mini|Bei einer Matrizenmultiplikation muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein. Die Ergebnismatrix hat dann die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix. Die Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation ist in der Mathematik eine multiplikative Verknüpfung von Matrizen. Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation wird dann Matrizenprodukt, Matrixprodukt oder Produktmatrix genannt. Das Matrizenprodukt ist wieder eine Matrix, deren Einträge durch komponentenweise Multiplikation und Summation der Einträge der entsprechenden Zeile der ersten Matrix mit der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix ermittelt werden.
Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ und mit der Matrizenaddition distributiv. Sie ist jedoch nicht kommutativ, das heißt, die Reihenfolge der Matrizen darf bei der Produktbildung im Allgemeinen nicht vertauscht werden. Die Menge der quadratischen Matrizen mit Elementen aus einem Ring bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Ring der quadratischen Matrizen. Weiter bildet die Menge der regulären Matrizen über einem unitären Ring mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Matrizen, die durch spezielle Multiplikationen mit regulären Matrizen ineinander überführt werden können, bilden darin Äquivalenzklassen.
Der Standardalgorithmus zur Multiplikation zweier quadratischer Matrizen weist eine kubische Laufzeit auf. Zwar lässt sich der asymptotische Aufwand mit Hilfe spezieller Algorithmen verringern, die Ermittlung optimaler oberer und unterer Komplexitätsschranken für die Matrizenmultiplikation ist jedoch noch Gegenstand aktueller Forschung.
Die Matrizenmultiplikation wird häufig in der linearen Algebra verwendet. So wird beispielsweise die Faktorisierung einer Matrix als Produkt von Matrizen mit speziellen Eigenschaften bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertproblemen eingesetzt. Weiterhin ist die Abbildungsmatrix der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen gerade das Matrizenprodukt der Abbildungsmatrizen dieser Abbildungen. Anwendungen der Matrizenmultiplikation finden sich unter anderem in der Informatik, der Physik und der Ökonomie.
Die Matrizenmultiplikation wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet im Jahr 1812 beschrieben.
mini|Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.
Definition
Die Matrizenmultiplikation ist eine binäre Verknüpfung auf der Menge der Matrizen über einem Ring (oft der Körper der reellen Zahlen), also eine Abbildung
,
die zwei Matrizen und eine weitere Matrix zuordnet. Die Matrizenmultiplikation ist dabei nur für den Fall definiert, dass die Spaltenzahl der Matrix mit der Zeilenzahl der Matrix übereinstimmt. Die Zeilenzahl der Ergebnismatrix entspricht dann derjenigen der Matrix und ihre Spaltenzahl derjenigen der Matrix . Jeder Eintrag des Matrizenprodukts berechnet sich dabei über
,
also durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der -ten Zeile von mit der -ten Spalte von und durch Summation all dieser Produkte. Häufig wird bei der Notation einer Matrizenmultiplikation der Malpunkt weggelassen und man schreibt kurz statt . Soll die Reihenfolge der Faktoren betont werden, spricht man „A wird von links mit B multipliziert“ für das Produkt und „A wird von rechts mit B multipliziert“ für das Produkt .
Beispiel
Gegeben seien die beiden reellen Matrizen
und .
Da die Matrix ebenso viele Spalten wie die Matrix Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation durchführbar. Nachdem zwei Zeilen und zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Einträge der ersten Zeile von und der ersten Spalte von aufsummiert (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):
Für das nächste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von und die zweite Spalte von verwendet:
Dieses Rechenschema setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort:
Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte:
Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt . Eine optische Hilfestellung und Unterstützung zur Berechnung des Matrizenprodukts bietet das falksche Schema.
Spezialfälle
Zeilenvektor mal Spaltenvektor
mini|Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor
Besteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite Matrix aus nur einer Spalte, so ergibt das Matrizenprodukt eine -Matrix. Interpretiert man eine einzeilige Matrix als Zeilenvektor und eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor , so erhält man im Fall reeller Vektoren das Standardskalarprodukt
zweier Vektoren, wobei den zu transponierten Vektor darstellt, beide Vektoren gleich lang sein müssen und das Ergebnis dann eine reelle Zahl ist. Jeder Eintrag eines Matrizenprodukts kann somit als Skalarprodukt eines Zeilenvektors der Matrix mit einem Spaltenvektor der Matrix angesehen werden.
Spaltenvektor mal Zeilenvektor
mini|Multiplikation eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor
Besteht umgekehrt die erste Matrix aus nur einer Spalte der Länge und die zweite Matrix aus nur einer Zeile der Länge , so ergibt das Matrizenprodukt eine -Matrix. Wird wieder eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor und eine einzeilige Matrix als Zeilenvektor interpretiert, so wird das entstehende Produkt von Vektoren als dyadisches Produkt
bezeichnet. Jeder Eintrag der resultierenden Matrix ist dabei das Produkt eines Elements des ersten Vektors mit einem Element des zweiten Vektors. Das Matrizenprodukt kann so als Summe dyadischer Produkte der Spaltenvektoren von mit den jeweiligen Zeilenvektoren von geschrieben werden.
Matrix mal Vektor
mini|Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
Ein wichtiger Spezialfall einer Matrizenmultiplikation entsteht, wenn die zweite Matrix aus nur einer Spalte besteht. Das Ergebnis der Matrizenmultiplikation ist dann ebenfalls eine einspaltige Matrix. Wird wieder eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor interpretiert, so erhält man das Matrix-Vektor-Produkt
,
wobei , und sind. Das Matrix-Vektor-Produkt wird beispielsweise in der Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme verwendet.
