden Fläche Radius des Schwerpunktkreises Erste Regel

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

bei Rotation um die x-Achse

bei Rotation um die y-Achse

Zweite Regel

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen , der x-Achse und den Grenzen und ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch mit als Flächenschwerpunkt zu

mit und

Weiteres Ist f auf [a,b] stetig, so heißt der Mittelwert der Funktionswerte von f auf

Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration Zerlegungssummen

Keplersche Fassregel

Trapezregel Sehnentrapez

Tangententrapez

Simpsonregel

Quellen Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.

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