Rekenkunde het betrekking op die praktiese bewerking van getalle. Die rekenkunde is dan ook vroeër l'arte minore ("die kleiner kuns") genoem in teenstelling met die meer teoretiese l'arte maggiore ofte wel algebra. Die algebra is veral toegespits op die teorie van rekenkundige bewerkings en die oplos van vergelykings.
Die onderskeid tussen rekenkunde en algebra kan egter nie altyd baie skerp getref word nie. Die kuns van die rekenkunde word al lank bedryf, en dit was 'n praktiese vaardigheid wat byvoorbeeld deur priesters, astroloë en handelaars in Egipte, Babilonië en China beoefen is.
Definisie en etimologie Rekenkunde is die grondliggende tak van die wiskunde wat getalle en die bewerkings daarop bestudeer. Dit behandel in besonder numeriese berekenings met die vier grondbewerkings – optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling – en in 'n ruimer sin ook magsverheffing, worteltrekking en logaritmes. Die term kom van die Latynse arithmetica, wat op sy beurt van die Antieke Griekse ἀριθμός (arithmos), "getal", en ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), "die kuns van tel", afgelei is.
Daar bestaan meningsverskil oor die presiese definisie. Volgens 'n eng omskrywing handel rekenkunde slegs oor die natuurlike getalle,Oliver (2005), bl. 58; Hofweber (2016), bl. 153. maar die algemener siening sluit bewerkings op heelgetalle, rasionale getalle, reële getalle en soms ook komplekse getalle in.Romanowski (2008), bl. 302–303; Bukhshtab en Pechaev (2020). Sommige definisies beperk die vak tot numeriese berekenings, terwyl 'n ruimer opvatting ook die studie insluit van hoe die getalbegrip ontwikkel het, die ontleding van die eienskappe van en verhoudinge tussen getalle, en die ondersoek van die aksiomatiese struktuur van die bewerkings.Bukhshtab en Pechaev (2020); Stevenson en Waite (2011), bl. 70; Romanowski (2008), bl. 303–304.
Rekenkunde is nou verwant aan die getalleteorie, en sommige skrywers gebruik die terme as sinonieme.Lozano-Robledo (2019), bl. xiii; Nagel en Newman (2008), bl. 4. In 'n meer bepaalde sin is die getalleteorie egter tot die studie van heelgetalle beperk en konsentreer dit op eienskappe en verhoudinge soos deelbaarheid, faktorisering en priemheid;Wilson (2020), bl. 1–2; Karatsuba (2020); Campbell (2012), bl. 33. tradisioneel is dit as die "hoër rekenkunde" bekend.Duverney (2010), bl. v; Robbins (2006), bl. 1.
Die bewerkings van die rekenkunde vorm die grondslag van baie ander takke van die wiskunde, soos die algebra, die calculus en die statistiek, en hulle speel 'n soortgelyke rol in die wetenskappe soos die fisika en die ekonomie. Rekenkunde is in baie aspekte van die daaglikse lewe teenwoordig – om kleingeld by 'n winkel te bereken of persoonlike finansies te bestuur – en dit is een van die vroegste vorme van wiskunde wat leerders in die onderwys teëkom.
Soorte getalle duimnael|regs|400px|Verskillende soorte getalle op 'n getallelyn. Heelgetalle is swart, rasionale getalle blou en irrasionale getalle groen. Getalle is wiskundige objekte waarmee hoeveelhede getel en groottes gemeet word. Hulle is die grondelemente van die rekenkunde, aangesien alle rekenkundige bewerkings op getalle uitgevoer word.Romanowski (2008), bl. 302–304; Khattar (2010), bl. 1–2; Nakov en Kolev (2013), bl. 270–271.
Die belangrikste soorte getalle wat in die rekenkunde gebruik word, is die natuurlike getalle, die telgetalle, die heelgetalle, die rasionale getalle en die reële getalle.Bukhshtab en Nechaev (2016); Zhang (2012), bl. 130; Körner (2019), bl. 109. Die natuurlike getalle is die heel getalle wat by 1 begin en tot in die oneindige loop; hulle sluit 0 en die negatiewe getalle uit en word met die simbool aangedui. Die telgetalle is dieselfde as die natuurlike getalle met die enigste verskil dat hulle 0 insluit en die simbool dra.Romanowski (2008), bl. 304; Nagel (2002), bl. 180–181; Hindry (2011), bl. x. Sommige wiskundiges tref nie dié onderskeid nie en sluit 0 by die natuurlike getalle in. Die versameling heelgetalle omvat sowel die positiewe as die negatiewe heel getalle, het die simbool en kan as geskryf word.Romanowski (2008), bl. 304; Hafstrom (2013), bl. 95.
