Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

350px|mini|Auftragung (in blauer Farbe) des Logarithmus von für die elliptische Kurve anhand der senkrechten Achse, wobei die erste Million Primzahlen durchläuft. Aufgetragen ist auf der horizontalen Achse , sodass die BSD-Vermutung eine Annäherung auf die rot eingezeichnete Gerade vorhersagt (Steigung gleich Rang der Kurve, hier 1). 350px|mini|Schaubild der L-Funktion zu mit einfacher Nullstelle in . BSD sagt voraus, dass die rationalen Punkte auf dieser Kurve im Wesentlichen auf einem „Strahl“ – einem eindimensionalen Gebilde – liegen.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, kurz BSD, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik und macht Aussagen zur Zahlentheorie auf elliptischen Kurven. Benannt wurde sie nach den Mathematikern Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer, die sie erstmals im Jahr 1965 aufstellten, wobei sie ihre Vermutung auf eine bereits 1958 gestartete Serie von Berechnungen an den EDSAC-Computern stützten. Diese Berechnungen hatten zum Ziel, eine zur Klassenzahlformel von Dirichlet „analoge Theorie“ für elliptische Kurven zu entdecken. Die Vermutung wurde im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat im Zuge dessen ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist für Mathematiker von großem Interesse, da sie eine überraschende und sehr tiefe Beziehung zwischen zwei verschiedenen mathematischen Theorien, nämlich komplexer Analysis und Zahlentheorie, aufbaut. Die Lösung des Problems würde demnach zwingend erfordern, bisher völlig unbekannte und äußerst tiefe Strukturen in der „Architektur der Mathematik“ an die Oberfläche zu fördern. Dabei hilft die Vorstellung, dass die Mathematik ein Gespinst aus zahllosen „Punkten“ (= Aussagen) ist, die durch „Pfeile“ (= logische Schlussfolgerungen) teilweise direkt miteinander verbunden sind. Brücken zwischen zwei vormals völlig verschiedenen Theorien helfen nun zahlreiche „neue Pfeile“ in diesem Graphen zu erhalten, was zur Folge hat, dass viele weitere Probleme gelöst werden können und einige neue Anwendungsmöglichkeiten entstehen. In diesem Kontext ist es nicht verwunderlich, dass gerade das Bauen solcher Brücken eine mathematisch besonders schwierige Aufgabe ist.

Trifft die Vermutung zu, existiert ein enger Zusammenhang zwischen den Lösungsanzahlen bestimmter Gleichungen und dem Nullstellenverhalten gewisser, eben diesen Gleichungen zugehöriger mathematischer Funktionen. Die Lehre der Gleichungen ist dabei zentraler Gegenstand der Algebra. Von den Lösungen wird in der Formulierung des Problems jedoch verlangt, dass sie rationale Zahlen sind, also Quotienten ganzer Zahlen. Dies bringt neben der Algebra die mathematische Disziplin der Zahlentheorie mit ins Spiel. Im Gegensatz dazu sind mathematische Funktionen Teil der Analysis, die sich mit Aspekten wie Stetigkeit, Nullstellen und auch Differentialrechnung beschäftigt. Die große Herausforderung besteht also darin, diese völlig verschiedenen mathematischen Gebiete – Zahlentheorie und Analysis – im Rahmen einer sehr schweren Fragestellung zu vereinen. Kurz gesprochen besagt die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, dass sich die Häufigkeit der Lösungen zu gewissen, für die Mathematik sehr bedeutenden, Gleichungen an der Ordnung der Nullstelle diesen Gleichungen zugehöriger Funktionen an der Stelle ablesen lässt.

Konkret besagt das Problem: Sei eine elliptische Kurve über den rationalen Zahlen und ihre L-Funktion (die Variable ist in diesem Kontext üblich). Nach dem Satz von Mordell bildet die Menge aller rationalen Punkte die Struktur einer endlich erzeugten abelschen Gruppe, ist also isomorph zu , wobei den Torsionsteil von bezeichnet und der sog. Rang von ist. Die Vermutung sagt, dass gelten sollte. Dabei bezeichnet allgemein die Nullstellenordnung einer mathematischen Funktion an der Stelle .

