duimnael|'n Voorstelling van 'n snylyn (blou) van 'n differensieerbare funksie (rooi). Let hoe die afstand tussen die twee blou snypunte strewe na nul om 'n raaklyn tot die funksie te vorm. Die helling van hierdie raaklyn is die waarde van die afgeleide funksie by x0.
Die differensiaalrekening is in wiskunde een van die hoofvelde van calculus. Die sentrale tema van die differensiaalrekening is die berekening van lokale veranderinge van funksies, soos hulle hellings en raaklyne. Dit is nou verwant aan die integraalrekening, waarmee dit saam onder die begrip infinitesimaalrekening of calculus saamgevat kan word.
Die grondleggende begrip waarop differensiaalrekening gebaseer is, is die afgeleide waarde of bloot afgeleide van 'n funksie (Engels: derivative, Duits: die Ableitung). Daar kan aan die afgeleide as die raaklyn of helling van 'n funksie se grafiek gedink word. In hoër dimensies word die afgeleide veralgemeen tot 'n raakoppervlakte of raakvolume, en in die mees veralgemene geval word die afgeleide deur die lineêre afbeelding beskryf wat die funksie die beste lokaal benader.
Die afgeleide is die verhouding (of eweredigheidssfaktor) tussen 'n nietig-klein verandering van die funksiewaarde as gevolg van 'n nietig-klein verandering van die invoerwaarde. Byvoorbeeld, as (so y is 'n funksie van x) dan kan die helling by 'n punt op die grafiek benader word deur:
Waar die nietig-klein verandering in die funksie se waarde is en die nietig-klein verandering in die invoerwaarde is.
Differensiaalrekening het talle toepassings in wiskunde en veral toegepasde wiskunde (soos die natuurwetenskappe, ingenieurswese, ekonomie, ens). In hierdie velde word dit gebruik om te beskryf hoe waardes relatief tot mekaar verander (byvoorbeeld, hoe saamgestelde rente aanwas namate tyd verbygaan, of hoe 'n gebuigde balk se rigting langs sy lengte af verander). Nog 'n toepassing is die optimering van 'n differensieerbare funksie deur sy maksima en minima (hoogste en laagste punte) te vind. Hierdie punte stem ooreen met die plekke waar die funksiewaarde nie meer verander nie, en die afgeleide nul is.
Geskiedenis duimnael|Gottfried Wilhelm Leibniz duimnael|Isaac Newton Die doelstelling van die differensiaalrekening was al sedert die antieke tyd as die raaklyneprobleem bekend. Een voor die hand liggende benadering bestaan daaruit, om die raaklyne aan 'n kurwe deur snylyne (sogenaamde sekante) oor 'n eindige (eindig beteken in hierdie konteks: groter as nul), maar liefs moontlik kleinste interval te benader (d.w.s. te approksimeer). Sodoende is die tegniese moeilikhede oorwinbaar, wanneer mens met sulke infinitesimaal klein intervallengtes bereken. Die begin van die differensiaalrekening as sodanig dateer terug na Pierre de Fermat. Hy ontwikkel in 1628 'n metode, om die ekstreme punte van algebraïese terme te bepaal en raaklyne aan keëlsnitte en ander kurwes te bereken. Sy „Methode“ was suiwer algebraïes. Fermat het geen limiete (grensoorgange) in aanmerking geneem nie, en ook geen afgeleides nie. Nietemin kan sy metode met moderne analitiese middele geïnterpreteer en regverdig word en het dit wiskundiges soos Newton en Leibniz bewese geïnspireer. Jare later kies René Descartes 'n ander algebraïese vertrekspunt, deurdat hy 'n sirkel (in plaas van 'n reguit lyn) aan 'n kurwe lê. Wanneer die sirkel die kurwe raak, sny dit die kurwe in twee byna aanliggende punte. Hierdie benadering maak dit moontlik vir hom om vir sekere spesiale kurwes die hellings van raaklyne te bepaal.
Aan die einde van die 17de eeu het Isaac Newton sowel as Gottfried Wilhelm Leibniz onafhanklik van mekaar konsekwente berekeninge ontwikkel. Newton benader die probleem egter uit 'n ander hoek as Leibniz. Terwyl Newton die probleem fisies ten opsigte van die oombliklike-snelheidsprobleem benader, pak Leibniz die probleem geometries deur middel van die raaklynprobleem aan. Hulle arbeid verwesentlik die abstraksie van 'n suiwer geometriese voorstelling en word daarom as die begin van analise beskou. Hulle word veral bekend weens die boek van die adellike Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, wat by Johann Bernoulli privaatonderrig ontvang het en sy navorsing rakende analise so gepubliseer het.