Na gelang van hoe hulle gebruik word, kan natuurlike getalle in kardinale en ordinale getalle onderskei word. Kardinale getalle soos een, twee en drie druk die hoeveelheid voorwerpe uit en antwoord die vraag "hoeveel?", terwyl ordinale getalle soos eerste, tweede en derde die orde of plek in 'n reeks aandui en die vraag "watter plek?" antwoord.Orr (1995), bl. 49; Nelson (2019), bl. xxxi.
'n Getal is rasionaal indien dit as die verhouding van twee heelgetalle voorgestel kan word. Die rasionale getal word byvoorbeeld gevorm deur die heelgetal 1, die teller, deur die heelgetal 2, die noemer, te deel. Die versameling rasionale getalle, met die simbool , sluit al die heelgetalle in, aangesien dié breuke met 'n noemer van 1 is.Romanowski (2008), bl. 304; Hindry (2011), bl. x; Hafstrom (2013), bl. 123. Desimale breuke soos 0,3 en 25,12 is 'n besondere soort rasionale getal omdat hul noemer 'n mag van 10 is: 0,3 is gelyk aan en 25,12 aan . Elke rasionale getal stem ooreen met 'n eindige of 'n herhalende desimale uitbreiding.Musser, Peterson en Burger (2013), bl. 358.
duimnael|links|Irrasionale getalle is soms nodig om meetkundige groottes te beskryf: as 'n reghoekige driehoek se twee kortsye elk 'n lengte van 1 het, is die skuinssy se lengte irrasionaal. Irrasionale getalle is getalle wat nie as die verhouding van twee heelgetalle uitgedruk kan word nie. Hulle is dikwels nodig om meetkundige groottes te beskryf: as 'n reghoekige driehoek se twee kortsye elk 'n lengte van 1 het, is die lengte van sy skuinssy die irrasionale getal , en π – die verhouding van 'n sirkel se omtrek tot sy deursnee – is 'n verdere voorbeeld. Die desimale voorstelling van 'n irrasionale getal is oneindig sonder herhaling.Musser, Peterson en Burger (2013), bl. 358–359; Rooney (2021), bl. 34. Die versameling rasionale getalle saam met die versameling irrasionale getalle vorm die reële getalle, met die simbool .Romanowski (2008), bl. 304; Hindry (2011), bl. x. Nog wyer klasse getalle is die komplekse getalle en die kwaternione.Hindry (2011), bl. x; Ward (2012), bl. 55.
Syferstelsels 'n Syfer is 'n simbool wat 'n getal voorstel, en 'n syferstelsel is die raamwerk wat bepaal hoe 'n beperkte aantal grondsyfers gekombineer kan word om enige getal uit te druk. Syferstelsels is óf posisioneel óf nieposisioneel; al die vroeë stelsels was nieposisioneel, wat beteken dat die waarde van 'n syfer nie van sy plek in die getal afhang nie.Stakhov (2020), bl. 73; Nakov en Kolev (2013), bl. 271–272; Jena (2021), bl. 17–18.
duimnael|regs|Egiptiese hiërogliefsyfers van 1 tot 10 000 Die eenvoudigste nieposisionele stelsel is die eentallige stelsel, wat op een simbool vir die getal 1 steun: alle groter getalle word geskryf deur dié simbool te herhaal. Dit maak dit lastig om groot getalle te skryf, en daarom sluit baie nieposisionele stelsels bykomende simbole vir groter getalle in. Die kerfstok en die kerfmerk is variasies van die eentallige stelsel.Ore (1948), bl. 8; Mazumder en Ebong (2023), bl. 18. Die Egiptiese hiërogliefstelsel het byvoorbeeld afsonderlike simbole vir 10, 100, 1 000 en 10 000 gehad wat opgetel kon word – die syfer vir 10 405 gebruik een keer die simbool vir 10 000, vier keer dié vir 100 en vyf keer dié vir 1 – en die bekende Romeinse syfers gebruik I, V, X, L, C, D en M as grondsyfers vir 1, 5, 10, 50, 100, 500 en 1 000.Ore (1948), bl. 8–10; Mazumder en Ebong (2023), bl. 18–19; Stakhov (2020), bl. 77–78.
'n Syferstelsel is posisioneel indien die plek van 'n grondsyfer in 'n saamgestelde uitdrukking sy waarde bepaal. Posisionele stelsels het 'n basis wat as vermenigvuldiger vir die verskillende plekke dien, en vir elke volgende plek word die basis tot 'n hoër mag verhef. In die gewone desimale stelsel – ook die Hindoe-Arabiese stelsel genoem – is die basis 10, sodat die syfer 532 vir staan en van 325 en 253 verskil hoewel dit dieselfde syfers gebruik.Romanowski (2008), bl. 303; Yan (2002), bl. 305–306; Ore (1948), bl. 2–3.
