regs|duimnael|400x400px| Bo: 'n Plot van 'n reeks van 100 ewekansige getalle wat 'n sinusfunksie verberg. Onder: Die sinusfunksie wys 'n korrelogram wat deur outokorrelasie geproduseer word. duimnael|400x400px| Visuele vergelyking van konvolusie, kruiskorrelasie en outokorrelasie. Vir die bewerkings wat funksie behels, en met die veronderstelling dat die hoogte van 1.0 is, word die waarde van die resultaat by 5 verskillende punte aangedui deur die geskakeerde area onder elke punt. Ook die simmetrie van is die rede en is identies in hierdie voorbeeld. Outokorrelasie, is wanneer iets ditself beïnvloed. Formeel is dit die ooreenstemming tussen waarnemings van 'n ewekansige veranderlike as 'n funksie van tydsverloop. Wiskundige analise daarvan word gebruik om herhalende patrone, soos die teenwoordigheid van 'n periodieke sein in ruis, te vind, of om 'n ontbrekende fundamentele frekwensie te vind. Dit word dikwels in seinverwerking gebruik vir die ontleding van tyddomeinseine.
Die definisie van outokorrelasie varieër tussen velde en is soms uitruilbaar met outokovariansie. Spesifieke vorme van prosesse met outokorrelasie sluit in: Eenheidswortelprosesse, tendens-stasionêre prosesse, outoregressiewe prosesse en bewegende-gemiddelde prosesse.
Outokorrelasie van stogastiese prosesse In statistiek is die outokorrelasie van 'n reële of komplekse stogastiese proses, die Pearson-korrelasie tussen waardes van die proses op verskillende tye as 'n funksie van twee tydstippe, of van die tydsvertraging.
Laat 'n ewekansige proses wees, en enige tydstip ( kan 'n heelgetal wees vir 'n diskrete-tyd proses of 'n reële getal vir 'n kontinue-tydproses). Dus is is die waarde geproduseer deur 'n gegewe afloop van die proses teen 'n tyd . Veronderstel dat die proses 'n gemiddelde het, en variansie het teen tyd , vir elke .
Dan is die definisie van die outokorrelasiefunksie tussen tye en : Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, ISBN 978-3-319-68074-3waar die verwagte waarde- operateur is, en die staaf die komplekse vervoeging verteenwoordig.
Deur die gemiddelde voor vermenigvuldiging af te trek, lewer die outo-kovariansiefunksie tussen en : Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, ISBN 978-3-319-68074-3
Let daarop dat hierdie uitdrukking nie goed gedefinieer is vir alle tydreekse of prosesse nie, omdat die gemiddelde moontlik nie bestaan nie, of die variansie nul kan wees (vir 'n konstante proses) of oneindig (vir prosesse met verspreiding wat nie goedgedrade momente het nie, soos sekere tipes magswette).
Definisie vir 'n wyd-stilstaande stogastiese proses As is 'n wyd-stilstaande proses dan die gemiddelde en die variansie is tydonafhanklik, en verder hang die outokovariansiefunksie slegs af van die vertraging tussen en : die outokovariansie hang slegs af van die tyd-afstand tussen die waardepaar maar nie van hul posisie in tyd nie. Dit impliseer verder dat die outokovariansie en outokorrelasie uitgedruk kan word as 'n funksie van die tydsvertraging, en dat dit 'n eweredige funksie van die vertraging sal wees .Dit gee die meer bekende vorme vir die outokorrelasiefunksie:en die outo-kovariansie funksie:Let daarop dat:
Normalisering Dit is algemene praktyk in sommige dissiplines (bv. statistiek en tydreeksanalise) om die outokovariansiefunksie te normaliseer sodat mens 'n tydafhanklike Pearson-korrelasiekoëffisiënt kan kry. In ander dissiplines (bv. ingenieurswese) word die normalisering egter gewoonlik laat vaar en word die terme "outokorrelasie" en "outokovariansie" uitruilbaar gebruik.
Die definisie vir die outokorrelasiekoëffisiënt van 'n stogastiese proses is:
As die funksie goed gedefinieer is, moet die waarde daarvan in die reeks lê
, met 1 wat perfekte korrelasie aandui en −1 wat perfekte teenkorrelasie aandui.