Eine alternative Darstellung der Matrixmultiplikation ergibt sich durch Umschreiben der Definition. Wir schreiben sodass die die Spalten der Matrix darstellen (unten verdeutlicht durch ). Ist nun dann kann man das Matrix-Vektor-Produkt auch wie folgt lesen:
Vektor mal Matrix
mini|Multiplikation eines Vektors mit einer MatrixDas Matrix-Vektor-Produkt ist also eine Linearkombination der Spalten von . Diese Beobachtung lässt sich auch auf ein allgemeines Matrix-Matrix-Produkt übertragen. Ist man am Bild der von der Matrix induzierten linearen Abbildung interessiert, ist diese Darstellung meist intuitiver für weitere Argumentation.
Besteht umgekehrt die erste Matrix aus nur einer Zeile, so ergibt das Vektor-Matrix-Produkt
aus einem Zeilenvektor und einer Matrix wieder einen Zeilenvektor . Dieses lässt sich als eine Linearkombination der Zeilen von interpretieren.
Quadrat einer Matrix
Durch Multiplikation einer quadratischen Matrix mit sich selbst ergibt sich wieder eine Matrix gleicher Größe, die als das Quadrat der Matrix bezeichnet wird, das heißt:
Entsprechend dazu wird mit die Matrixpotenz, also das -fache Produkt einer Matrix mit sich selbst, bezeichnet. Matrixpotenzen werden beispielsweise zur Definition des Matrixexponentials und des Matrixlogarithmus verwendet. Umgekehrt heißt eine quadratische Matrix , für die
gilt, Quadratwurzel der Matrix . Eine Matrix kann mehrere, sogar unendlich viele, Quadratwurzeln besitzen. Analog wird eine Matrix, deren -te Potenz die Matrix ergibt, als -te Wurzel dieser Matrix bezeichnet.
Blockmatrizen
mini|Multiplikation zweier Blockmatrizen
Weisen die beiden Matrizen und eine Blockstruktur auf, wobei die Blockbreiten der ersten Matrix mit den Blockhöhen der zweiten Matrix übereinstimmen müssen, so lässt sich auch das Matrizenprodukt blockweise notieren. Die Ergebnismatrix besitzt dann die Blockhöhen der ersten und die Blockbreiten der zweiten Matrix. Im Fall zweier Matrizen mit je zwei mal zwei Blöcken ergibt sich beispielsweise
,
womit die Ergebnismatrix auch zwei mal zwei Blöcke besitzt.
mini|Zur Berechnung eines Eintrags des Matrizenprodukts werden alle Elemente der Matrix benötigt (mittlere Zeile). Für die Bildung der hierbei benötigten Doppelsumme gibt es zwei Möglichkeiten (obere und untere Zeile).
Eigenschaften
Assoziativität
Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen , und gilt:
Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird. Für den Eintrag an der Stelle des resultierenden Matrizenprodukts gilt nämlich:
Die Matrizenmultiplikation ist auch verträglich mit der Multiplikation mit Skalaren , das heißt:
Distributivität
Betrachtet man neben der Matrizenmultiplikation auch noch die komponentenweise Matrizenaddition zweier Matrizen , dann sind auch die Distributivgesetze erfüllt. Das heißt, für alle Matrizen gilt
und für alle Matrizen entsprechend
.
Die Distributivgesetze folgen direkt aus der Distributivität der Addition mit der Multiplikation im Ring über
für das erste Distributivgesetz und über eine analoge Umformung auch für das zweite Distributivgesetz.
Nichtkommutativität
Das Kommutativgesetz hingegen gilt für die Matrizenmultiplikation nicht, das heißt, für und ist im Allgemeinen
.
Für die beiden Matrizenprodukte gilt nämlich und , womit sie für schon von den Dimensionen her nicht übereinstimmen können. Aber selbst, wenn und quadratisch sind, müssen die beiden Matrizenprodukte nicht gleich sein, wie das Gegenbeispiel
zeigt. Die Nichtkommutativität der Matrizenmultiplikation gilt demnach sogar, wenn die Multiplikation im Ring kommutativ sein sollte, wie es beispielsweise bei Zahlen der Fall ist. Für spezielle Matrizen kann die Matrizenmultiplikation dennoch kommutativ sein, siehe die nachfolgenden Abschnitte sowie den Abschnitt "Eigenvektoren kommutierender Matrizen" im Artikel Eigenwerte und Eigenvektoren.
Weitere Rechenregeln
Für die Transponierte eines Matrizenprodukts gilt:
.
Die Reihenfolge bei der Multiplikation wird durch die Transposition also vertauscht. Für die Adjungierte des Produkts komplexer Matrizen gilt entsprechend
.
Die Spur des Produkts zweier Matrizen und ist hingegen unabhängig von der Reihenfolge:
Mit dem Determinantenproduktsatz gilt auch für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:
Die Determinante des Produkts zweier nicht notwendigerweise quadratischer Matrizen kann mit dem Satz von Binet-Cauchy berechnet werden.
Algebraische Strukturen
Ring der quadratischen Matrizen
Die Menge der quadratischen Matrizen fester Größe bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen nichtkommutativen Ring, den Matrizenring . Das Nullelement dieses Rings ist die Nullmatrix . Ist ein unitärer Ring, dann ist auch der zugehörige Matrizenring unitär mit der Einheitsmatrix als Einselement, wobei für alle Matrizen
gilt. Die Nullmatrix fungiert im Matrizenring in diesem Fall als absorbierendes Element, das heißt, für alle Matrizen gilt dann:
Der Ring der quadratischen Matrizen ist jedoch nicht nullteilerfrei; aus folgt nicht notwendigerweise oder . Ein Beispiel wären zwei quadratische Matrizen