mini|3D-Ansicht eines Pentagonikositetraeders (Animation) mini|Drahtgittermodell eines Pentagonikositetraeders mini|Netz des Pentagonikositetraeders
Das Pentagonikositetraeder ist ein chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum abgeschrägten Hexaeder und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.
Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.
Entstehung mini|Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Hexaeder mini|Links- und rechtshändige Version eines Pentagonikositetraeders (Pappmodelle) Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Nachfolgend bezeichne der Term den Kosinus des kleineren Zentriwinkels im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t3 + 4t2 − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.
Sei die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch
Daraus folgt:Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.
Verwandte Polyeder
Formeln Für das Polyeder Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. bDiese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t) VolumenDiese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.≈ 12,45a3 ≈ 35,63b3 Oberflächeninhalt≈ 27,19a2 ≈ 54,8b2 Kantenkugelradius Inkugelradius Flächenwinkel ≈ 136° 18′ 33″ Sphärizität ≈ 0,9556
Für die Begrenzungsflächen 250px|mini|Größen im Fünfeck des Pentagonikositetraeders Größen des Tangentenfünfecks Flächeninhalt Inkreisradius Diagonale Stumpfe Winkel(4) ≈ 114° 48′ 43″ Spitzer Winkel (1) ≈ 80° 45′ 6″
Anmerkungen
Weblinks
Kategorie:Catalanischer Körper