Vir 'n wyesin stilstaande (WSS) proses is die definisie: Die normalisering is belangrik beide omdat die interpretasie van die outokorrelasie as 'n korrelasie 'n skaalvrye maatstaf bied van die sterkte van statistiese afhanklikheid, en omdat die normalisering 'n effek het op die statistiese eienskappe van die geskatte outokorrelasies. Outokorrelasie van lukrake vektore Die (potensieel tydafhanklike) outokorrelasiematriks (ook genoem "tweede moment") van 'n (potensieel tydafhanklike) lukrake vektor is 'n matriks wat as elemente die outokorrelasies van alle pare elemente van die ewekansige vektor bevat . Die outokorrelasiematriks word in verskeie digitale seinverwerkingsalgoritmes gebruik.
Vir 'n lukrake vektor wat lukrake elemente bevat waarvan die verwagte waarde en variansie bestaan, word die outokorrelasiematriks gedefinieer deur:Papoulis, Athanasius, Probability, Random variables and Stochastic processes, McGraw-Hill, 1991 p.190: p.388
waar die getransponeerde matriks van dimensies aandui.
Komponentsgewys geskryf:
Indien is 'n komplekse lukrake vektor, word die outokorrelasiematriks eerder gedefinieer deur:
Hier dui Hermitiese transponering aan.
Byvoorbeeld, as is dan 'n ewekansige vektor is 'n matriks wie se -de inskrywing is .
Eienskappe van die outokorrelasiematriks
Die outokorrelasiematriks is 'n Hermitiese matriks vir komplekse ewekansige vektore en 'n simmetriese matriks vir werklike ewekansige vektore.Papoulis, Athanasius, Probability, Random variables and Stochastic processes, McGraw-Hill, 1991 : p.190 Die outokorrelasiematriks is 'n positiewe semi-bepaalde matriks, dws vir 'n werklike ewekansige vektor, en onderskeidelik in die geval van 'n komplekse ewekansige vektor. Alle eiewaardes van die outokorrelasiematriks is reëel en nie-negatief. Die outokorrelasiematriks is soos volg verwant aan die outokorrelasiematriks:en vir komplekse lukrake vektore:
Outokorrelasie van deterministiese seine In seinverwerking word die bogenoemde definisie dikwels sonder die normalisering gebruik, dit wil sê sonder om die gemiddelde af te trek en deur die variansie te deel. Wanneer die outokorrelasiefunksie genormaliseer word deur gemiddelde en variansie, word dit soms na verwys as die outokorrelasiekoëffisiënt of outokorrelasiefunksie.
Outkorrelasie van deurlopende tydseine Vir 'n sein , w word deurlopende outokorrelasie meed dikwels gedefinieer as die kontinue kruis-korrelasieintegraal van met ditself, by lag .
waar die komplekse vervoeging van verteenwoordig. Let daarop dat die parameter in die integraal is 'n skynveranderlike en is slegs nodig om die integraal te bereken. Dit het geen spesifieke betekenis nie.
Eienskappe In die volgende sal ons eienskappe van eendimensionele outokorrelasies slegs beskryf, aangesien die meeste eienskappe maklik van eendimensionele na multidimensioneel oorgedra word. Hierdie eienskappe geld vir wye sintuiglike stilstaande prosesse.
'n Grondslaggewende eienskap van die outokorrelasie is simmetrie, , wat maklik uit die definisie bewys kan word. In die deurlopende geval, die outokorrelasie is 'n ewe funksie wanneer is 'n werklike funksie, en die outokorrelasie is 'n Hermitiese funksie wanneer is 'n komplekse funksie. Die deurlopende outokorrelasiefunksie bereik sy hoogtepunt by die oorsprong, waar dit 'n reële waarde neem, dws vir enige vertraging , .: p.410 Dit is 'n gevolg van die herrangskikkingsongelykheid. Dieselfde resultaat geld in die diskrete geval. Die outokorrelasie van 'n periodieke funksie is self periodiek met dieselfde periode. Die outokorrelasie van die som van twee heeltemal ongekorreleerde funksies (die kruiskorrelasie is nul vir almal ) is die som van die outokorrelasies van elke funksie afsonderlik. Aangesien outokorrelasie 'n spesifieke tipe kruiskorrelasie is, behou dit al die eienskappe van kruiskorrelasie. Deur die simbool te gebruik konvolusie voor te stel en is 'n funksie wat die funksie manipuleer en word gedefinieer as , die definisie vir kan geskryf word as:
Multidimensionele outokorrelasie Multidimensionele outokorrelasie word op soortgelyke wyse gedefinieer. Byvoorbeeld, in drie dimensies sal die outokorrelasie van 'n vierkant-someerbare diskrete sein weesWanneer gemiddelde waardes van seine afgetrek word voordat 'n outokorrelasiefunksie bereken word, word die resulterende funksie gewoonlik 'n outo-kovariansiefunksie genoem.