Die hedendaagse bekende differensiasiereëls word veral op die werke van Leonhard Euler gebaseer, wat die funksie-begrip ontwikkel het. Newton en Leibniz het met arbitrêr klein positiewe getalle gewerk. Hierdie werkswyse is reeds deur tydgenote as onlogies gekritiseer, byvoorbeeld deur Biskop Berkeley in sy polemiese geskrif The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician. Die differensiaalrekening word nogtans ten spyte van heersende onsekerheide konsekwent verder ontwikkel; in die eerste instansie as gevolg van sy talryke toepassings in fisika en ander wiskundige gebiede.
Eers in die begin van die 19de eeu het Augustin Louis Cauchy aan die differensiaalrekening die hedendaagse gebruiklike logiese nougesetheid verleen, deurdat hy van die infinitesimale groottes wegbeweeg en die afgeleide as grenswaarde (limiet) van snylynhellings (differensiaalkwosiënte) definieer. Die definisie van die grenswaarde wat deesdae gebruik word, word uiteindelik deur Karl Weierstraß aan die einde van die 19de eeu geformuleer.
Definisie Inleiding Uitgangspunt vir die definisie van die afgeleide (ook die differensiaalkwosiënt genoem) is om die gesoekte raaklynhelling deur 'n snylynhelling te benader. Gesoek is die helling van 'n funksie op 'n punt . Om dit te kry, bereken mens eers die helling van 'n snylyn (sekante) aan oor 'n beperkte interval: Snylynhelling = . Die snylynhelling is dus die kwosiënt van twee verskille; dit word dus ook die differensiaalkwosiënt genoem. Met die verkorte notasie vir kan mens die snylynhelling afgekort as skryf. 800x800px Differensiaalkwosiënte is uit die alledaagse lewe welbekend, byvoorbeeld as die gemiddelde snelheid: „Op pad van Augsburg na Flensburg was ek om 9:43 () by Kreuz Biebelried (daaglikse kilometerstand = 198 km). Om 11:04 () was ek aan Dreieck Hattenbach (daaglikse kilometerstand = 341 km). In 1 uur en 21 minute () het ek dus 143 km () afgelê. My gemiddelde snelheid op hierdie gedeelte beloop dus 143 km / 1,35 h = 106 km/h ().“ Om 'n raaklynhelling te bereken (in die bogenoemde voorbeeld sal dit dus die oombliklike snelheid wees), moet mens die twee punte waardeur die snylyn getrek word, voortdurig nader aan mekaar beweeg. Sodoende neig die verskil sowel as die verskil al hoe nader na nul. Die kwosiënt bly egter in baie gevalle groter as nul. Op hierdie limiet of grensoorgang berus die volgende definisie:
Differensieerbaarheid 'n Funksie , wat 'n oop interval U in reële getalle uitbeeld, is differensieerbaar aan die punt , wanneer die grenswaarde (met ) bestaan. Hierdie grenswaarde, of limiet, is die differensiaalkwosiënt of afgeleide van na aan die punt en word soos volg genoteer: of of of Hierdie notasies word respektiewelik soos volg uitgespreek: „f streep van x nul“, „d f van x oor d x aan die punt x gelyk aan x nul“, „d f oor d x van x nul“ en „d oor d x van f van x nul“.
Met die verloop van tyd word die volgende ekwivalente definisie gevind, wat in die konteks van komplekse of meerdimensionale funksies meer effektief vertoon:
'n Funksie is op 'n punt differensieerbaar, indien 'n konstante bestaan, sodat
Die groei van die funksie , wanneer mens dit net 'n klein bietjie van af wegbeweeg, ongeveer die hoeveelheid , kan goed deur approksimeer word. Mens noem dus die lineêre funksie met ook die linearisering van op die punt .
'n Verdere definisie: Daar is op die punt 'n kontinue (d.w.s. ononderbroke) funksie met en 'n konstante , sodat vir alle waardes van die volgende geld: . Die voorwaardes dat en dat op die punt kontinu is, beteken net dat die „oorskot“ vir naby na nul konvergeer.