Über die bloße Angabe einer Beziehung zwischen Rängen und Nullstellenordnungen geht das Problem sogar noch tiefer. Eine besonders wichtige Größe hierbei ist die Tate-Shafarevich-Gruppe einer elliptischen Kurve. Sie misst ab, wie stark das sog. Lokal-Global-Prinzip an dieser Kurve scheitert. Gegenstand der starken Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist, dass die Tate-Shafarevich-Gruppe elliptischer Kurven stets endlich ist und deren Mächtigkeit zusammen mit anderen Invarianten der Kurve in der Taylor-Entwicklung der L-Funktion an der Stelle kodiert ist.

Trotz immenser Anstrengungen ist man bis heute immer noch sehr weit von einer Lösung des Problems entfernt. Dennoch konnte in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts die Vermutung für die Ränge und positiv entschieden werden. Darüber hinaus existiert starke numerische Evidenz, die die Vermutung auch für die Ränge stützt und ihre Richtigkeit plausibel macht. Theoretische Resultate für Ränge sind aus Expertensicht wegen des Scheiterns der Heegner-Punkt-Methode bisher selbst auf der Ebene einzelner Kurven noch nicht erreicht worden. In jüngster Vergangenheit wurden auch zunehmend Methoden im Umfeld der künstlichen Intelligenz verwendet in der Hoffnung, Strukturen hinter der Verteilung der Ränge elliptischer Kurven zu finden.

Problembeschreibung

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer sagt voraus, dass sich die Anzahlen der Lösungen zu gewissen Gleichungen an Stellen der modernen Mathematik wiederfinden lassen, wo man nicht mit ihnen rechnet. Dies ist gleichzeitig der Grund, weshalb sie als so schwer zu beweisen gilt: Bis heute verfügt man über keine Theorie, die eine Erklärung für diesen Zusammenhang liefern kann. Mathematische Theorien sind auf Axiomen (= Grundannahmen) aufgebaut, die als wahr angenommen werden, aber trotzdem „einfach da sind“, und deshalb kommt es bis in die Gegenwart häufig vor, dass Probleme formuliert wurden, die erst weit nach Gründung der mathematischen Methodik gefunden oder gelöst wurden. Vergleichbar ist dies mit dem Schachspiel: Durch Angabe der einfachen Regeln ist das Spiel „vollständig vorhanden“, aber dennoch bis heute nicht „gelöst“ in dem Sinne, dass es keinen „perfekten Schachspieler“ gibt.

hochkant=1.2|mini|Bild 1: Schaubild der Geraden . Die Bezeichnung „Gerade“ rührt von der Formung der Kurve her. mini|hochkant=1.2|Bild 2: Schaubild der elliptischen Kurve Zur Einordnung der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist ein Verständnis des Konzepts der mathematischen Gleichung zentral. Beispiele für Gleichungen sind , und . Bei letzterer muss das Symbol erst „sichtbar“ gemacht werden, bevor mit endlich der einfache Zusammenhang klar erkannt wird. Gleichungen können umgeformt werden. Dahinter steckt die Idee, dass, wenn zwei identische Größen auf identische Weise manipuliert werden, die Resultate wieder identisch sein müssen. Addiert man beidseitig mit , entsteht daraus – wieder eine gültige Gleichung. Dividiert man beidseitig durch , entsteht , was den Vorteil hat, die schon vorher eindeutig bestimmte Größe „sichtbar“ gemacht zu haben. In vielen Problemen der wissenschaftlichen Praxis entstehen aus bekannten Beziehungen zunächst unbekannter Größen abstrakte Gleichungen, weshalb Techniken zu deren Auflösen große Bedeutung zukommt: Die innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie erarbeiteten kausalen Zusammenhänge „zwingen“ die Größen in einen begrenzten Raum an Möglichkeiten, doch erst ein Auflösen der entstehenden Gleichungen macht diese wenigen Möglichkeiten „sichtbar“.

Die Vermutung beschäftigt sich mit Gleichungen ganz bestimmten Typs, die in der Mathematik – auch bezüglich ihrer Anwendungen – eine besondere Rolle einnehmen. Bezeichnet werden sie als elliptische Kurven. Streng genommen beschreibt das Wort „Gleichung“ sie aber nur unzureichend: Das Wort Kurve hingegen präzisiert, dass es sich bei einer elliptischen Kurve um eine Ansammlung aller Lösungen einer ganz bestimmten Gleichung mit zwei Unbekannten im Raum handelt, die als geometrische Figur eine „kurvenförmige“ Gestalt hat.