Doeltreffende berekening Vir data uitgedruk in 'n diskrete volgorde, is dit dikwels nodig om die outokorrelasie met 'n hoë berekeningsdoeltreffendheid uit te werk. 'n Brute kragmetode gebaseer op die seinverwerkingsdefinisie kan gebruik word wanneer die seingrootte klein is. Byvoorbeeld, om die outokorrelasie van die werklike seinvolgorde te bereken (bv , en vir alle ander waardes van ) met die hand, erken ons eerstens dat die definisie wat sopas gegee is, dieselfde is as die "gewone" vermenigvuldiging, maar met verskuiwings regs, waar elke vertikale optelling die outokorrelasie vir spesifieke vertragingswaardes gee:Die vereiste outokorrelasievolgorde is dus , waar en die outokorrelasie vir ander vertragingswaardes is nul. In hierdie berekening voer ons nie die oordragbewerking tydens optel uit soos gewoonlik in normale vermenigvuldiging nie. Let daarop dat ons die aantal bewerkings wat benodig word kan halveer deur die inherente simmetrie van die outokorrelasie te ontgin. As die sein toevallig periodiek is, dws dan kry ons 'n sirkelvormige outokorrelasie (soortgelyk aan sirkelvormige konvolusie ) waar die linker- en regtersterte van die vorige outokorrelasievolgorde sal oorvleuel en gee wat dieselfde tydperk as die seinvolgorde het Die prosedure kan beskou word as 'n toepassing van die konvolusie-eienskap van Z-transformasie van 'n diskrete sein.
Terwyl die brute krag-algoritme orde is, bestaan verskeie doeltreffende algoritmes wat die outokorrelasie in orde kan bereken. Byvoorbeeld, die Wiener-Khinchin-stelling maak dit moontlik om die outokorrelasie uit die rou data met twee vinnige Fourier-transformasies (FFT) te bereken: waar IFFT die inverse vinnige Fourier-transform aandui. Die asterisk dui komplekse vervoeging aan.
Alternatiewelik kan 'n meervoudige korrelasie uitgevoer word deur brute kragberekening vir lae waardes te gebruik, en dan progressief die -data met 'n logaritmiese digtheid te bind om hoër waardes te bereken, wat dieselfde -doeltreffendheid tot gevolg het, maar met laer geheue vereistes.
Skatting Vir 'n diskrete proses met 'n bekende gemiddelde en variansie waarvoor ons waarneem waarnemings , kan 'n skatting van die outokorrelasiekoëffisiënt verkry word asvir enige positiewe heelgetal . Wanneer die ware gemiddelde en variansie bekend is, is hierdie skatting onbevooroordeeld. As die ware gemiddelde en variansie van die proses nie bekend is nie, is daar verskeie moontlikhede:
As en vervang word deur die standaardformules vir steekproefgemiddelde en steekproefafwyking, dan is dit 'n bevooroordeelde skatting. 'n Periodogram -gebaseerde skatting vervang in die bogenoemde formule met . Hierdie skatting is altyd bevooroordeeld; dit het egter gewoonlik 'n kleiner gemiddelde kwadraatfout. Ander moontlikhede spruit voort uit die behandeling van die twee gedeeltes van data en afsonderlik en die berekening van afsonderlike steekproefgemiddeldes en/of steekproefafwykings vir gebruik in die definisie van die skatting.
Die voordeel van skattings van die laaste tipe is dat die stel geskatte outokorrelasies, as 'n funksie van , vorm dan 'n funksie wat 'n geldige outokorrelasie is in die sin dat dit moontlik is om 'n teoretiese proses met presies daardie outokorrelasie te definieer. Ander skattings kan ly aan die probleem dat, indien hulle gebruik word om die variansie van 'n lineêre kombinasie van die se, kan die afwyking wat bereken word negatief mag wees.
Regressie-analise