Partielle Differentialgleichung

Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG, PDGL oder PDGln, beziehungsweise PDE für ) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Solche Gleichungen dienen der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Vorgänge. Die Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen ist für lineare Gleichungen weitgehend erforscht, für nichtlineare Gleichungen enthält sie noch viele Lücken. Zur praktischen Berechnung von Lösungen werden in der Regel numerische Verfahren herangezogen.

Einführung Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung, die die Beziehung zwischen einer Funktion mit zwei oder mehreren Argumenten und ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Betrachtet man mehrere partielle Differentialgleichungen, so hat man ein System von partiellen Differentialgleichungen. Im Artikel bedeutet die Kurzschreibweise die partielle Ableitung .

Beispiel: Wärmeleitungsgleichung

Seien und zwei offene Mengen sowie . Ein klassisches Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist die Wärmeleitungsgleichung

oder in Kurzschreibweise

Der Operator ist der Laplace-Operator nach , das heißt

Eine Funktion

nennt man Lösung der Wärmeleitungsgleichung, wenn sie die obige Gleichung erfüllt. Der Vektor wird häufig als Raumzeit interpretiert, dann beschreibt die Gleichung die zeitliche Veränderung der Funktion durch ihre räumliche Veränderung.

Beispiel: Cauchy-Riemann-Gleichungen

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen (CRG) aus der komplexen Analysis bilden ein einfaches System von partiellen Differentialgleichungen. Sei und betrachte die reellen Funktionen und , dann sind die CRG gegeben durch

Physikalische Interpretation mini|Zweidimensionale Darstellung einer Kugelwelle Manche physikalische Prozesse lassen sich beschreiben, indem man die Veränderung einer Größe bezüglich einer einzelnen Variable betrachtet. So wird beispielsweise die Bewegung eines Massenpunktes im Raum durch die Bewegungsgleichung beschrieben, die nur Ableitungen nach der Zeit (nämlich Geschwindigkeit und Beschleunigung) enthält. Solche Gleichungen nennt man gewöhnliche Differentialgleichungen.

Viele andere physikalische Prozesse lassen sich aber nur dann beschreiben, wenn man die Veränderung einer Größe bezüglich mehrerer voneinander unabhängiger Variablen betrachtet. Fällt beispielsweise in regelmäßigen Abständen ein Wassertropfen auf eine Wasseroberfläche, so entsteht eine Kugelwelle, ähnlich wie im nebenstehenden Bild. Die entstehende Welle hängt sowohl von der Zeitableitung (Geschwindigkeit der Welle) als auch von der Raumableitung (Profil der Welle) ab. Da Ableitungen nach mehreren Variablen auftauchen, ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung des Vorgangs notwendig, die Wellengleichung.

mini|Darstellung der Lösung der eindimensionalen Transportgleichung bei gegebenen Anfangswerten Eine sehr einfache partielle Differentialgleichung ist die lineare Transportgleichung in einer Raumdimension. Sie hat die Form

mit einem konstanten reellen Parameter .

Die gesuchte Funktion ist von zwei Variablen abhängig, wobei üblicherweise den Ort und die Zeit bezeichnet.

Nehmen wir an, dass die Funktion zu einer gewissen Zeit (etwa zur Zeit ) bekannt ist. Es gelte also für alle im Definitionsbereich von eine Beziehung der Form , wobei eine beliebig vorgegebene, mindestens einmal differenzierbare Funktion sei (Anfangsbedingung).

Dann ist für beliebige Zeiten die Lösung der linearen Transportgleichung gegeben durch .Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Providence (RI), 1999, S. 18 Diese Gleichung bedeutet nichts anderes, als dass die Anfangsdaten in unveränderter Form mit der Geschwindigkeit in Richtung der positiven -Achse verschoben („transportiert“) werden (längs der Charakteristik der Gleichung), siehe nebenstehendes Bild. Ein Anwendungsbeispiel wäre der Transport eines im Wasser gelösten Stoffes mit der Strömung des Wassers, also zum Beispiel der Transport von Schadstoffen in einem Fluss (wobei die Diffusion des Stoffes vernachlässigt wird).

