In de wiskunde is een mersennepriemgetal een priemgetal van de vorm , met een natuurlijk getal.
Getallen van de vorm
worden mersennegetallen genoemd. In sommige definities wordt geëist dat de exponent een priemgetal is. Rij: A000668 Mersenne primes (of form 2^p - 1 where p is a prime). Rij: A000225 a(n) = 2^n - 1. (Sometimes called Mersenne numbers, although that name is usually reserved for A001348.) Rij: A001348 Mersenne numbers: 2^p - 1, where p is prime. Gearchiveerd op 21 september 2024. Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.
Als een mersennepriemgetal is, is de exponent zelf ook een priemgetal. Immers:
Geschiedenis + Tabel van het vermoeden van Mersenne: P: is priem —: is samengesteldMersenne had gelijk. Hij had het fout. 2 3 5 7 11 13 17 19 P P P P — P P P 23 29 31 37 41 43 47 53 — — P — — — — — 59 61 67 71 73 79 83 89 — P — — — — — P 97 101 103 107 109 113 127 131 — — — P — — P — 137 139 149 151 157 163 167 173 — — — — — — — — 179 181 191 193 197 199 211 223 — — — — — — — — 227 229 233 239 241 251 257 263 — — — — — — — —
Mersenne beweerde in 1644 dat priem is als , maar dat een samengesteld getal is wanneer een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. en zijn geen priemgetallen, terwijl , en dit juist wel zijn.
Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden. C Caldwell voor de University of Tennessee. Het grootste bekende priemgetal per jaar: een korte geschiedenis, december 2018. exacte datum niet vermeld Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden. Het grootst bekende priemgetal is in oktober 2024 gevonden: het is 2136 279 841-1. Het was het 52e mersennepriemgetal dat is gevonden.
Theorie thumb|Poststempel van ongeveer 1964 tot 1976 gebruikt door het wiskundedepartement van het UIUC, naar aanleiding van de mersennepriemgetallen in 1963 door D Gillies ontdekt De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn
Hoewel mersennegetallen alleen priem kunnen zijn als ook een priemgetal is, zijn er mersennegetallen die geen priemgetal zijn, terwijl dat wel is.
Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal
Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.
Perfecte getallen en mersennepriemgetallen Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Als namelijk een priemgetal is, dan is een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als waarbij een priemgetal is en een mersennepriemgetal.
Voorbeeld: voor geldt dat een priemgetal is, en een perfect getal is.
Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.
Bekende mersennepriemgetallen Er zijn op dit moment 52 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in oktober 2024 gevonden.
naam Mn getal datum van ontdekking ontdekt door M52 met cijfers 12 oktober 2024 L Durant met GIMPS M51 met cijfers 7 december 2018 P Laroche met GIMPS GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933−1. 21 december 2018. Gearchiveerd op 6 september 2024. M50 met cijfers 26 december 2017 J Pace met GIMPS M49 met cijfers 7 januari 2016 C Cooper met GIMPS M48 met cijfers 25 januari 2013 C Cooper met GIMPS M47 met cijfers 12 april 2009 OM Strindmo met GIMPS M46 met cijfers 6 september 2008 H-M Elvenich met GIMPS M45 met cijfers 23 augustus 2008 Universiteit van Californië - Los Angeles met GIMPS M44 met cijfers 4 september 2006 C Cooper en S Boone met GIMPS M43 met cijfers 15 december 2005 C Cooper en S Boone met GIMPS M42 met cijfers 28 februari 2005 M Nowak in samenwerking, Duitsland M41 met cijfers 15 mei 2004 J Findley in samenwerking, Verenigde Staten M40 met cijfers 17 november 2003 M Shafer in samenwerking, Verenigde Staten M39 14 november 2001 M Cameron in samenwerking, Canada M38 1 juni 1999 N Hajratwala in samenwerking, Verenigde Staten M37 27 januari 1998 R Clarkson in samenwerking, Verenigde Staten M36 24 augustus 1997 G Spence in samenwerking, Verenigd Koninkrijk M35 november 1996 J Armengaud in samenwerking, Frankrijk M34 1996 D Slowinski en P Gage M33 1994 D Slowinski en P Gage M32 1992 D Slowinski en P Gage M31 1988 D Slowinski M30 1985 D Slowinski M29 1983 W Colquitt en L Welsh M28 1982 D Slowinski M26, M27 , 1979 LC Noll M25 1978 LC Noll en L Nickel M24 1971 B Tuckerman M21 - M23 , , 1963 DB Gillies M19, M20 , 1961 A Hurwitz M18 1957 H Riesel M13 - M17 2521−1, 2607−1, , , 1952 RM Robinson M1 - M12 22−1, 23−1, 25−1, 27−1, 213−1, 217−1 219−1, 231−1, 261−1, 289−1, 2107−1, 2127−1 voor 1915 Oud-Griekse wiskunde, Pietro Cataldi, Leonhard Euler, I Pervushin, RE Powers, Édouard Lucas
Categorie:Getaltheorie Categorie:Natuurlijk getal Categorie:Priemgetal