In albei gevalle is die konstante duidelik gedefinieer en geld dit dat . Die voordeel van hierdie formulasie is die feit dat dit eenvoudiger is omdat geen kwosiënt meer geëvalueer hoef te word nie.
Wanneer 'n funksie as differensieerbaar gedefinieer word, sonder om na 'n bepaalde punt te verwys, beteken dit die differensieerbaarheid aan elke punt in die gedefinieerde domein en dus die bestaan van 'n raaklyn vir elke punt op die grafiek.
Elke differensieerbare funksie is kontinu. Die omgekeerde geld egter nie. Nog aan die begin van die 19de eeu was mense oortuig dat 'n kontinue funksie hoogstens aan slegs enkele punte nie differensieerbaar kon wees nie (soos die absolute waarde funksie). Bernard Bolzano word dan die eerste wiskundige om 'n werklike funksie te konstrueer wat orals kontinu is, maar nêrens differensieerbaar is nie. Sy werk word egter nie onder die vakkundiges van sy tyd bekend nie. Karl Weierstraß vind dan in die 1860's 'n soortgelyke funksie wat hierdie keer wel deur ander wiskundiges bestudeer word. 'n Bekende meerdimensionale voorbeeld vir 'n kontinue, maar nie-differensieerbare funksie is die Koch-kurwe, wat in 1904 deur Helge von Koch voorgelê is.
Afgeleide as 'n funksie Die afgeleide van 'n funksie aan die punt aangedui deur , beskryf lokaal die verhouding van die funksie in die omgewing van die in ag genome punt . Tog sal nie die enigste punt wees, waarop differensieerbaar is nie. Mens kan dus probeer om vir elke getal vanuit die domein van die afgeleide waarde aan daardie punt (d.w.s. ) toe te ken. Op hierdie wyse bekom mens 'n nuwe funksie , wat se domain die versameling van alle punte is, waar die funksie differensieerbaar is. Hierdie funksie heet die afgeleide funksie, of kortom die afgeleide van en mens sê dat „ oor differensieerbaar is“.
Byvoorbeeld het die kwadraatfunksie op die lukrake punt die afgeleide die kwadraatfunksie is dus op die versameling van reële getalle differensieerbaar. Die gepaardgaande afgeleide funksie word aangedui deur .
Die afgeleide funksie is normaalweg anders as die oorspronklike, 'n enkele uitsondering is die produk van die eksponensiële funksie.
Indien die afgeleide funksie kontinu is, dan heet kontinu-differensieerbaar. Met verwysing tot die notasie vir die totaliteit (die ruimte) van kontinue funksies met gedefineerde versameling , word die ruimte van kontinu-differensieerbare funksies met afgekort.
Berekening van die afgeleide Die berekening van die afgeleide van 'n funksie word differensiasie genoem; mens differensieer die funksie.
Om die afgeleide van elementêre funksies (bv. , ,…) te bereken, bly mens streng by die bo-gegewe definisie en bereken mens eksplisiet die differensiaalkwosiënt en laat dan na nul beweeg. Die tipiese wiskunde gebruiker doen hierdie eksplisiete berekeninge slegs 'n paar maal in sy lewe. Later ken hy die afgeleides van die belangrikste elementêre funksies uit sy kop en kyk minder bekende afgeleides op in 'n tabel, en bereken saamgestelde funksies met die hulp van differensiasiereëls.
Die berekening van 'n afgeleide Gesoek is die afgeleide van . Dan bereken mens die differensiaalkwosiënte soos volg:
en bekom in die limiet die afgeleide van die funksie
Nie-differensieerbare funksie is op die punt 0 nie differensieerbaar nie:
Vir alle geld naamlik en dus . Vir alle geld daarenteen en gevolglik: . Aangesien die twee grenswaardes, die een word van kleiner as nul en die ander van groter as nul benader, nie ooreenstem nie, bestaan die limiet nie. Die funksie is dus by die in ag genome punt nie differensieerbaar nie. Die differensieerbaarheid van die funksie aan alle ander punte is daarenteen wel 'n gegewe.
Aan die punt 0 bestaan tog die regterhandse afgeleide:
en die linkerhandse afgeleide .
Graph und Ableitung von f(x) =|x| Beskou mens die grafiek van , so kom mens tot die besef dat die begrip "differensieerbaarheid" grafies beteken dat die gepaardgaande grafiek knakvry (sonder kinkels) loop.