Auswahl von partiellen Differentialgleichungen und Systemen solcher Lineare Gleichungen: die Poisson-Gleichung bzw. die Laplace-Gleichung die Wärmeleitungsgleichung die Wellengleichung die Schrödingergleichung

Nichtlineare Gleichungen: die nicht-lineare Poisson-Gleichung die Burgersgleichung die Poröse-Medien Gleichung die Korteweg-de-Vries-Gleichung

Lineare Systeme: die Maxwell-Gleichungen

Nichtlineare Systeme: die Euler- bzw. die Navier-Stokes-Gleichungen

die Gleichungen der Magnetohydrodynamik

Definition Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung (oder ein Gleichungssystem) für eine oder mehrere unbekannte Funktionen, die folgende Kriterien erfüllt: die unbekannte Funktion hängt von mindestens zwei Variablen ab (wenn sie nur von einer Variable abhängt, bezeichnet man sie als gewöhnliche Differentialgleichung oder kurz nur Differentialgleichung) in der Gleichung kommen partielle Ableitungen nach mindestens 2 Variablen vor in der Gleichung kommen nur die Funktion sowie ihre partiellen Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet, vor.

Gleichungen, in denen neben partiellen Ableitungen auch Integrale auftreten, nennt man Integro-Differentialgleichungen.

Definition bei einer gesuchten der Form u(x,y)

Seien offene Mengen und . Die implizite Form einer reellen partielle Differentialgleichung -ter Ordnung für eine gesuchte Funktion lautet:

wobei

gegeben ist und . Die Ordnung bezeichnet den höchsten Grad der in vorkommenden Ableitungen.

Allgemeiner Fall

Sei eine offene Menge und , dann nennt man eine gegebene Funktion

mit

eine reelle partielle Differentialgleichung -ter Ordnung, wobei

die Menge der partiellen Ableitungen vom Grad bezeichnet und gesucht ist.

Dabei bezeichnet einen Multiindex, wobei und bezeichnet seine Ordnung.

Systeme von partiellen Differentialgleichungen

Hat man reelle partielle Differentialgleichungen und sucht einen Funktionenvektor für und ist offen, so spricht man von einem System von PDGn der Ordnung , geschrieben in impliziter Form

mit

Einteilung Partielle Differentialgleichungen können nach verschiedenen Kriterien eingeteilt werden. Das Lösungsverhalten und damit die theoretische und numerische Behandlung der so eingeteilten Gleichungen unterscheiden sich je nach verwendetem Kriterium erheblich voneinander.

Anzahl der Ableitungen Den Grad der höchsten Ableitung, der in der Gleichung vorkommt, nennt man die Ordnung. Beispielsweise treten in einer Gleichung erster Ordnung nur partielle erste Ableitungen auf. Im Allgemeinen sind Gleichungen höherer Ordnung schwieriger zu lösen als Gleichungen niedrigerer Ordnung.Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Providence (RI), 1999, S. 9.

Anzahl der Variablen Bei vielen partiellen Differentialgleichungen spielt die Anzahl der Variablen eine Rolle bei den Möglichkeiten der theoretischen Untersuchung und der numerischen Lösung. So konnten etwa im Fall der Navier-Stokes-Gleichungen in zwei Raumdimensionen weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden, während die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit glatter Lösungen im dreidimensionalen Fall offen ist. Dieses Problem wurde in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.

Lineare und nichtlineare Gleichungen Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Die nichtlinearen PDE werden wiederum in semilineare, quasilineare und ganz-nichtlineare aufgeteilt.

Sei , wobei und offen ist. Eine partielle Differentialgleichung heißt linear, falls ihre Form

ist, für gegebene Funktionen mit und . semilinear, falls ihre Form

ist. quasilinear, falls ihre Form

ist. ganz-nichtlinear, falls sie nichtlinear in der höchsten Ordnung der Ableitung ist.

Erläuterungen und Beispiele Linear bedeutet also, dass die unbekannte Funktion sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen. Die Koeffizientenfunktionen vor der unbekannten Funktion bzw. ihrer Ableitungen hängen somit nur von den Veränderlichen ab (und nicht von der Funktion selbst oder ihrer Ableitungen).

Eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in zwei Variablen hat also die folgende allgemeine Form: . Semilinear bedeutet somit, dass in einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung die Koeffizientenfunktionen vor der höchsten Ableitung nicht von niedrigeren Ableitungen und der unbekannten Funktion abhängen.

Ein Beispiel ist die Korteweg-de-Vries-Gleichung: . Quasilinear bedeutet somit, dass alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auftreten.

Ein Beispiel ist die Minimalflächengleichung:

oder alternativ geschrieben:

Ein Beispiel einer ganz-nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist die Monge-Ampèresche Gleichung: ,

oder ausgeschrieben .

Linear vs. Nichtlinear Nichtlineare Gleichungen beschreiben in aller Regel weitaus komplexere Phänomene als lineare Gleichungen, wie beispielsweise turbulente Strömungen (im Vergleich zu Laminarströmungen). Nichtlineare Probleme sind sowohl aus theoretischer wie auch aus numerischer Sicht schwieriger zu behandeln als lineare Probleme. Ein einfaches Beispiel einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist die Burgersgleichung:

.

Da ihre Lösungen vollständig bekannt sind, dient sie häufig als Modellproblem für allgemeinere nichtlineare Gleichungen, wie etwa der Euler-Gleichungen.

Grundtypen Häufig werden partielle Differentialgleichungen einem der drei Grundtypen elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch zugeordnet. Diese Klassifikation ist nicht erschöpfend; es kann also nicht jede Gleichung einem dieser Typen zugeordnet werden. Sie ist aber sinnvoll, da sehr viele in der Praxis auftretende Gleichungen in dieses Schema fallen und die drei Grundtypen fundamental unterschiedliche Eigenschaften besitzen. Die Klassifikation wird zunächst für den wichtigen Fall einer einzelnen Gleichung 2. Ordnung beschrieben.

Gleichungen 2. Ordnung Zwei Variablen Als Beispiel für die Einteilung in die drei Grundtypen elliptische, parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen betrachten wir die allgemeine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei Variablen

und definieren .

Gilt nun , so heißt die Gleichung elliptisch im Punkt , , so heißt die Gleichung parabolisch im Punkt , , so heißt die Gleichung hyperbolisch im Punkt .

Bei dieser Klassifizierung werden nur die Koeffizientenfunktionen , , der höchsten Ableitungen betrachtet. Da sie vom Ort abhängen, hängt auch der Typ der Differentialgleichung vom Ort ab.

Mit der obigen Definition ergibt sich die Elliptizität der Poisson-Gleichung, die Parabolizität der Wärmeleitungsgleichung und die Hyperbolizität der Wellengleichung. Diese drei Gleichungen stellen jeweils den Normaltyp aller Gleichungen ihres Grundtyps dar.

Die oben definierte Einteilung in elliptisch, parabolisch und hyperbolisch kann man auch erhalten durch die Betrachtung der Definitheit der Koeffizientenmatrix:

.

Ist positiv definit oder negativ definit, so heißt die Gleichung elliptisch im Punkt , positiv semidefinit oder negativ semidefinit, aber nicht definit (singulär), so heißt die Gleichung parabolisch im Punkt , indefinit (mit genau einem negativen Eigenwert), so heißt die Gleichung hyperbolisch im Punkt .

Eine lineare Gleichung zweiter Ordnung in zwei Unbekannten mit reellen, konstanten Koeffizienten lässt sich genau einem dieser Typen zuordnen. Sobald die Koeffizienten nicht konstant bezüglich sind oder die Gleichung nichtlinear ist, gibt es auch Gleichungen, die sich nicht nach diesem Schema klassifizieren lassen. Gleiches gilt für die unten beschriebenen allgemeineren Fälle.

Der Ursprung der Bezeichnungen elliptisch, parabolisch und hyperbolisch ergibt sich aus der Theorie der Kegelschnitte. Die allgemeine Kegelschnittgleichung

ist von der Struktur her ähnlich aufgebaut wie die oben angegebene lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.