'n Verdere posisionele stelsel wat wyd in rekenaarrekenkunde gebruik word, is die binêre stelsel met 'n basis van 2: die getal 13 word as 1101 geskryf, wat vir staan. In die rekenaarwese stem elke syfer in die binêre skryfwyse met een bis ooreen.Nagel (2002), bl. 178; Jena (2021), bl. 20–21; Null en Lobur (2006), bl. 40. Die vroegste posisionele stelsel is deur die antieke Babiloniërs ontwikkel en het 'n basis van 60 gehad.Stakhov (2020), bl. 74.
Ontwikkeling Oor die werklike ontstaan en die vroegste ontwikkeling van die getalbegrip kan daar slegs gegis word. In 1937 is daar byvoorbeeld 'n vonds gemaak van 'n gekerfde wolfbeen by Dolní Věstonice in Morawië wat uit die Laat-Steentydperk dateer (ongeveer 30 000 jaar gelede).
Op hierdie kerfstokke is kort kerfies in groepies van vyf, asook 'n aantal langer kerwe aangebring. Dit dui daarop dat daar lank voor die geskrewe woord reeds 'n getalbegrip was. Die rekenkunde is veral sterk gestimuleer deur die handel wat tussen die ou volke gedryf is. By 'n gebrek aan hulpmiddels is die vingers eers gebruik om mee te tel. Dit het aanleiding gegee tot die ontwikkeling van talle vingerrekenstelsels, wat vir 'n lang tyd in stand gebly het.
Dit is dus nie verbasend dat die tientallige (desimale) stelsel byvoorbeeld met die eeue so sterk ontwikkel het nie. Naas die vingerrekening is die kerfstokrekening ook vir 'n tyd bedryf, maar die beste vordering is gemaak met die gebruik van die telraam of die abakus. Dit het uit 'n raamwerk met lyne of drade bestaan waarop byvoorbeeld krale ingeryg was. Die drade het die eenhede, tientalle, honderdtalle, ensovoorts, voorgestel, terwyl die krale die hoeveelheid van elk aangedui het.
Die Romeine was veral lief vir die klein handabakus, wat selfs vandag nog in Japan, China en die Midde-Ooste op groot skaal gebruik word. Dit is opvallend dat die Romeine by die abakus 'n posisiestelsel gehad het wat nie in hulle getalstelsel (Romeinse syfers) voorgekom het nie. Na die verval van die Romeinse beskawing het die abakus in die 11de en 12de eeu in Europese kloosters opgeduik. Die abakus is byvoorbeeld op perkament geteken en skyfies in die plek van krale gebruik. In Wes- en Sentraal-Europa is die abakus mettertyd deur 'n lynrekenstelsel vervang.
Antieke beskawings duimnael|regs|Sommige historici vertolk die Ishango-been as een van die vroegste rekenkundige voorwerpe. Die vroegste vorme van rekenkunde word soms na tel en kerfmerke teruggevoer waarmee hoeveelhede bygehou is. Sommige historici meen dat die Lebombo-been, wat sowat 43 000 jaar oud is, en die Ishango-been, sowat 22 000 tot 30 000 jaar oud, van die oudste rekenkundige voorwerpe is, hoewel dié uitleg betwis word.Burgin (2022), bl. 2–3; Ore (1948), bl. 1, 6, 8, 10; Thiam en Rochon (2019), bl. 164. 'n Basiese getalsin het moontlik dié vondse voorafgegaan en selfs voor die ontwikkeling van taal bestaan.Burgin (2022), bl. 3; Ponticorvo, Schmbri en Miglino (2019), bl. 33.
'n Meer ingewikkelde en gestruktureerde benadering het eers met die opkoms van die antieke beskawings, van omstreeks 3000 v.C., begin ontwikkel. Dit het nodig geword weens die groter behoefte om voorraad by te hou, grondbesit te bestuur en ruilhandel te reël.Burgin (2022), bl. 4–6; Ang en Lam (2004), bl. 170. Al die groot antieke beskawings het nieposisionele syferstelsels ontwikkel, met simbole vir bewerkings soos optel en aftrek, en hulle het van breuke geweet. Voorbeelde is die Egiptiese hiërogliewe sowel as die stelsels van Sumer, China en Indië.Burgin (2022), bl. 5–7, 9–11; Ore (1948), bl. 10–15; Hindry (2011), bl. ix. Die eerste posisionele stelsel is van omstreeks 1800 v.C. deur die Babiloniërs ontwikkel, wat 'n beduidende verbetering was omdat dit die voorstelling van groot getalle en berekenings daarmee doeltreffender gemaak het.Burgin (2022), bl. 6–7, 9; Ore (1948), bl. 16–18.