Dieses Konzept ist auch aus Sicht der Schulmathematik keinesfalls neu: Eine Gerade – Prototyp der „einfachsten“ aller Kurven – besteht aus allen Punkten , die gemeinsam eine Gleichung der Form mit festen Zahlen lösen (dabei werden die Komponenten und als Zahlen einzeln eingesetzt). Dadurch, dass gleich zwei Größen, nämlich und , nicht näher benannt sind, ist eine größere Anzahl an Lösungen zu erwarten. Als Beispiel kann der Fall betrachtet werden: „Vollständig sichtbare“ Lösungen benennen beide Unbekannte, hier etwa , oder . Erst das Aufspannen zweier Dimensionen – also einer „x-Dimension“ und einer „y-Dimension“ – erlaubt es, dieses Kollektiv ganz zu fassen (siehe Bild 1). Wegen handelt es sich ferner um nichts anderes als eine tabellarische Auflistung aller Punkte der Form .Serge Lang: A First Course in Calculus. Fifth Edition, New York 1986, S. 24. Aus geometrischer Sicht ist es naheliegend, die daraus entstehende Kurve als Gerade zu bezeichnen.

Bei elliptischen Kurven handelt es sich hingegen um eine Ansammlung von Punkten , die gemeinsam eine kubische Gleichung erfüllen, die meist in der Form mit festen Zahlen geschrieben wird.Durch den Variablenwechsel und mit Einheiten, werden auch Kurven der allgemeineren Form mit einer Einheit einbezogen. Die Zahlen und sind rational, und wegen deren BeliebigkeitEs sind in Wahrheit nicht völlig beliebig: Es soll die Diskriminante des Polynoms nicht Null sein. gibt es eine „unendliche Familie“ elliptischer Kurven:

und eine unbegrenzte Zahl weiterer Beispiele. Das Beispiel soll ab jetzt öfter für Veranschaulichungen herangezogen werden. Wie im Falle der Geraden werden beim Aufbau elliptischer Kurven nur die vier Grundrechenarten genutzt. Daher werden sie, genauso wie die Geraden, zu den algebraischen Kurven gezählt. Wie bei allgemeinen Gleichungen kann man auch hier nach Lösungen fragen. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist jedoch ein zahlentheoretisches Problem. Im Vordergrund des Interesses stehen also rationale Lösungen von Gleichungen, die dann zu Punkten etwa der Formen oder korrespondieren. Man ist also ausschließlich an rationalen Punkten interessiert.

Dies demonstriert, dass Punkte auf Kurven durch geschicktes Raten gefunden werden können – und der einfache Aufbau einer Kurve macht die Probe sehr leicht. Bloßes Raten ist im Allgemeinen allerdings kein akzeptabler mathematischer Algorithmus (=  Vorgehensweise). Es gibt jedoch kein bewiesenes schnelles Verfahren, die Gleichungen einer elliptischen Kurve „aufzulösen“, also ohne naives Raten Punkte tatsächlich zu finden. Dafür ist in besonderem Maße der Term verantwortlich, der eine wesentliche Verkomplizierung der Gleichung zur Folge hat. Gerade aus zahlentheoretischer Sicht sind algebraische Kurven, die aus den vier Grundrechenarten hervorgehen, allerdings von sehr großem Interesse: In den Gleichungen werden die Rechendisziplinen der Addition und der Multiplikation vermischt, wie man beim Weglassen der Abkürzungskonventionen besonders gut erkennen kann:

Jedoch verbirgt sich die äußerst tiefe Struktur „hinter den Zahlen“ gerade in einem „möglichen Zusammenspiel“ aus Addition und Multiplikation, und was zuerst simpel klingt, ist ein extrem schwieriges Problem. Einige prominente ungelöste mathematische Probleme demonstrieren dies: Es ist bis heute unbekannt, ob es unendlich oft vorkommt, dass zwei benachbarte Primzahlen den Abstand 2 haben. Beispiele für diese Primzahlzwillinge sind und . Primzahlen entspringen der multiplikativen Zahlentheorie, aber die Vorschrift, dass die Differenz den Wert haben soll, ist additiv. Die abc-Vermutung bringt Eigenschaften der Primfaktorenzerlegungen teilerfremder Zahlen und mit der von in Verbindung.

Vergleichbar ist die Tatsache, dass es die theoretische Physik bis heute nicht schafft, die Grundkräfte in einer großen vereinheitlichten Theorie zu einen.